相似三角形的性质

1、相似三角形的性质学习目标学习目标1.在理解相似三角形基本性质的基础上，掌握相似三角形对应中线、对应高线、对应角平分线的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题。回忆全等三角形的性质: 两个全等三角形具有哪些性质?复习回顾全等三角形的对应角相等对应边相等对应高相等对应中线相等对应角平分线相等新知猜想展开想象的翅膀:相似三角形的对应角、对应边、对应高、对应中线及对应角平分线有何关系？根据相似三角形的定义我们可以知道哪根据相似三角形的定义我们可以知道哪些性质？些性质？对应角相等，对应边成比例。本节我们来研究其它性质我们把相似

2、三角形对应边的比值称为相似比猜想：相似三角形对应高的比是否等于相似比已知：如图，已知：如图，abc abc a ab bc c, , abcabc与与 a ab bc c的相似比是的相似比是k,adk,ad、a ad d是对应高。是对应高。求证：求证：kdaadbacdabcd证明：证明： abca b c b= b ad、ad分别分别是是abc与与 abc的高的高adb=adb=90o abda b d kbaabdaad做一做：做一做：a组，求证：相似三角形对应中线组，求证：相似三角形对应中线的比等于相似比。的比等于相似比。b组，求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比图24311中，a

3、bc和abc相似，ad、ad分别为对应边上的中线，be、be分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？你可以从中探索你可以从中探索到什么呢？到什么呢？ 对应边上的中线的比等于相似比；对对应边上的中线的比等于相似比；对应角上的角平分线的比等于相似比。应角上的角平分线的比等于相似比。两个相似三角形的两个相似三角形的周长比是什么？周长比是什么？ 相似三角形的周长比等于相似比相似三角形的周长比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。已知：求证：baabaccbbacabcabcbaabc证明：cbaabcaccacbbcbaabbaabaccbbacabcab(相

4、似三角形对应边成比例)(等比性质)acbbac做一做做一做 如下图如下图、分别是边长为分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似。的等边三角形，它们都相似。与的相似比=（ ）与的面积比=（ ）与的相似比=（ ）与的面积比=（ ） 由此我们可以得到什么结论？ 对等边三角形而言，面积比对等边三角形而言，面积比=相似比的平方。相似比的平方。2:14:13:19:1 想一想想一想 上述结论是否适用于上述结论是否适用于 一般的相似三角形？一般的相似三角形？a bcabcdd证明：证明：2121cbbcdaadcbdabcadsscbaabccbaabc baabdaadbaabcbbc分别过a、a，

5、作adbc于d，dcbda于作22baabbaabbaabsscbaabc 结论结论3 相似三角形的相似三角形的面积比为相似比的平方。面积比为相似比的平方。感悟与反思感悟与反思 通过前面的思考、探索、推理，我们得到通过前面的思考、探索、推理，我们得到相似三角形有如下性质；相似三角形有如下性质； 相似三角形对应相似三角形对应高的比高的比、对应、对应中线的中线的比比、对应、对应角平分线的比角平分线的比、周长的比周长的比等于相等于相似比。似比。 相似三角形相似三角形面积的比面积的比等于相似比的等于相似比的平平方方。已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格：相似相似比比2

6、k周长周长比比面积面积比比10000131如果两个三角形相似，相似比为3 5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2相似三角形对应边的比为2:5，那么相似比为_，对应角的角平分线的比为_，周长的比为_，面积的比为_3 52:52:54:253、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_，对应中线之比为_4 : 34 : 32:5自我测试自我测试1、两个矩形相似、两个矩形相似,它们的对角线之比是它们的对角线之比是1:3,那么那么 它们的相似比是它们的相似比是 ,周长比是周长比是 ,面积比是面积比是 .2、若两个相似三角形的相似比是、若两个相似三角形的相似比是3:5,其中第一其中第一 个三

7、角形的周长为个三角形的周长为21cm,则第二个三角形的则第二个三角形的 周长为周长为 cm.3、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来、如果把一个三角形每条边的长都扩大为原来 的的5倍，那么它的周长扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍，倍， 而面积扩大为原来的而面积扩大为原来的 倍。倍。4、如图，已知、如图，已知abcade， 且且bc=2de，则，则ade与四与四 边形边形bcde的面积比为（的面积比为（ ）(a)1：2 (b)1：3 (c)1；4 (d)1：5 abcdeb小王有一块三角形余料小王有一块三角形余料abcabc，它的边，它的边bc=60cmbc=60cm，高线，高线a

8、d=40cmad=40cm，要把它加工成正，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在方形零件，使正方形的一边在bcbc上，其余上，其余两个顶点分别在两个顶点分别在abab，acac上。上。挑战自我挑战自我abcsrepdq（1 1） asrasr与与 abcabc相似吗？为什么？相似吗？为什么？（2 2）求正方形）求正方形spqrspqr的面积。的面积。(1)(1)asrasr与与abcabc相似吗相似吗? ?为什么为什么? ?(2)(2)求正方形求正方形pqrspqrs的面积的面积. .分析分析:(:(1) 1) asrasrabc.abc.理由是理由是: :(2)(2)由由(1)(1)可知

9、可知, , asrasrabc.abc.四边形四边形pqrspqrs是正方形是正方形rsbcrsbcasr= basr= bars= cars= casrasrabc.abc.bcsradae设正方形设正方形pqrspqrs的边长为的边长为x cm, x cm, 则则ae=(40-x)cm,ae=(40-x)cm,.604040 xx解得解得,x=24.,x=24.所以正方形所以正方形pqrspqrs的的面积为面积为576cm576cm2 2. .( (相似三角形对应高相似三角形对应高的比等于相似比的比等于相似比) )例例 题题 解解 析析absrepdq4060思考题：思考题：abdce 在在abc中，中，bc=m，debc，交交ab于于e，交，