一元二次不等式的解法

1、课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基零点零点根根定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式，叫一元二次不等式。250 xx 1一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：次方程的关系如下表：判别式判别式b24ac000二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象的图象20axbxc 0bx c 2 ax0bx c 2 ax0 0 0 2yaxbxc12 |x xxx 12 |x xxxx或1 |x xxr无实数解12xx0a 函数函数 、方程、不等式之间的关系、方程、不等式之间的关系1212,xx xxxx且(y0)(

2、y0oyxy0oyx1x2xy0y0oyxx1x20 0 0 x1=x22200axbx caxbx c 的解的解1212xxxxxxx或20(0)axbxca一元二次方程0(0)(0)abxcaf xaxbxc a22一元二次不等式 x一元二次函数 ( )=若有两个不同的根若有两个不同的根 ,用口诀用口诀：“大于取两边大于取两边,小于取中间小于取中间”12,x x1设集合设集合a ，bx|x21，则，则ab () ax|1x2b. cx|x2 dx|1x2解析：解析：由由x21得得1x1，bx|1x1，abx|1x0的解集为的解集为x|1x ， 则则 ab的值为的值为 () a6 b5 c6

3、 d5解析：解析：因因x1， 是方程是方程ax2bx10的两根，的两根， 又又1 ，a3，b2，ab6.答案：答案：c4不等式不等式2x22x8的解集是的解集是_解析：解析：原不等式等价于原不等式等价于由由x22x2，得，得x1 或或x1 ，由由x22x8，得，得2x4，原不等式的解集为原不等式的解集为x|2x1 ，或，或1 x4答案：答案：(2,1 1 ，4)5若若a0，则不等式，则不等式x22ax3a20的解集为的解集为_解析：解析：令令x22ax3a20，则，则x13a，x2a，又又a0，3aa，不等式的解集为不等式的解集为x|3axa答案：答案：x|3ax0(a0)，ax2bxc0)；

4、(2)计算相应的判别式；计算相应的判别式；(3)当当0时，求出相应的一元二次方程的两根；时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集2对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二，这决定此不等式是否为二 次不等式；次不等式；(2)当二次项系数不为当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于时，讨论二次项系数是否大于0，这决

5、，这决 定所求不等式的不等号的方向；定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小判断二次不等式两根的大小解下列不等式：解下列不等式：(1)x22x 0；(2)ax2(a1)x10(ar)思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记(1)两边都乘以两边都乘以3，得，得3x26x20，且方程，且方程3x26x20的解是的解是x11 ，x21 ，所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是x|1 x1 (2)若若a0，则原不等式等价于，则原不等式等价于x11；若；若a0 x1；若若a0，则原不等式等价于，则原不等式等价于 (x1)1时，时， 1，所以，所以(*) x1；当当0a1，所以，所以(*)1

6、x .综上所述：当综上所述：当a1；当当0a1时，解集为时，解集为 .1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能 力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型解题时一元二次不等式应用题常以二次函数为模型解题时 要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解 法求解法求解2不等式应用题一般可按如下四步进行：不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不阅读理解、认真审题，

7、把握问题中的关键量，找准不 等关系等关系(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系引进数学符号，用不等式表示不等关系(3)解不等式解不等式(4)回归实际问题回归实际问题 国家原计划以国家原计划以2 400元元/吨的价格收购某种农产吨的价格收购某种农产品品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳元纳税税8元元(称作税率为称作税率为8个百分点，即个百分点，即8%)为了减轻农民负为了减轻农民负担，决定降低税率根据市场规律，税率降低担，决定降低税率根据市场规律，税率降低x个百分个百分点，收购量能增加点，收购量能增加2x个百分点试确定个百分点试确定x的范围，使税

8、的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记设税率调低后的税收总收入为设税率调低后的税收总收入为y元，元，则则y2 400m(12x%)(8x)% m(x242x400)由题意知，由题意知，0 x8，要使税收总收入不低于原计划的要使税收总收入不低于原计划的78%，须须y2 400m8%78%，即即 m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得整理，得x242x880，解得，解得44x2，又又0 x8，0 x2，所以，所以，x的取值范围是的取值范围是(0,2.1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变

