2021年高三上学期年中年末考试数学理试题分类汇编：立体几何

1、2021年高三上学期年中年末考试数学理试题分类汇编：立体几何立体几何【一】选择题1、昌平区2021届高三上学期期末某三棱锥的三视图如下图，那么该三正（主）视图侧（左）视图俯视图棱锥四个面的面积中最大的是A. x/5B. 3C. 迈2D3厉2、朝阳区2021届高三上学期期末某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的侧面积是A、27B、30C、32D、363、大兴区2021届高三上学期期末某几何体的三视图如下图，那么该几何体的（A3B 6C9 D 124、东城区2021届高三上学期期末某三棱锥的三视图(单位：cm)如下图,那么该三棱锥的体积等于竝左)视囹D 9 cm3B 2 cm35、东城区2021届

2、高三上学期期末如下图，正方体ABCD-AB'CD'的棱长为1, E,F分别是棱X , CU的中点，过直线 E，F的平面分别与棱DD，交于WN ,设BM=x , xe (0,1),给出以下四个命题： 四边形MEVF为平行四边形； 假设四边形MENF面积5 = f(x) f x e (0,1) z那么/(X)有最小值； 假设四棱锥AMENF的体积V = p(x) , xw(0,l),那么/心)常函数； 假设多面体ABCD-MENF的体积V = h(x) , xe(ij),那么/心)为单调函数其中假命题为 (幻(B)(C)D6、丰台区2021届高三上学期期末在以下命题中： 存在一个平

3、面与正方体的12条棱所成的角都相等; 存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等; 存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等; 存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.其中真命题的个数为(A 1 2(C) 3(D)47、海淀区2021届高三上学期期末正Tjabcd-a'b'c'd',记过点a与三条直线所成角都相等的直线条数为加，过点A与三个平面 ABAC,AD'所成角都相等的直线的条数为“，那么下面结论正确的选项是A. m = 1,/? = 1B. m = 4.n = 1C. 加= 3,” = 4D.加=4屮=48、石景山区2021届高三

4、上学期期末如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面EBCU的中心，点F为BC的中点，那么空间四边形DOEF 在该正方体的面上的正投影不可能是 正（主视團侧（左）视图9、石景山区2021届高三上学期期末如图，在等腰梯形4BCD中，AB = -CD ,时分别是底边AB,CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起,使得面BEFC丄面ADFE ,假设动点Pw平面ADFE ,设P3,PC与平面ADFE所10、西城区2021届高三上学期期末一个几何体的三视图如下图，那么这个 几何体的表面积是A16 + 2馅B16 + 2的C 20 + 2石 D20 + 2的n1L1Ti j俯视團参考答案1、C

5、2、A3、B4、A5、D6、D7、D8、D9、C10、B【二】填空题1、丰台区2021届高三上学期期末某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为2、海淀区2021届高三上学期期末某四棱锥的三视图如右上图所示,那么该四棱锥中最长棱的棱长为_.参考答案1、岁 2、2苗【三】解答题1、昌平区2021届高三上学期期末在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面A3CD , 39为等边三角形,AB = AD = LcD,ABAD,ABCD,点M 是PC的中点2I求证:MB/平面PAD ；II求二面角P-BC-D的余弦值；IH在线段PB上是否存在点N ,使得 DN丄平面PBC ?假设存在，请求出H 的值；假

6、设不存在,请说明理由.求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值3、大兴区2021届高三上学期期末如图，在 三棱锥K-ABC中#平面AXC丄平面ABC z KC丄AC #AC丄AB,H为曲的中点，KC = AC=AB = 2I 求证:CH丄平面灿？;口求二面角H-BC-A的余弦值；DI假设M为AC中点,在直线KB上是否存在点N使MN /平面HBC, 假设存在，求出册的长，假设不存在，说明理由.4、东城区2021届高三上学期期末如图 在四棱锥P-ABCD中 底面ABCD为正方形，A4丄底面ABCD , AB = AP,E为棱PD的中点.I )证明:AE丄CD ；口求直线AE与平面所成角的正弦

7、值；皿假设F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM丄AC，假 设存在，求出 学的值，假设不存在，说明理由.MCBECIl BC t AB丄AD , E是力3的中点，I求证：CAl平面少3;5、丰台区2021届高三上学期期末如图，在四棱锥ZM3UQ中f ADAB=AD=PA=PB=2 , BC=1 f PC二品.口求证：PF丄平面ABCD;(HI)求二面角&PA-C的余弦值 6、海淀区2021届高三上学期期末如图,在四棱锥P- ABCD中，阳丄底面，底面为梯形t AD/ BCW丄AB zPB = AB = AD = BC = .I假设点F为PD上一点且PF = *PD ,J证明：C

