函数、极限、连续(10)课件

1、0 x于零，即于零，即 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义)(xfy0 x若自变量若自变量 在在 的改变量的改变量 趋近于零时趋近于零时0 xxx相对应的函数相对应的函数 的改变量的改变量 也趋近也趋近y)(xfy0lim0yx0)()(lim000 xfxxfx或或为函数的连续点为函数的连续点.则称函数则称函数 在在 点是连续的，点是连续的， 称称)(xfy0 x0 x 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义)(xfy0 x且等于且等于 在在 处的函数值处的函数值 ，即，即 0 x)(0 xf)(xf并满足当并满足当 时，函数时，函数 的极限存在，的极限存在，

2、0 xx)(xf)()(lim00 xfxfxx为函数的连续点为函数的连续点.则称函数则称函数 在在 点是连续的，点是连续的， 称称)(xfy0 x0 x 在点在点 连续，必须要求连续，必须要求 在在 )(xf0 x)(xf0 x 点有定义，这是与极限定义不同的点有定义，这是与极限定义不同的. 函数函数 在在)(xfy处连续处连续0 x1、 在在 点有定义；点有定义；)(xf0 x2、 存在；存在；)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx3、 设函数设函数 在点在点 及其附近有定义及其附近有定义)(xfy0 x数数 在点在点 左左(右右)连续连续.)(xfy0 x并且有并且有 或

3、或)()(lim00 xfxfxx),()(lim00 xfxfxx则称函则称函条件条件结论结论0lim0yx)()(lim00 xfxfxx或或)(xfy在点在点 连续连续0 x在在 每一点连续每一点连续),( ba)(xfy在在 连续连续),( ba)(xfy)()(lim),()(limafxfbfxfaxbx在在 内连续内连续),( ba)(xfy在在 连续连续, ba)(xfy初等函数在其定义区间内都连续初等函数在其定义区间内都连续. . 01arctan01011)(2xxxxxxxf讨论函数在指定点处的连续性讨论函数在指定点处的连续性01arctan01011)(2xxxxxxx

4、f函数函数 在在 处有定义，且处有定义，且)(xf0 x ) 00( fxxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx) 11(1)1 (lim220 xxxx) 11(lim220 xxxx1) 0(f01arctan01011)(2xxxxxxxf) 11(lim220 xxxx11lim20 xxx0 ) 00( fxx1arctanlim02) 00() 00(ff)(lim0 xfx不存在不存在因此，函数因此，函数 在在 处不连续处不连续.)(xf0 x )(xf11)(xxaxexfx设函数设函数 试确定常数试确定常数a的值，使的值，使 在在 内连续内连

5、续.),( 当当 或或 时，无论时，无论 取何值，取何值，1x1xa)(xf均连续，均连续， 若在若在 处连续，则处连续，则1x) 1 () 01 () 01 (fff ) 01 ( f)(lim1xax1 ae1ea讨论讨论、 是否存在是否存在;1、设函数设函数01010)(xexxxxfx、 在在 处是否连续处是否连续)(lim0 xfx)(xf0 x的值，使的值，使 在在 处连续处连续.2、设函数设函数 试确定常数试确定常数)(xf121)(2xxaxxfa1xxx0lim01、)(lim0 xfx) 1(lim0 xxe0)(lim0 xfx、01010)(xexxxxfx0)(lim

6、0 xfx、0)(lim0 xfx1)0(f) 0()(lim0fxfx故故 在在 处不连续处不连续.)(xf0 x2、121)(2xxaxxf在在 处连续处连续)(xf1x) 1 ()(lim1fxfx)(lim1xfx又又)(lim21axxa12) 1 (f21a即即1a在在 点处发生间断，使点处发生间断，使 发生间发生间0 x)(xf)(xf)(xf 如果函数如果函数 在在 处不连续，则称处不连续，则称 0 x断的点断的点 称为称为 的间断点的间断点.)(xf0 x 有下列三种情况之一时，有下列三种情况之一时， 在点在点 )(xf0 xx处不连续，点处不连续，点 为函数为函数 的间断点

