人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章知识小结

1、数学必修1(人教版)基本初等函数本草小穡'K点知识整合一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究.函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力.而在命题的具体设计上， 总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用 函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力.函数是中学数学的重要

2、组成部分它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此， 函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点近年来，函数的分值占30%左右.函数是高中代数的主线. 它体系完整，内容丰富， 应用广泛.由于它描述的是自然界中 量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画， 所以是对数量关系本质特征的一 种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路.本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幕函数的概念、图象和性质.包 括理解分数指数幕的概念， 掌握有理指数幕的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实

3、际问题.指数函数与对数函数都是初等超越函数. 在历年的高考题中出现的频率较大. 出现在小 题时是较基本的考查方式； 出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题， 加大对 开放性问题的考查力度.通过本章的学习达到以下基本目标： 了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型. 理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算. 理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单 调性与特殊点. 了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念， 体会对数函数是类重要的函数模型. 能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊

4、点. 理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对 数. 了解指数函数 y= ax(a>0,且a 1)与对数函数y = log a(a>0,且a 1)互为反函数.1 了解幕函数的概念，结合函数y = Xa ( = 1,2,3 , -,- 1)的图象，了解它们的变化情况.二、主干知识(一) 指数与指数幕的运算1. 整数指数幕的概念.(1) 正整数指数幕的意义：CLi= a * a * ¢2-4 -*i*a( n N ).(2) 零指数幕：a0= 1(a0).(3) 负整数指数幕：-n 1*a = ( a 0, n N).a2. 整数指数幕的运算性

5、质： am an = am+ n;(am)n= amn；(ab)n= anbn.3. 如果Xn= a,那么X叫做a的n次方根，其中n>0,且n N.(1) 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.此时a的n次方根用符号脈表示.aa 0Iaav 0(2) 方根的性质：当 n是奇数时，an= a； 当n是偶数时，n an=a =4. 分数指数幕.(1)正数的分数指数幕的意义：设a > 0， m， n N*， n > 1，规定(2)0的正分数指数幕等于 0,0的负分数指数幕没有意义.5. 有理指数幕的运算性质： ar as = ar+s(a>0， r

6、，s Q)； (ar) S= ars(a>0，r，S Q);rr r (ab) = a b (a> 0，b> 0， r Q).(二) 指数函数及其性质1. 函数y= ax(a>0,且a 1)叫做指数函数，其中 X是自变量.2指数函数y= ax(a>o,且a 1)的图象和性质(见下表)：函数y = ax(a> 1)y= a(0 V av 1)1 / IJrI图象LP.V0 >定义域RR值域X > 0 时，y > 1,X > 0时，0v yv 1XV 0 时，0v y V 1XV 0时，y> 1定点过点(0,1)过点(0,1)单调性

7、单调递增单调递减(三) 对数与对数运算X1. 如果a = N(a>0, a 1),那么数X叫做以a为底N的对数.记作X = IogaN,其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.对数式的书写格式：土 0氏込二(1) 以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数 Iog 10N简记为Ig N；(2) 以无理数e= 2.718 28为底的对数，叫自然对数，并把自然对数IogeN简记为In N.2. 指数与对数的关系：设a>0,且a 1,贝U ax = N? IogaN= x.3. 对数的性质.(1)在指数式中N>0,故O和负数没有对数，即式子 IogaN中N必须大于0; 设a>O,

8、 a 1,则有a0= 1 ,所以IogaI = 0,即1的对数为O； 设a>0, a 1,则有a1= a,所以Iogaa= 1,即底数的对数为 1.N；4. 对数恒等式.I朋N (1)如果把ab= N中的b写成Iog aN形式，则有J '(2)如果把X = IogaN中的N写成ax形式，则有IogaaX = x.5. 对数的运算性质.设 a>0, a 1, M> 0, N>0,则有：(1) log a(MN = IogaM IogaN,简记为：积的对数=对数的和;(2) log aM= IogaM- log aN,简记为：商的对数=对数的差；Iog aM= nl

9、og aM( n R).(四) 对数函数及其性质1. 函数y= log a( a>0,且a 1)叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是(0 , + ).2. 对数函数的图象、性质 (见下表)：函数y = log aX( a> 1)y = log aX(0 V av 1)图象IV-OO定义域R+R+值域RR单调性增函数减函数过定点(1,0)(1,0)(1) 当 a> 1 时，若 X> 1,贝U log ax>0,若 0v XV 1 ,贝U log ax V 0 ；(2) 当 0v av 1 时，若 0vXV 1 ,贝U IogaX > 0 ,若 X &g

10、t; 1 ,贝U log axV 0.3. 函数y = aX与y = loga(a>0,且a 1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象 关于直线y= X对称.(五) 幕函数1.形如y= Xa ( R)的函数叫做幕函数，其中为常数.只研究为有理数的情形.2.帝函数Y=工.S=吐$= 士 7=工的图象如F图所示.W I 2 *:3.幕函数的性质.(1) 幕函数在(0,+ )都有定义，并且图象都过点 (1,1).(2) 当a > 0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0 ,+ )上是增函数.特别地,当a > 1时，幕函数的图象下凸；当 0V a V 1时，幕函数的图象上凸.(3)