9、量，谁是参解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参 数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范 围，谁就是参数围，谁就是参数2对于二次不等式恒成立问题，恒大于对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于轴上方，恒小于 0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方轴下方 已知不等式已知不等式mx2-2x-m+10. (1)若对所有的实数若对所有的实数x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m的取值范围的取

10、值范围（2）设不等式对于满足）设不等式对于满足|m|2的一切的一切m的值都成立，的值都成立，求求x的取值范围的取值范围.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)不等式不等式mx22xm10恒成立，恒成立，即函数即函数f(x)mx22xm1的图象全部在的图象全部在x轴下方轴下方注意讨论注意讨论m0时的情况时的情况当当m0时，时，12x 时，不等式恒成立；时，不等式恒成立；当当m0时，函数时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满为二次函数，需满足开口向下且方程足开口向下且方程mx22xm10无解，无解，即即 ，则，则m无解无解综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m.(2)从形式上看，这是一

11、个关于从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且的一元一次不等式，并且已知它的解集为已知它的解集为2,2，求参数，求参数x的范围的范围设设f(m)(x21)m(12x)，则其为一个以则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当由题意知该直线当2m2时线段在时线段在x轴下方，轴下方， ，即即解解，得，得x ，解解，得，得 x .由由，得，得 x .x的取值范围为的取值范围为 若若x1，)时，时，x22ax2a恒成立，试求恒成立，试求a的取值范围的

12、取值范围.解：法一：解：法一：令令f(x)x22ax2，x1，)f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为，此二次函数图象的对称轴为xa.(1)当当a(，1)时，结合图象知，时，结合图象知，f(x)在在1，)上单调递增，上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使要使f(x)a恒成立，只需恒成立，只需f(x)mina，即即2a3a，解得，解得3a1；(2)当当a1，)时，时，f(x)minf(a)2a2，由由2a2a，解得，解得2a1，1a1.综上所述，所求综上所述，所求a的取值范围为的取值范围为3a1.法二：法二：由已知得由已知得x22ax2a0在在1，)上恒成立，上恒成立，令令f

13、(x)x22ax2a，即即4a24(2a)0或或解得解得3a1. 以选择题或填空题的形式直接考查一元二次不以选择题或填空题的形式直接考查一元二次不等式的解法或以集合运算为载体考查一元二次不等式等式的解法或以集合运算为载体考查一元二次不等式的解法是高考对本节内容的常规考法的解法是高考对本节内容的常规考法.09年天津高考年天津高考则以含参不等式的解法为载体，考查了参数取值范围则以含参不等式的解法为载体，考查了参数取值范围的求解问题，是高考一个新的考查方向的求解问题，是高考一个新的考查方向. 考题印证考题印证 (文文)(2009天津高考天津高考)若关于若关于x的不等式的不等式(2x1)2ax2的的解

14、集中的整数恰有解集中的整数恰有3个，则实数个，则实数a的取值范围是的取值范围是_【解析】【解析】不等式可化为不等式可化为(4a)x24x10，由，由于原不等式的解集中的整数恰有于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以个，所以 ，即，即0a4，故由，故由得得 x 又又 ，所以解集中的，所以解集中的3个整数个整数必为必为1,2,3，所以，所以3 4，解得，解得 a .【答案】【答案】( (理理)(2009天津高考天津高考)设设0b(ax)2的解集中的整数恰有的解集中的整数恰有3个，则个，则 () a1a0 b0a1 c1a3 d3a0.(1)a1，结合不等式解集形式知不符合题意，结合不等式解集形式知不符合题意(2)a1.此时此时 x ，由题意由题意0 1，要使原不等式解集中的整数解恰有要使原不等式解集中的整数解恰有3个个知知3 2.整理得：整理得：2a2b3a3.结合题意结合题意b1a，有，有2a21a.a3，从而有，从而有1amx的解集是的解集是x|0 xmx可化为可化为x2(2m4)x0，由于，由于其解集为