大学物理 第8章 机械波2

1、1 （1）写出波线上某点）写出波线上某点x0 的振动方程；的振动方程； （2）建立坐标系；）建立坐标系； （3）在波线上任取一点）在波线上任取一点x，并写出该点处质点的振动并写出该点处质点的振动相对于相对于x0 处质点落后或超前的时间：处质点落后或超前的时间： （4）将）将x0 处质点的振动表达式中的处质点的振动表达式中的 t 加上或减去加上或减去 t 即可。即可。00()txux 即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。2x ux 2tT 或者：在相位里或者：在相位里 加上或减去加上或减去 即可。即可。上次课小结上次课小结:建立波动方程

2、的一般步骤：建立波动方程的一般步骤：)(cos uxtAy2xOPau,),32cos(aOPtAyp距距离离为为已已知知： 写出波动方程。写出波动方程。T1 2uT u )3)(2cos uaxtAy3)(2cos utxA)(2cos xtA)(cos uxtAy)(2cos xTtA 由波动方程或波形图的标准形式，求出波的由波动方程或波形图的标准形式，求出波的频率、周期、波速、波长频率、周期、波速、波长(必考内容！必考内容！)T1 2uT u4例：例：一平面简谐波的波动方程为一平面简谐波的波动方程为 y = 0.25cos(125 t -0.37x) （SI），其圆频率），其圆频率，波速

3、，波速u，波长波长。分析分析：由由比较，可得比较，可得1125;rad s cos(),2/yAtkxk 与与)37. 0125cos(25. 0 xty )338(125cos25.0 xt )(2cos xTxA ;3381 smu;0 .17 m .05. 0sT )1705.0(2cos25.0 xt )(cosuxtA 5第第8章章 机械波机械波8.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播8.2 平面简谐波平面简谐波8.3 波的能量波的能量 波的强度波的强度8.4 惠更斯原理惠更斯原理8.5 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 驻波驻波8.6 多普勒效应多普勒效应8.2.2

4、波动方程波动方程（自己看自己看）8.6 多普勒效应（多普勒效应（自学自学）8.3.3 声波、次声波和超声波（声波、次声波和超声波（不要求不要求）注：注：68.3 波的能量波的能量 波的强度波的强度一、波的能量一、波的能量振动有能量，振动的传振动有能量，振动的传播将导致能量的传播。播将导致能量的传播。搞清搞清以弹性以弹性棒中棒中的简谐横波的简谐横波为例来分析为例来分析1. 媒质质元的动能、势能、总能量媒质质元的动能、势能、总能量任意任意 x 处一处一“质元质元”V , 其质量其质量m= V, 为密度。为密度。 yxo yx y =Acos ( t- -x /u)oux x+ x振动动能振动动能

5、Wk形变势能形变势能 Wp媒质媒质质元能量质元能量是如何变化的？是如何变化的？能量传播的能量传播的规律规律如何？如何？ yy+ y21 ()2kWm 而而)(sinuxtAty 动能为：动能为：7 （3）波动质元波动质元中总能量：中总能量：W= Wk + Wp const ，随随时间时间 t 在在 0 和最大值之间作周期性的变化；而对某一给和最大值之间作周期性的变化；而对某一给定时刻每一质元的总能量又随各自的平衡位置定时刻每一质元的总能量又随各自的平衡位置x 间作周间作周期性的变化。期性的变化。2221sin()2xVAtu 可以证明可以证明，该质元的弹性势能，该质元的弹性势能pkWW 222

6、sin()kpxWWWVAtu 总机械能：总机械能：21()()2kyWVt 2. 波动能量的特点波动能量的特点 （1）对某一质元，其动能与势能是同相地随时间变化）对某一质元，其动能与势能是同相地随时间变化的，而且在任一时刻都具有相等的量值。即的，而且在任一时刻都具有相等的量值。即二者等值同二者等值同相。相。同时达最大，同时为同时达最大，同时为0 。每个质元都与周围媒质交换能量。每个质元都与周围媒质交换能量。 （2）质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度）质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度 , 同同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大位时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最