11、 当V 0时，幕函数的图象在区间(0,+ )上是减函数在第一象限内，当 X从右 边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当X趋于+时，图象在X轴上方 无限地逼近X轴正半轴.4. 图象形状：当 > 0( 1)时，图象为抛物线型；当 V 0时，图象为双曲线型; 当= 0,1时，图象为直线型.热点专题聚区寸辺丿 指数幕的运算1 .正数的分数指数幕的意义：设a>0 , m,0的正分数指数幕等于n N ,n>1 ,规定：0,0的负分数指数幕没有意义.2 有理指数幕的运算性质： ar as = ar+s(a>0, r, s Q);r S rs (a ) = a (a&g

12、t;0, r, s Q); (ab)r = arbr(a>O, b>0, r Q).0 设函数f ( H) 丁一左(工：).7 '九(丁)= / 则 J1 ( f2 (办(2 ()丨)=解析:y(2<y2 QH) = <f20112) =y (¢2 0 I2)_| ) = (2 Oi I-)' ) = 2 Oi l.答案:12 011?跟踪训练I.若 工>0则(2x÷+3炸) (2吕一拮一4吕 =解析：由平方差公式化简即得答案.答案：27Pl (2 IllZ 设 口>() >(). Tl IQ I ÷dJ答

13、案：6a3.幕函数y = f(x)的图象经过点2, 1 ,则满足f(x) = 27的X的值是答案：1L -指数与对数运算XX1. 设 a>0,且 a 1,贝U a = N? IogaN= X ； alog aN= N; Iogaa = x.2. 设 a>0, a 1, M>0, N>0 ,则有(1)log a(MIN = logaM¼ IogaN,MIog aN= log aM log aN,(3)log aM= nIogaM n R).3.设 a>0,log bx a 1, b>0, b 1,贝U log aX=.log ba,Tx 设 2 =

14、5 = m 且 1+1= 2,贝U m=()a bA. 10B. 10C. 20 D . 1002a= 5b= m得 a= log 2m b= log 5m,解析：由1 1 2 + 匚=log 2+ log 5 = IogmIo = 2, m= 10,又 m>0, a D答案：A' m= , 10.?跟踪训练4.已知函数 f (x) = Iog 2( x+ 1),若 f ( ) = 1,则 =()A. 0 B . 1C. 2 D . 3解析： + 1 = 2,故 = 1 ,选 B. 答案：B5. 2log 510+ log 50.25 =()A. 0B. 1C. 2D. 4解析：

15、2log 510+ log 50.25 = log 5100 + log 025 = log 525= 2. 答案：C6.已知函数A.B.C.log 3X, x> 0, f(X)= X12 , 0,141.-4=( )解析:根据分段函数可得击2) = 2所以R正确.答案:解析:7.设答案:丄竺二一指数函数与对数函数的性质1.指数函数y= ax（a>0,且a 1）的定义域是 R值域是（0.+ ）,过定点（0,1）. 当a>1时，指数函数y = ax是R上的增函数；当 0<a<1时，指数函数y = ax是R上的减 函数.2. 对数函数y = log ax（ a>

16、0,且a 1）的定义域是（0,+ ）,值域是R过定点（1,0）. 当a>1时，对数函数y= log ax是（0,+ ）上的增函数；当0<a<1时,对数函数y = log ax是（0,+ ）上的减函数.训矽函数y= j 1的定义域为（jlog 0.54x-300-4 3-4BD171- +13-4,- U,÷,1 U (1, ÷ )J解析：由log o.5(4 X 3) > 0且4x 3> 0可解得XV 1 ,故A正确.4答案：A?跟踪训练&函数y= 2x的图象大致是()3答案：C9.函数f(x) = lg( X 1)的定义域是()A.

17、(2 ,÷ ) B . (1 ,÷ )C. 1 ,÷ ) D . 2 ,÷ )解析：X 1 > 0,得 x> 1,选 B.答案：B10 .函数 f (x) = log 2(3 x÷ 1)的值域为()A. (0 ,÷ ) B . 0 ,÷ )C. (1 ,÷ ) D . 1 ,÷ )答案：A审吧4 研究基本初等函数及其组合的性质必须明确各基本初等函数研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时， 的相关性质.呵Q 设函数的集合P= f (x) = log 2(x÷ a) 

18、47;b u=+ JM= I平血上点的 合 Q= Cr-V)工= t O 1 ； y= Ito»1 J ,则在同 卫角坐标系中申P中瓯数f(0的图象恰好 经过Q中两个点的函数的个数最()A. 4个B . 6个C. 8个D . 10 个解析：当1 1a= 0, b= 0； a= 0, b= 1； a = -, b= 0; a=，b= 1 ； a= 1, b=- 1 ； a= 1,b= 1时满足题意，选B.答案：B?跟踪训练11.若函数f(x) = 3x+ 3*与g() = 3x- 3X的定义域均为 R则()A. f(x)与g(x)均为偶函数B. f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C.

