复变函数3-习题课

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分一、定积分一、定积分二、围线积分二、围线积分三、用积分不等式证明三、用积分不等式证明四、已知调和函数求解析函数四、已知调和函数求解析函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义多连通区域多连通区域的柯西定的柯西定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数机动机动 目录目录 上页上

2、页 下页下页 返回返回 结束结束 3例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段的线段C1与从与从 到到 的线的线段段C2 所接成的折线所接成的折线. czzd)0 ,0()1 ,1()0 , 0()0 , 1()0 , 1()1 , 1(解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 一、积分定义一、积分定义（适用于函数在积分曲线上有奇点或（适用于函数在积分曲线上有奇点或在积分区域内部有无穷多奇点情况）在积分区域内部有无穷多奇点情况）机动机

3、动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5, iez ,dd iiez ,d|d| z |d| |1|1|zzz设设 则则 所以所以例例2 计算积分计算积分解解. |d| |1|1|zzz . 8d|sin1cos|20 i机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6 cdzzzz设设C 为正向圆周为正向圆周 |z| = 3,则则练习：练习：答案答案：6 i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

4、 7解解222442zzzz , 1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例3 3 计算计算1 z当当 时时,故由柯西定理得故由柯西定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz二、沿围线积分二、沿围线积分(重要公式、柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式重要公式、柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8计计算算以以下下积积分分沿沿指指定定路路径径23: izC CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由柯西积分定理有由柯西积分定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分

5、别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222例例4 Czfizf d)(21)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9 CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz 2122ii. i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10由由柯柯西西积积分分定定理理有有则则及及为为半半径径作作圆圆以以为为圆圆心心及及以以分分别别及及内内有有两两个个奇奇点点在在,41,00)1()2(

6、212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222由柯西积分公式得由柯西积分公式得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12.10,d)1(3光滑曲线光滑曲线的闭的闭与与是不经过是不经过其中其中计算计算CzzzeCz 解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也也不不包包

7、含含既既不不包包含含若若封封闭闭曲曲线线, 10)1C,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze由柯西定理得由柯西定理得例例5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13则则而而不不包包含含包包含含若若封封闭闭曲曲线线, 10)2C由柯西积分公式得由柯西积分公式得xyOC 1 Czzzzed)1(303)1(2 zzzei.2 i zzzeCzd)1(3 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14则则而而不不包包含含包包含含若若封封闭闭曲曲线线,01)3C,)(内解析内解析在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公

8、式得 Czzzzed)1(3zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie zzzeCzd)1(3 ), 2 , 1(d)()(2!)(1)( nzfinzfCnn 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15, 01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以CCCCCCC 据柯西积分定理有据柯西积分定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11

9、C2C机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17i 32 zi 32 dlim32cizzezi 32 dlim32cizze练习：练习：设设C为过点为过点的正向简单闭曲线，则当的正向简单闭曲线，则当从曲线从曲线C内部趋向内部趋向时，时， 当当从曲线从曲线C外部趋向外部趋向时，时，答案：答案：3sin3cos22iie 0机动机动

10、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并证明并证明求积分求积分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i )( , iez令令 1dzzzze diieieeei diee i 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos

11、(sin0cos e机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20例例7 7证证), 2 , 1()!1(11)!1()0( ,11)( )( 1 )( nnennfzzfzfznn证明证明解析且解析且内内如果如果, 10d)(2!)0( 1)( rzzzfinfrznn因为因为 rznnzzzfnfd)(2!)0( 1)(所以所以 rznzzznd)1(12!1,)1(!nrrn ,1 nnr取取不等式即证不等式即证.三、利用积分估值不等式证明三、利用积分估值不等式证明机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21).,(),()(),(.),(22yxi

12、vyxuzfyxvxyyxyxu 及及解解析析函函数数轭轭调调和和函函数数求求其其共共已已知知调调和和函函数数解解 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又例例8四、用调和函数求解析函数四、用调和函数求解析函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22,2)(2:yxygx 比较两式可得比较两式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222为任意常数为任意常数因此因此CCyxxyv 因而得到解析函数因而得到解析函数),(),()(yxiyxuz

13、f iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23解解xuyv 因为因为yyxyxyxvd)3123(),(22 所以所以),(63322xgyxyyx ,yuxv 因为因为)666()(66222yxyxxgyxy 所以所以26)(xxg xxxgd6)(2 ,23Cx 3223236),(yxyyxxyxu ivuzf )(. 0)0( f例例9 9 已知已知 求解求解析函数析函数 ,使符合条件使符合条件,312322yxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24)263(236)(33223223Cxyxyyxiyxyyxxzf iCzi 3)21(0)0( f.)21()(3zizf 故故Cxyxyyxyxv 3322263),