8、F平面朋B ；口求二面角B-PD-A的大小；皿在线段PD上是否存在一点M ,使得CM丄朋？假设存在，求出PM的长；假设不存在，说明理由.7、石景山区2021届高三上学期期末在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD丄 底面ABCD , PD1CD , £为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB/CD , ZADC = 90 , AB = AD = PD = 1 , CD = 2 I ）求证:3E平面PAD ；口求证:BC丄平面P3D ；皿在线段PC上是否存在一点Q ,使得二面角Q-BD-P为45。?p学期期末如面/WO是平丄底面E.F分别为假设存在，求的值；假设不存在，请述明理由8、西城区2

9、021届高三上 图，在四棱锥P-ABCD中，底 行四边形，ZBCD = 13S，侧面ABCD f/BAP = 9（yiAB = AC = PA = 2,BCMD的中点，点M在线段"上PI ）求证:丄平面PAC ；H假设M为"的中点，求证:MEII平面MB ；DI如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABO所成的角 相等/求髡的值参考答案X1、( I )证明:取"中点连结MH、AH因为M为PC中点，所以 HM HCD、HM =、CD因为 AB/CDAB = 1cD2J所以AB/HM 且 =.所以四边形为平行四边形，所以 BM IIAH .因为BM(z平PA

10、D,AH u 平面 PAD,所以BM 平面PAD.4 分口取AD中点0,连结PO.因为PA = PD,所以PO丄AD因为平面PAD丄平面A3C0平面PAD R平面ABCD = AD,POu 平面 PAD,所以P0丄平ABCD取BC中点K，连结OK那么OK 11 AB.以o为原点如图建立空间直角坐标系, 设 AB = 2,那么 A(IQO),B(120),C(-140)4-1,0,0),P(0,0“),疋=(一22 0),两=(12-巧)平面BCD的法向量OP = (0,0"),设平面PBC的法向量n = (x, y, z), 由BC= 0,彳曰 J-2x + 2>- = 0,P

11、Bn =(X x + 2y->/Jz = ° 令 x = l ,那么 7 = (1,1,的).cos <iopiiTiOPn5由图可知,二面角P-BC-D是锐二面角，所以二面角 P-BC-D 的余弦值为59分皿不存在设点 N(x,y,z)，且 = 2,2 e0,l,另0么丽=兄两，所以(x,)z-73) = z(1,2,-a/3).x =那么y = 22,乙=羽_屈所以N(2,2入一屈人 而 = (2 + 1,2入馅一屁)假设DN丄平面PBC那么DN/f 即川2 '此方程无解,所以在线段PB上不存在点 NDN丄平面PBC.14分2、解： 因为 cos ZADB =

12、 - ,所以sin ZADB = 又因为=三,所以ZC = Z4DB 7 44所以sinZC = sn(ZADB一-) = sinZADB cos-cosZADB-sin 444_7血迈亠迈近_410210257分口在A4CD中，由ADsin ZCAC"sin ZADC7 4得 AD=ACsmZC= = 242 伶 sin AADC ly/2"10i7 /*?所以Sn=-AD BDinZADB = -2y/2-5 = 7 乙厶1 u13分3、( I )因为平而KAC丄底而ABC,且AB垂直于这两个平而的交线AC所以AB丄平而K4C1分所以丄因为CK=C4, HiAK中点 所

13、以CH丄AK 3分因为4BcAK=A,所以CH丄平而AKB 4分口如图建立空间直角坐标系A-xyz,贝驭(0,0,0) , 320,0) , C(0,2.0) , K(0,2,2) , H(0,l,D所以C/=(0,-1,1) , B6=(-2,2,0) 1 刀设平面HBC的法向量为齐=(兀” z),CH n = 0BC n = 0令尸1,则z=l,x=l.所以2 = （1丄1） 3分取平而ABC的法向量为石= （0,0,1） 4分cos < m.n >=因为所求的二面角为锐角，所以二面角H-BC-A的余弦值为£ 6分皿 设 KN=AKR t NSb,c 1 分则（讥一2

14、七-2） = （2入-2入-22）a = 22 所以b = 2-22c = 2-22所以N（2/l,22入2-2几）因为M（0丄0）,所 W/V=（2A 1-22,2-2/1） 2 分由MN n = 0 可得3-22=0,所以几=二3分2KN=-KB=-KB=-x2>/3=343.2 2 2所以直线KB上存在点M KN的长为3>/1 4分 4、 I 证明：因为P4丄底面ABCD #所以P4丄CD因为AD丄CD ,所以CD丄面PAD.由于AEu面PAD ,所以有CD丄AE 4分口解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图， 不妨设= 2 # 可得3(200) , C(2,2,0)

15、 , D 0,2,0 z由E为棱"的中点，得E(0丄1)疋=(0丄1)向量丽=(-220),莎=(2,0,-2) 设/J = (x,y,z)为平面PBD的法向量，那么B刀=0 即 f-2x + 2y = 0 . 齐两=02x-2z = 0解：I取AP的中点M不妨令y = l，可得斤=1,1,1为平面PBD的一个法向量.所以 cos(AE,EF)= 所以，直线EF与平面所成角的正弦值为3皿解:向量可= (_2,Z2) , AC = (2,2,0) , AB = (2,0,0).由点M 在棱 PC 上 z tgCM=2CP,(0<2<l).故 FM =FC + CM =(-2