7、的间断点.0 x)(xf (1)、点、点 处处 无定义，即函数值无定义，即函数值)(xf0 x)(0 xf不存在不存在.(3)、 (即使即使 在点在点 )()(lim00 xfxfxx)(xf0 x)(xf 处有定义而且当处有定义而且当 时时 极限极限 0 xx存在存在).处有定义处有定义). (2)、 不存在不存在(即使即使 在点在点)(lim0 xfxx)(xf0 x)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx与与都存在都存在(1)、特点、特点(2)、分类、分类可去间断点可去间断点)(lim)(lim00 xfxfxxxx跳跃间断点跳跃间断点)(lim)(lim00 xfxfxxxx已知：

8、函数已知：函数 000sin)(xxxxxf讨论函数在讨论函数在 的连续性的连续性0 x 的定义域为的定义域为 )(xf)0(f且且 ,R0)(lim0 xfxxxxsinlim01又又1)(lim0 xfx) 0 ( f在在 处不连续处不连续)(xfy0 xx=0为函数为函数的可去间断的可去间断点点xy0已知：函数已知：函数 讨论函数在讨论函数在 的连续性的连续性0 x010001)(xxxxxxf 的定义域为的定义域为 )(xf)0(f且且 0)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1又又)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 x

9、fx不存在不存在.在在 处不连续处不连续.)(xf0 x即即,R11)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx与与至少有一个不存在至少有一个不存在(1)、特点、特点(2)、分类、分类无穷间断点无穷间断点)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx与与至少有至少有一个为一个为震荡间断点震荡间断点)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx与与震荡不震荡不存在存在已知：函数已知：函数 讨论函数在讨论函数在 的间断类型的间断类型2xxxftan)(x02232yxtan在在 无定义无定义2x2x是间断点是间断点,tanlim2xx又又2x是无穷型间断点是无穷型间断点已知：函数已知：函数 讨论函数在

10、讨论函数在 的间断类型的间断类型0 xxxf1sin)(xsin1在在 无定义无定义0 x0 x是间断点是间断点又当又当 时，时，0 x0 x是震荡型间断点是震荡型间断点y在在-1与与1之间之间变动无限多次，变动无限多次， 在在 处连续的充要条件是处连续的充要条件是:0 x)(xf函数函数 在在 点既左连续又右连续，即点既左连续又右连续，即)(xf0 x)()(lim00 xfxfxx)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx已知：函数已知：函数 在其定义域内连续，求在其定义域内连续，求k011sin00sin1)(xxxxkxxxxf)(lim0 xfxxxxsin1lim01)(

11、lim0 xfx) 11sin(lim0 xxx1又又 在在 处连续，则处连续，则)(xf0 x) 0 ()(lim)(lim00fxfxfxxxx即即1k已知：函数已知：函数 在其定义域内连续，求在其定义域内连续，求a11)(xxaxexfx1e1、求函数无意义的点即为函数、求函数无意义的点即为函数的间断点的间断点2、分别对函数的间断点求极限、分别对函数的间断点求极限判断类型判断类型可去间断点可去间断点)(lim)(lim00 xfxfxxxx跳跃间断点跳跃间断点)(lim)(lim00 xfxfxxxx)(lim)(lim00 xfxfxxxx或无穷间断点无穷间断点)(lim0 xfxx)

12、(lim0 xfxx与与震荡不震荡不存在存在振荡间断点振荡间断点934)(22xxxxf求函数求函数并说明它属于哪一类并说明它属于哪一类的间断点，的间断点，, 092x令令3x解得解得当当 时，时，3x934lim223xxxx31lim3xxx313x是可去间断点是可去间断点934lim223xxxx当当 时，时，3x3x是无穷间断点是无穷间断点934)(22xxxxf求函数求函数并说明它属于哪一类并说明它属于哪一类的间断点，的间断点， 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，)(xfy, ba小值小值.则它在这个区间上一定有最大值和最则它在这个区间上一定有最大值和最 若函数若函数

13、在闭区间在闭区间 上连续，上连续，)(xfy, ba 和和 分别为分别为 在在 上的最小值和最上的最小值和最 mM)(xf, ba大值，则对介于大值，则对介于 与与 之间的任意实数之间的任意实数 mM,C至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得 ),( baCf)(mMuabxy)( xfy o 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，)(xfy, ba且且 ，则至少存在一点，则至少存在一点 0)()(bfaf),( ba0)(f使得使得 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续，)(xfy, ba 则函数则函数 在在 上有界上有界)(xfy, ba 若函数若函数 在闭区间在闭区间

