高考数学二轮复习 组合增分练9 解答题型综合练B 理

1、组合增分练9解答题型综合练b1.在钝角三角形abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且b=atan b.(1)求a-b的值;(2)求cos 2b-sin a的取值范围.解 (1)由b=atan b得,bcos b=asin b.又由正弦定理得,sin bcos b=sin asin b,所以cos b=sin a.又abc是钝角三角形,所以a-b=2.(2)由(1)知cos 2b-sin a=2cos2b-cos b-1=2cosb-142-98,又由a>2,所以0<b<2,0<c=-(a+b)=2-2b<2,所以0<b<4,22<cos

2、 b<1,又由于函数y=2x-142-98在22,1上单调递增,所以cos 2b-sin a的取值范围为-22,0.2.如图,已知在等腰梯形abcd中,adbc,bc=2ad=2ab=4,将abd沿bd折到a'bd的位置,使平面a'bd平面cbd.(1)求证:cda'b;(2)试在线段a'c上确定一点p,使得二面角p-bd-c的大小为45°.证明 (1)在abd中,由余弦定理得bd2=ab2+ad2-2ab·adcos a=4+4+8cos c,在bcd中,由余弦定理得bd2=bc2+cd2-2bc·cd·cos c

3、=16+4-16cos c.由上述两式可知,bd=23,cos c=12,bdcd.又面a'bd面cbd,面a'bd面cbd=bd,cd面a'bd.a'b面a'bd,a'bcd.(2)解法一:存在.p为a'c上靠近a'的三等分点.取bd的中点o,连接a'o,图略.a'b=a'd,a'obd.又平面a'bd平面cbd,a'o平面cbd,平面a'oc平面bcd,过点p作pqoc于q,则pq平面bcd,过点q作qhbd于h,连接ph.则qh是ph在平面bdc内的射影,phbd,故p

4、hq为二面角p-bd-c的平面角.p为a'c上靠近a'的三等分点,pq=23,oqoc=13,hq=13dc=23,phd=45°.二面角p-bd-c的大小为45°.解法二:由(1)知cdbd,cd平面a'bd.以d为坐标原点,以db的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz.则d(0,0,0),b(23,0,0),c(0,2,0),取bd的中点o,连接a'o,a'b=a'd,a'obd.在等腰三角形a'bd中,a'b=2,bd=23,可求得a'o=1,a'(3,0,1)

5、,bd=(-23,0,0),ba'=(-3,0,1),a'c=(-3,2,-1).设a'p=a'c,则bp=ba'+a'p=(-3-3,2,1-),设n=(x,y,z)是平面pbd的法向量,则n·bp=0,n·db=0,即(-3-3)x+2y+(1-)z=0,23x=0,可取n=0,-12,1.易知:平面cbd的一个法向量为m=(0,0,1).由已知二面角p-bd-c的大小为45°.|cos<m,n>|=m·n|m|n|=1-122+1=22,解得=13或=-1(舍).点p在线段a'c靠

6、近a'的三等分点处.3.某校举办“中国诗词大赛”活动,某班派出甲、乙两名选手同时参加比赛.大赛设有15个诗词填空题,其中“唐诗”“宋词”和“毛泽东诗词”各5个.每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答,3个全答对选手得3分,答对2个选手得2分,答对1个选手得1分,一个都没答对选手得0分.已知“唐诗”“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5,4,3,乙能答对的题目个数依此为4,5,4,假设每人各题答对与否互不影响,甲乙两人答对与否也互不影响.求:(1)甲、乙两人同时得到3分的概率;(2)甲、乙两人得分之和的分布列和数学期望.解 (1)设事件ai为甲得分为i分(i=1,2,3),

7、事件bi为乙得分为i分(i=1,2,3),则p(a1)=15×25=225,p(a2)=45×25+15×35=1125,p(a3)=45×35=1225,p(b1)=15×15=125,p(b2)=15×45+45×15=825,p(b3)=45×45=1625;又甲、乙两人同时得3分为事件a3·b3,则p(a3·b3)=1225×1625=192625.(2)甲、乙两人得分之和的可能取值为2,3,4,5,6,则p(=2)=p(a1·b1)=225×125=262