7、大位移时，动能、势能均为零。移时，动能、势能均为零。能量在传播。能量在传播。8 （4）波的实质是能）波的实质是能量的传播过程，且波量的传播过程，且波的能量是以波的传播的能量是以波的传播速度和方向传播的。速度和方向传播的。 （5）波动的能量与）波动的能量与振动振动能量是有区别的：能量是有区别的：WkWpxy 波动波动质元质元总机械总机械能随时间周期性的变能随时间周期性的变化，动能最大时，势化，动能最大时，势能也最大，动能为零能也最大，动能为零时，势能也为零时，势能也为零；xy 极大极大 极小极小 能量极小能量极小9)(sin21212222 tmAmEk)(cos21 21222 tkAxkEp

8、 孤立振动系统的质孤立振动系统的质元动能最大时，势能最元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不小，总机械能守恒，不向外传播能量。向外传播能量。孤立振动系统孤立振动系统与外界无能量交换。与外界无能量交换。tyEpEk10 波动传播时，介质单位体波动传播时，介质单位体 积内的总积内的总机械能。机械能。（1）能量密度：）能量密度：222sin ()WxwAtVu （2）平均能量密度（对时间平均）平均能量密度（对时间平均) dsin12022 AT其中其中, T2dsin02 tuxtATwTd)(sin12202 二、二、 能量密度能量密度221 2 2Aw （适于各种弹性波适于各种弹性波）22A

9、（特征特征） 能量密度随时间变化的周期为波动周期的一半。能量密度随时间变化的周期为波动周期的一半。结论：结论： 能量密度与振幅平方能量密度与振幅平方A2 、频率平方频率平方2和质量密和质量密度度均成正比。均成正比。2221 A 11对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变。变。2221Aw 即：媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过即：媒质中并不积累能量

10、。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波波动的能量沿波速方向传播速方向传播。12 单位时间内垂直通过某一截面的能量单位时间内垂直通过某一截面的能量, , 称称为波通过为波通过该截面的能流该截面的能流，或叫，或叫能通量能通量。三、能流能流 能流密度能流密度能流能流）（波的传播（波的传播能量传播能量传播（1）能流能流P :设波速为设波速为 ，u在在t 时间内通过垂直于波速截面的能量时间内通过垂直于波速截面的能量: :WutSw w 为截面所在位置的能量密度为截面所在位置的能量密度, ,所以，能流为：所以，能流为：SutuWPuS

11、wt 222sin ()xu SAtu 显然能流是随时间周期性变化的显然能流是随时间周期性变化的, ,但它总为正值但它总为正值. .在一个周期内能流的平均值称为在一个周期内能流的平均值称为平均能流平均能流:PuSw 13 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为称为平均能流密度平均能流密度，通常称为，通常称为能流密度能流密度或或波的强度波的强度。PIuwS 换句话说，能流密度是换句话说，能流密度是单位时间单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量平均能量。uAI2221 能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。

12、能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。（2） 能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）u单位面积单位面积xuwuA2221 14 波的吸收波的吸收 实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。能量。吸收的能量转换为媒质的内能和热。吸收的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。uAI2221 自学自学P182式式(8-26)以下本节内容以下本节内容 （1） 波传播时振幅的变化波传播时振幅的变化 平面波：平面波：A1= A2 ； 球面波：球面波：

13、A1 r1 = A2 r2 （2）波的吸收波的吸收15例例1 一平面简谐波，频率为一平面简谐波，频率为300Hz，波速为波速为340ms-1，在在截面为截面为3.010 -2 m2 ，的管内空气中传播，若在的管内空气中传播，若在10s内通内通过的能量为过的能量为2.710 -2 J ，求，求: （1）通过截面的平均能流；）通过截面的平均能流； （2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度； （3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：（1）WPt sJ/107 . 210107 . 232 （2）uwI ) sJ/m(100 . 922 （3）uIw utPIS WSut 3(J/m )