14、 上连续，上连续，)(xfy, ba且且 ，则至少存在一点，则至少存在一点 0)()(bfaf),( ba0)(f使得使得 证明三次方程证明三次方程 在在 内至内至少有一个实根少有一个实根033xx) 1 , 2(则则 的定义域是的定义域是)(xf),(3)(3xxxf设设 是初等函数是初等函数)(xf又又 ) 2( f33) 2() 2(3) 1 ( f31133在在 内连续内连续),( 1 , 2)(xf3) 3() 1 () 2(ff90由存根定理可知，由存根定理可知，在在 内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 ) 1 , 2(0)( f即方程即方程 在在 内至少有一个内至少有一个03

15、3xx) 1 , 2(实根。实根。一、填空题：一、填空题：1、已知、已知 在在 处连续处连续,023002sin)(xxxkxxxxf则则_k0 x 2、函数函数 在在 连续的连续的)(xf0 x)()(lim00 xfxfxx3、函数、函数 的连续区间是的连续区间是)ln(arcsin)(xxf4、函数、函数 的间断点是的间断点是xxxftan)(_x是第一类间断点，是第一类间断点，_x是第二类间断点是第二类间断点5、函数、函数 的间断点是的间断点是34)(xxxf二、选择题：二、选择题：1、函数、函数 在点在点 处有定义，是处有定义，是)(xf0 x)(xfAxfxfxxxx)(lim)(

16、lim00在点在点 处连续的：处连续的：0 xA. 必要不充分条件必要不充分条件B. 充分不必要条件充分不必要条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件2、函数、函数 在点在点 处有处有)(xf0 x则它是函数则它是函数 在点在点 处连续的处连续的)(xf0 xA. 充分不必要条件充分不必要条件B. 必要不充分条件必要不充分条件C. 充分必要条件充分必要条件D. 既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件3、设函数、设函数 003sin)(xaxxxxf在在 连续，则连续，则_a0 xA.B.11C.2D.34、 是函数是函数 的的 xxxf1sin)(0

17、xA. 振荡间断点振荡间断点B. 无穷间断点无穷间断点C. 可去间断点可去间断点D. 跳跃间断点跳跃间断点5、 _)1ln() 1tan(2lim11xxxxA.B.C.2lnD.2ln12ln226、设函数、设函数 ,1211)(xxxxxf在在 处间断是由于处间断是由于1xA.)(lim1xfx不存在不存在B.)(lim1xfx不存在不存在C.)(xf在在 处无定义处无定义1xD.)(lim)(lim11xfxfxx7、设函数、设函数 xxxxxf111111)(则则 的可去间断点个数是的可去间断点个数是A.B.01C.2D.38、设函数、设函数 ,cos1)(22xxxf当当0 x),(

18、)(xfxF若若 在在)(xF0 x)(xf时，时，处连续，则处连续，则_) 0 (FA.B.10C.1D.2三、计算、证明题：三、计算、证明题：1、设函数、设函数 223202043)(2xxxxxxxf(1)、指出函数、指出函数 的定义域的定义域)(xf(2)、指出函数、指出函数 的间断点及类型的间断点及类型)(xf 2、证明方程、证明方程 在在 内至少有内至少有 133 xx) 2 , 1 ( 3、验明方程、验明方程 至少有一个至少有一个2sin xx一个实根。一个实根。实根在实根在2与与3之间。之间。一、填空题：一、填空题：1、22、充要条件充要条件 1 , 0(3、4、), 2, 1

19、, 0(2, 0kkx, 0 x), 2, 1, 0(2kkx5、4二、选择题：二、选择题：题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案ABDCBD CC7、xxxxxf111111)(1, 0, 1xxx为函数的间断点为函数的间断点当当 时时,1xxxxxx111111lim1) 1(1)1 (1xxxxxxxxxf111111)() 1() 1()1 ()1 (xxxxxxxxxx11xxx11lim11x为无穷间断点为无穷间断点当当 时时,0 xxxxxx111111lim0 xxx11lim011x为可去间断点为可去间断点当当 时时,0 xxxxxx111111lim1xxx11lim101x为