19、f(x)与g(x)均为奇函数D. f(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：f ( x) = 3-x+ 3x= f (x) , g( x) = 3-X 3x = - g(x). 答案：B12. 给定南数y=loQ+ I) y=丨工一 I丨.$=2小其中在区间(0,1)上单调递减的函数 的序号是()A. B .C. D .答案：B13. 设函数f(x) = x(ex+ ae-x)( x R)是偶函数，则实数 a=解析：由条件知，g( x) = e + ae X为奇函数，故g(0) = 0，得a=- 1. 答案：1Z弓 数学思想方法的应用数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系， 通过数与形的相

20、互转化来解决问题 的一种思想方法.转化与化归的思想方法则是将问题不断转化， 直到转化为比较容易解决或 已经解决的问题而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决.、数形结合思想训z直线y = 1与曲线y= x2|x| + a有四个交点，贝U a的取值范围是 解析：曲线y=x2 | x| + a关于y轴对称，当x 0 时,-21y = X + a= x2 + a结合图象要使直线y= 1与曲线y = x2 x + a有四个交点，需，Ia 4< 14答案:?跟踪训练14. 已知C< 0,下列不等式中成立的一个是 （）A. C>2cB. C>C 2c<

21、2 C D . 2c> 2 C'2J解析：在同一直角坐标系下作出 y= X, y= £ !x, y = 2x的图象，显然c< 0时，x<2x< Ei ,即 C< 0 时，C< 2c< ： f.'2答案：C15. 下列函数图象中，正确的是（）答案：C16 .已知y = f ( x)是偶函数，当x>0时, 方程f (X) = 0的实根的个数是 个.y = f ()是减函数，并且f (1)>O> f(2),则答案：2二、转化与化归的思想33W设a=戸3 + 1343 + 1 b = 3351，试比较3 十Ia、b的

22、大小.解析：如果比较a b与O或*与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断.3 + 1由于a、b两数的结构特点可构造函数f (x) = 3x+1+1,则a = f (33) , b=f(34),若能判3 十I断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小._ 3x + 1 _3x+1+ 3_ 3x+1+ 1+ 2f (X) = 3x +1+ 1 = 3 3x+1+ 1 = 3 3x+1+ 1_ 1 2=3+ 33x+1+ 1. 3x+1在R上递增，2 、3 3+11 在 R上递减.1 2在R上递减. f (x) = +x+33 3+1 f (33) > f(34) ,即

23、P a> b.?跟踪训练17解方程：(Ig 2 x) (Ig 3 x) = Ig 2 Ig 3.解析：原方程可化为(Ig 2 + Ig x)(lg 3+ Ig x) = Ig 2 Ig 3 ,即 Ig 2x + Ig 6 Ig X = 0,解得 Ig X= 0 或 Ig x= Ig 6.1. X= 1 或 X=：,61经检验X = 1, X=云都是原方程的解.61.原方程的解为X1 = 1或X2=.618. 比较 Iog 0.30.1 和 logo.20.1 的大小.解析:Iog 0.3 0.11Iog 0.1 0.30Iog 0.20.11Iog 0.1 0.2> 0.T log

24、 0.10.3 V Iog 0.10.2 ,.log 0.30.1 > Iog 0.20.1.19. 某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示. 数函数，并给出下列说法：假设其关系为指L面积曲168 42101234时间/月 此指数函数的底数为 2; 在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2; 野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月； 设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为 甘，t2, ts则有5 + t2 = t3; 野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.其中正确的说法有 (填序号

25、)答案：三、分类讨论思想叫令 若 a>0,且 a 1, P= Iog a(a3+ a+ 1) , q= Iog a( a2 + a+ 1),贝U p、q 的大小关 系为()A P = qB. P<qC. P>qD. a>1 时，p>q; 0<a<1 时，p<q解析：要比较p、q的大小，只需先比较 a3+ a+ 1与a2+ a+ 1的大小，再利用对数函数 的单调性.而决定a3+ a+ 1与a2+ a+ 1的大小的a值的分界点为使(a3+ a+1) (a2 + a+ 1)23232=a (a 1) = 0 的 a 值：a= 1 ,当 a>1 时

26、，a + a+ 1>a + a+1,此时 log a( a + a+ 1)>log a( a + a+ 1),即 p>q.3232当 0<a<1 时，a + a + 1<a + a +1 ,此时 log a( a + a + 1)>log a( a + a+ 1),即 p>q. 可见，不论a>1还是0<a<1 ,都有p>q.答案：C?跟踪训练log 2x, x>0,120. 已知函数 f(x) = X若 f (a)=,则 a=()2 , x 0.2A. 1 B. 2C. 1 或 2 D . 1 或/2解析：讨论a>0和a 0两种情况.答案：C21.已知函数2 A. B.f(x) = log aX 在2 ,2 上的最大值比最小值大1 ,则a等于(C. 或亍D .不同于A、B C答案解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a的取值有关，故应对a进行分类