14、WSut WSt 16四、声波四、声波 声强级声强级 声波是纵波声波是纵波 声强：声强： 2212IuA人的耳朵对空气中人的耳朵对空气中 1 kHz 的声音：的声音： 12210/IWm下下闻阈闻阈 21/IWm上上 痛阈痛阈 正常人耳的听觉范围：正常人耳的听觉范围： 20 20kHz, I下下 I 310 3 低频低频 10100K 跨越大洋长距跨越大洋长距离通讯与导航离通讯与导航 中波中波 310 3 210 2 中频中频 1.010 2 1.510 3 无线电广播无线电广播 中短波中短波 210 2 50 高频高频 1.5K6M 电报通讯电报通讯 短波短波 5010 6M30M 无线电广

15、播无线电广播 超短波超短波（米波）（米波） 101 超高频超高频30M0.3G 调频广播、调频广播、电视与导航电视与导航 甚高频甚高频25水波通过窄水波通过窄缝时的衍射缝时的衍射二、惠更斯原理二、惠更斯原理1、依据现象：、依据现象：入射波入射波衍射波衍射波障碍物障碍物dd 障碍物的小孔成障碍物的小孔成为新的波源为新的波源2、原理内容、原理内容:介质中波传到的各点介质中波传到的各点, 都可看作是发射都可看作是发射子波的波源子波的波源 (点波源点波源)。在以后的任一时刻。在以后的任一时刻, 这些子波面的这些子波面的包络面包络面（包迹）（包迹）就是该时刻的波前就是该时刻的波前 。 26 媒质中波面上

16、媒质中波面上各点各点都可以看都可以看作是发射子波的新的作是发射子波的新的波源波源；其后；其后任一时刻，子波的包迹是新的波任一时刻，子波的包迹是新的波阵面。阵面。3. 应用：应用： （1）已知某时刻的波振面，用）已知某时刻的波振面，用作图法确定下一时刻的波振面。作图法确定下一时刻的波振面。tt+tutt+tt （2）用惠更斯原理作图法解释）用惠更斯原理作图法解释波的衍射现象波的衍射现象 ( P186倒一段倒一段- P187)。 （3）用惠更斯原理作图法解释）用惠更斯原理作图法解释波的反射和折射规律（波的反射和折射规律（P187-P188）。）。274.几点说明：几点说明：（1）对任何波动过程都适

17、用）对任何波动过程都适用;（2）对均匀或非均匀介质都适用）对均匀或非均匀介质都适用;对惠更斯原理来说：对惠更斯原理来说：（3）有缺陷）有缺陷强度？强度？（各子波在传播中对某点的振（各子波在传播中对某点的振为何无后退波为何无后退波（子波不能向后传播）？（子波不能向后传播）？动的贡献有多大？）动的贡献有多大？）三、波的反射和折射三、波的反射和折射(书书 p187- p188, 自学自学,了解了解)rninsinsin21 全反射全反射irn1(大大)n2(小小)光密媒质光密媒质光疏媒质时，光疏媒质时，折射角折射角r 入射角入射角 i .28i = ic r = 90 n1(大大)n2(小小)12s

18、innnic 2112nnn 光光 纤纤 ic 临界角临界角相对折射率相对折射率当入射角当入射角 i 临界角临界角 ic 时，将无折射光时，将无折射光 全反射全反射全反射的一个重要应用是全反射的一个重要应用是光导纤维光导纤维（光纤），（光纤），它是现它是现代光通信技术的重要器件。代光通信技术的重要器件。演示：光导纤维演示：光导纤维 导光水柱导光水柱29光光缆缆电电缆缆图中的细光缆和粗图中的细光缆和粗电缆通信容量相同电缆通信容量相同 光纤通信容量大，损耗小。光纤通信容量大，损耗小。在不加中继站的情况下，光在不加中继站的情况下，光缆传输距离可达缆传输距离可达300公里。公里。而同轴电缆只有几公里，

