双曲线及其性质知识点及题型归纳总结(共15页)

1、双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.（3）时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：条件“”是否成立；要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.表10-2标准方程图形yxB1B2F2A2A1F1B1F1xyA1

2、F2B2A2焦点坐标，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得.切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，.则弦长，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，

3、则，r1r2F1yxF2P(x0,y0)O，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为.题型归纳及思路提示题型1 双曲线的定义与标准方程思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11 设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（ ）A

4、. B. C. D. 解析 设的方程为，则，得.椭圆的焦点为，因为，且由双曲线的定义知曲线是以为焦点，实轴长为8的双曲线，故的标准方程为，故选A.变式 1 设命题甲：平面内有两个定点和一动点，使得为定值，命题乙：点的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知和是平面上的两个点，动点满足，求点的轨迹方程.变式 3已知，动点满足，记动点的轨迹为，求的方程.例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点，焦点为； （2）实半轴长为且与双曲线有公共焦点； （3）经过点，.分析 利用待定系数法求方程.设双曲

5、线方程为“”，或“”，求双曲线方程，即求参数，为此需要找出并解关于，的两个方程.解析 （1）解法一：因为焦点坐标为，焦点在轴上，故可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，又因为，所以，解得，故所求双曲线方程为.解法二：由双曲线的定义， .得，故，双曲线方程为.（2）解法一：由双曲线方程，得其焦点坐标为，由题意，可设所求双曲线方程为，由已知，得，故所求双曲线方程为.解法二：依题意，设双曲线的方程为， 由.得，故所求曲线的方程为.（3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为，因为所求双曲线经过点，所以，解得，故所求双曲线方程为.评注 求双曲线的标准方程一般用待定系数法

6、，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在轴上还是在轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程，求出即可，这样可以简化运算.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点；且过点.变式 2 若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为，则双曲线方程为（ ）A. B. C. D. 解析 由焦点为，可知焦点在轴上，故设方程为，且，故.所以，故所求双曲线的方程为.故选A.变式 1 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方

7、程为（ ）A. B. C. D. 变式 2 已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则的方程为（ ）A. B. C. D. 变式 3 已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 题型2 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出，的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长.例10.14 双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 分析 对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析 双曲线的标

8、准方程为，焦点在轴上，且，故渐近线方程为，故所求渐近线方程为，即.故选A.评注 应熟记，若双曲线的标准方程为，则焦点落在轴上，渐近线方程为；若双曲线的标准方程为，则焦点落在轴上，渐近线方程为.本题也可以直接写出渐近线方程为，化简得.变式 1已知双曲线的一条渐近线的方程为，则_变式 2 设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）A.4B.3C.2D.1变式 3 已知双曲线的左、右焦点分别为，其中一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则等于（ ）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是_.解析 由题设可知其中一条渐近线方程为，则焦点到该渐近线的距离.评注 双曲线的一个

9、焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为.变式 1双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）A. B. 2C.3D.6变式 2 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 例10.16 过双曲线的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，若，作为双曲线的渐近线方程为_.解析 解法一：对于，则直线方程为，将该直线分别与两渐近线联立，解得，则有，因为，则，得，故，得双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为.CDxyOABH解法二：如图10-5所示，过点作交轴于点，作轴于，图10-5则由，得，故.又，所以，则为中点，即.又在直角三角

10、形中，故，即.故，即，故双曲线的渐近线方程为.评注 在解法一种，若注意到，则可利用巧妙求解；解法二更能帮助我们挖掘出图形的本质特征.变式 1 过双曲线的右顶点的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，且，则直线的斜率为_.题型3 离心率的值及取值范围思路提示求离心率的本质就是探求，间的数量关系，知道，中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线，则此双曲线的离心率为（ ）A. B.2 C. D. 解析 由题意可知，故，所以离心率.故选D.评注 本题若借用公式，则更为简洁，因为此种方法在求解过程中避开了基本量的求解，从而使得求解过程变得更为

11、简捷.但是同学们应对公式：椭圆中；双曲线中，加以熟练识记.变式 1 下列双曲线中离心率为的是（ ）A. B. C. D. 变式 2 已知点在双曲线上，的焦距为4，则它的离心率为_.变式 3 已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 例10.18 已知双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于_分析 因为不确定焦点在轴上还是在轴上，所以需分情况求解，由渐近线中的，关系，结合得出离心率.解析 依题意，双曲线的渐近线方程是.若双曲线的焦点在轴上，则因为双曲线的渐近线方程为，故有，所以离心率；若双曲线的焦点在轴上，则因为双曲线的渐近线方程为，故有，即，所以离心率；故离心率等于或

12、.评注 若双曲线方程为时（焦点在轴上），其渐近线方程为；若双曲线方程为时（焦点在轴上），其渐近线方程为；若双曲线的渐近线方程为；则其离心率（焦点在轴上）或（焦点在轴上）；若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（焦点在轴上）或（焦点在轴上）.变式 1 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ）A. B. C. D. 变式 2 若双曲线的离心率，则其渐近线方程为_.例10.19 已知双曲线.（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_.解析 （1）由题设可知，且，故，得，即，所以.（2）由题设可

13、知，且，即，由可得，得或（舍去），所以.变式 1 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 图10-6DCBAB1A2F1xyOA1F2B2变式 2 如图10-6所示，双曲线的两个顶点为，虚轴两个端点为，两个焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为.则（1）双曲线的离心率_.（2）菱形的面积与矩形的面积的比值_.F2F1M300xyO图10-7例10.20 双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 解析 依题意，如图10-7所示

14、，不妨设，则，则，故选B.变式1 已知是双曲线的两个焦点，为双曲线上的点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 变式2 已知是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为_.例10.21 双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 解析 解法一：由双曲线的定义知，故，又，故，即，又，故，故选B.解法二：利用的单调性，随的增加，减小，也就是说，当点右移时，值减小，故要在双曲线上找到一点，使得，而当点在双曲线的右顶点时，得，则，故选B.评注 若在双曲线上存在一点，使得，则，注意与椭圆中类似结论的区分和对比识记.变式1

15、 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是_.题型4 焦点三角形思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用.例10.22 过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为_.分析 利用双曲线的定义求解NxyOMF1F2图10-8解析 如图10-8所示，由定义知，所以，所以.变式 1 设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A. B.12C. D.24变式 2 双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，的面积为，则等于（ ）A.2B.

16、C.-2D. 变式 3 已知分别为双曲线左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则_. 有效训练题1. 已知双曲线，直线过其左焦点，交双曲线左支于两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则的值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3. 已知为双曲线的左、右焦点，点在上，则（ ）A. B. C. D. 4. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 5. 双曲线的左、右焦点分别为，且恰好为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. l图10-9EMFxyO6. 如图10-9所示，过双曲线的一个焦点引它的渐近线的垂线，垂足为，延长交轴于，若，则该双曲线的离心率为（ ）A.3B.2C. D. 7. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则_， _.8. 已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一个点，若，则的值为_.9. 若双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是_.10