二次函数知识点及其应用的总结

1、二次函数知识点总结知识结构框图一、二次函数的概念形如yax2bxc （ a， b， c 是常数， a 0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a、b、c 分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而b，c 可以为零X 可以取全体实数二、二次函数的一般表达式1、一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数 ， a0 ）；2、ya( xh) 2k（ a ，h ，k 为常数 ，a0）其中b，4ac b2顶点式：；hk4a2a3、两根式：y a( x x1 )( xx2 )(其中 a 0, x1, x2 是 y=ax 2bx

2、c与 x轴交点的横坐标 )注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x 轴有交点， 即 b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数 y2bx c 的图像性质 ( 轴对称图形 )ax1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 xb ，顶点坐标为b ，4ac b22a2a4a当 x当 x2. 当 ab时， y 随 x 的增大而减小；当 xb 时， y 随 x 的增大而增大；2a2ab 时， y 有最小值 4 ac b 22a4a0 时，抛物线开口向下，对称轴为 xb ，顶点坐标为

3、b ，4acb22a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而增大；当xb时， y 随 x 的增大而减小；2a2a当 xb时， y 有最大值 4acb 22a4a四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y2ax bx c中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当 a0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下，

4、 b 决定了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下，当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2 a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当 b0时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧2 a 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2 a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2 a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2 a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置3. 常数项 c 当 c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标

5、原点，即抛物线与 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要a，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的y 轴交点的纵坐标为正；y 轴交点的纵坐标为0 ；y 轴交点的纵坐标为负五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函数 y2y0时的特殊情况 .ax bx c 当函数值图像与 x 轴的交点个数： 当b24ac0 时，图像与 x 轴交于两点 A x1 ，0 ，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的12是一元二次方程ax2 bx

6、 c 0 a0的两根x，xx1 ，x2 和的一半恰好是对称轴的横坐标. 当 当1'2'0时，图像与 x 轴只有一个交点；0时，图像与 x 轴没有交点 .当 a0 时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0 ；当 a0 时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2.抛物线 yax2bxc 的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并

7、将其带入到表达式中求出最值； 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号， 或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（ 4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。六、二次函数的几个特殊的基本形式21.二次函数基本形式：yax 的性质：结论： a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随向上y 轴x 0 时， y 有最小值 0 x 的增大而减小；a00 ，0x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随向下y

8、 轴x 0 时， y 有最大值 0 x 的增大而增大；总结：3.yax 2c 的性质：y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x 2 -4结论：上加下减。总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 00 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随向上y 轴x 0 时， y 有最小值 c x 的增大而减小；a 00 ，cx 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随向下y 轴x 0 时， y 有最大值 c x 的增大而增大；24. y a x h 的性质：y=3(x+4) 2y=3x 2y=3(x-2) 2y=-2(x+3) 2y=-2x 2y=-2(x-3) 2结论：左加右减。总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0h ，0xh 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y向上X=hx h 时， y 有最小值 0 随 x 的增大而减小；a0向下h ，0xh 时， y 随 x 的增大而减小；x h 时， yX=hx h 时， y 有最大值 0 随 x 的增大而增大；4. y a x h2k 的性质：y= 2 x 2y=2(x-4)2y=2(x-4)2 -3总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ，kX=hxh 时， y 随 x 的增大而增大；x h 时， y随 x 的增大而减小；xh 时， y 有最小值 k a0向下