19、微而同轴电缆只有几公里，微波也只有几十公里。我国电波也只有几十公里。我国电信的主干线全部敷（信的主干线全部敷（fu）设）设了光缆。了光缆。308.5 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 驻波驻波 几列波相遇时，几列波相遇时，相遇处相遇处各质点的振动将是几列波各质点的振动将是几列波在该点引起的振动的合成，质点的位移是各个波单独在该点引起的振动的合成，质点的位移是各个波单独存在时在该点产生的分位移的矢量和。存在时在该点产生的分位移的矢量和。相遇后相遇后,几列波几列波仍保持各自原有的特性继续传播，就像不曾相遇过一仍保持各自原有的特性继续传播，就像不曾相遇过一样，波动传播的这一规律称为样，波动

20、传播的这一规律称为波的传播的独立性波的传播的独立性或或波波的叠加原理的叠加原理。1. 波的叠加原理波的叠加原理即：即：波动波动互不相干互不相干地按自身的方式传播，在波的地按自身的方式传播，在波的交汇交汇处，质元的振动是相交汇的各个波处，质元的振动是相交汇的各个波单独传播单独传播时激发的时激发的振动之和。振动之和。Video：波的叠加原理：波的叠加原理31 在某些特定条件下，在两列波的交汇在某些特定条件下，在两列波的交汇处会呈现出明暗相间的稳定图象。处会呈现出明暗相间的稳定图象。2. 波的干涉波的干涉 最基本的波的叠加最基本的波的叠加（1）基本现象基本现象：S1S232 在两波交汇处不同点，由于

21、相差不同，在两波交汇处不同点，由于相差不同，某些点振动某些点振动始终始终加强、另一些点振动加强、另一些点振动始终始终减弱或相消。减弱或相消。（2）物理本质物理本质：同频率、同方向（平行）、同频率、同方向（平行）、 相位差恒定。相位差恒定。（3） 相干条件相干条件：Video：波的干涉：波的干涉 S2S1r1r2 p33r1r2（4）相干波源相干波源：)cos(101010 tAy（5）相干波相干波：由相干波源所激发：由相干波源所激发 S1 S2 P)2 cos(10111 rtAy叠加结果叠加结果：) cos(21 tAyyy)2 cos(20222 rtAy)cos(202020 tAy（6

22、）干涉规律干涉规律 22212122cosAAAA A 2010212()rr 由于波的强度由于波的强度IA2，所以合振动的强度为：，所以合振动的强度为：12122cosIIII I 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。 注意顺序！注意顺序！34r1r2S1 S2 P 2010212()rr 22212122cosAAAA A 12122cosIIII I 干涉加强的条件：干涉加强的条件：2, 0,1, 2, 3, .kk ,21maxAAAA 2121max2IIIIII 干

23、涉减弱的条件：干涉减弱的条件：(21), 0,1, 2, 3,.kk |,|21minAAAA 2121min2IIIIII 当两相干波源为当两相干波源为同相波源同相波源( 10= 20 )时，相干条件写为：时，相干条件写为：.2 , 1 , 0,12 kkrr .2 , 1 , 0,2)12(12 kkrr 相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉称称为为波程差波程差。35例例2 两相干波源两相干波源 S1 、S2 相距相距 20m ，其谐振动的其谐振动的 100 Hz ，A = 5 cm ，在同一均匀介质中以在同一均匀介质中以 u = 200 m/s 传播。已知传播。已知S1的初相较的初相较S2的

24、超前的超前 ，求求S1、S2连线上连线上（2）S1、S2之间因干涉而静止的各点位置。之间因干涉而静止的各点位置。（1）S1 外侧各点的振幅；外侧各点的振幅；36解（解（1）选坐标系选坐标系OX如图。如图。则则 S1 外侧任一点外侧任一点P（x）处两分振动的相差为处两分振动的相差为)(2)( 1212rr )(2- xdx 2d )( 2100200uu m 由由又又d=20m， 212220 满足干涉相消条件满足干涉相消条件合振幅合振幅A=0.37xp（2）设设S1、S2 之间任一点之间任一点P距距S1为为 x ，距距S2为为(d-x)，则该点处则该点处)(2)(12xxd )220(x 为使干涉静止