16、Ay2-22A).由 FM 丄 AC , FM AC = 0 , 因此，(1-22)x2 + (2-22)x2 = 0，解得兄=2.4所以PM _ 1MC 35、因为M是AP中点# F是PD中点，所以济|4£)"尸=加, 又因为 BCAD.BC = AD , 所以四边形BCFM是平行四变形FCBM.FC(X面 ABP f BM u 面 ABP所以FC面ABP5 分口连接CE ,因为在AABP中,AB = AP = BP ,点E是边AB在的中点，所以PE丄皿且PE = j2'-f =* ,在冷 AfiEC 中,BE = EC = , EB 丄 BC ,所以 EC =

17、Q在 APEC 中,PE = y/3 , EC = y/2 f PC = yf5 # 所以PE丄EC又因为 ABrEC = E.AB<z面 MC£> , ECu面 ABCD所以M丄面ABCD9 分m取CD中点N ,以EB , EN f EP分别为轴X小轴,z轴,建立空间直角坐标系，各点坐标为：B(L0O f因为：BC 丄 PE f AB 丄 BC面ABP的法向量为BC = （OJ.O）设面ABP的法向量为/7 2 =（兀，儿,Z。）AP = (L0.yf3) f AC = (2J.O)=0 jx° +辰)=0 AC n2 =02x04-y0 =0由图可知二面角为

18、锐二面角，设锐二面角为&cos=,nT面角B-PA-C余弦值为：cos&=l "勺I q I I n2 I時 14分 6、解：I）过点F作阳 2 ,交PA于“连接 因为 PF = 0，所以HF = AD = BC又 FH/AD , AD/BC ,所以 HF 眈分所以BCFH为平行四边形，所以CF/BH3分又Mu平面如，CF<Z平面4分一个都没写的，那么这1分不给PAD.5分口因为梯形MCD中f AD/BC t Q丄佔，所以眈丄A3.因为刖丄平面初8 ,所以PBA.AB, PB丄BC,如图，以为原点，BC3AMP所在直线为兀曲轴建立空间直角坐标系,6分所以 C(

19、1,0、0), D(3,3,0), A(0,3,0), P(0,0,3).所以PD n = 0BP n = 03x + 3y-3z = 03z = 07分取 x = l 得到 a (1,-1,0)8分设平面3加的一个法向量为 n=(x,y,z) ,平面旳的一个法向量为= 因为 PD = (3,3厂3),丽=(0.0,3),同理可得心(0丄1),所以COS G切=n m _1n ll;nr"2/10分因为二面角B-PD-A为锐角， 所以二面角B-PD-A为*11.分皿假设存在点 M ,设 =/lPD = (3A,32,-3A),所以 CM =CP + zlPA/ = (1 + 3兄,3

20、几,3 3/1)，12 分所以PX-GW =-9/l + 3(3-3A) = 0 ,解得人=£13 分所以存在点M，且=14分7、解：I取PD的中点F，连结EF,AF，因为E为PC中点，所以EF/CD ,S.EF = -CD = ,在梯形ABCD中 z ABIICD , AB = 1 ,2所以EF/AB f EF = AB ,四边形ABEF为平行四边形，所以BE/AF ,2 分因为BEu平面PAD , AFu平面PAD ,所以BE II平面PAD4分口平面PCD丄底面ABCD , PD1CD ,所以PD丄平面ABCD ,所以PD丄AD5分如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-x)7.

21、那么 A(l, 0,0), B(l, 1,0), C(0,2,0), P(0,0,l).6分£>B = (1,1,0) z BC = (-1,1,0),所以册丽=0 , BC丄DB ,8分又由PD丄平面ABCD ,可得PDVBC , 因为 PDc BD = D所以BC丄平面PBD9分皿平面的法向量为BC = (-1,1,0),10分PC = (0,2,-l) , PQ = APC , 2 e (0,1)所以C(0,2z,l-2) ,11 分设平面QBD的法向量为n = (abc),DB = (hL0) z D(? = (0,22J-A),由“丽=0 , n DQ = 0 ,得2Ab + (-A)c = 0a + b = 0所以w = (-l,l,-),71 112分所以“扁13分注意到 2 e (0,1),得 2 = 72-1.所以在线段PC上存在一点0 ,使得二面角Q BD P为45,此|旳分时148、( I )证明：在平行四边形ABCD中，因为AB = AC , ZBCD = 13亍,所以A3丄AC由EF分别为BCAD的中点，得EFIIAB ,所以£F 丄 AC.1分因为侧面PAB丄底面ABCD ,且ABAP = 9(7 ,所以PA丄