8、5,p(=3)=p(a1·b2)+p(a2·b1)=225×825+1125×125=27625,p(=4)=p(a1·b3)+p(a2·b2)+p(a3·b1)=225×1625+1125×825+1225×125=132625,p(=5)=p(a2·b3)+p(a3·b2)=1125×1625+1225×825=272625,p(=6)=p(a3·b3)=1225×1625=192625.所以的分布列为23456p262527625

9、132625272625192625所以的数学期望为e()=4625+81625+528625+1 260625+1 152625=3 125625=5.导学号168042574.已知椭圆c:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上、下焦点分别为f1,f2,离心率为12,p为c上动点,且满足f2p=pq(>0),|pq|=|pf1|,qf1f2面积的最大值为4.(1)求q点轨迹e的方程和椭圆c的方程;(2)直线y=kx+m(m>0)与椭圆c相切且与曲线e交于m,n两点,求sf1mn的取值范围.解 (1)由椭圆定义,得|f2q|=|f2p|+|pq|=|f2p|+|pf1

10、|=2a,所以点q的轨迹是以f2为圆心,2a为半径的圆.当qf2f1f2时,qf1f2面积最大,所以12·2c·2a=4,得ac=2.又ca=12,可得a=2,c=1,所以q点轨迹e的方程为x2+(y+1)2=16,椭圆c的方程为y24+x23=1.(2)由y=kx+m,y24+x23=1,得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,=36k2m2-4(3k2+4)(3m2-12)=0,化简得3k2-m2+4=0,所以k2=m2-430.又m>0,得m2.设圆心f2(0,-1)到直线mn的距离为d,则d=|m+1|1+k2=3(m+1)m-1,所以弦长|mn|=

11、216-d2=213m-19m-1.设点f1(0,1)到直线mn的距离为h,则h=|m-1|1+k2=3(m-1)m+1,所以sf1mn=12|mn|·h=3(13m-19)m+1=39-96m+1.由m2,得39-96m+17,39),所以sf1mn的取值范围为7,39).导学号168042585.已知函数f(x)=x-m(x+1)ln(x+1)(m>0)的最大值是0,函数g(x)=x-a(x2+2x)(ar).(1)求实数m的值;(2)若当x0时,不等式f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解 (1)函数f(x)的定义域为(-1,+),f'(x)=1-mln(

12、x+1)+1.因为m>0,所以f'(x)在(-1,+)上单调递减.令f'(x)=0,得x=e1m-1-1,当x(-1,e1m-1-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x(e1m-1-1,+)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以,当x=e1m-1-1时,f(x)max=f(e1m-1-1)=e1m-1-1-me1m-11m-1=me1m-1-1,由me1m-1-1=0,得e1m-1=1m.易知,函数y=ex-1-x在x=1处有唯一零点,所以1m=1,m=1.(2)令f(x)=f(x)-g(x)=a(x2+2x)-(x+1)ln(x+

13、1),x0,则f'(x)=a(2x+2)-ln(x+1)+1,设h(x)=f'(x)=a(2x+2)-ln(x+1)+1,则h'(x)=2a-1x+1=2ax+2a-1x+1.当a0时,h'(x)<0,f'(x)在0,+)上单调递减,则x0,+)时,f'(x)f'(0)=2a-1<0,f(x)在0,+)上单调递减,故当x0,+)时,f(x)f(0)=0,与已知矛盾.当0<a<12时,h'(x)=2a-1x+1=2ax+2a-1x+1=2ax-12a-1x+1,当x0,12a-1时,h'(x)<

14、0,f'(x)在0,12a-1上单调递减,所以f'(x)<f'(0)=2a-1<0.故f(x)在0,12a-1上单调递减,则当x0,12a-1时,f(x)<f(0)=0,与已知矛盾.当a12时,h'(x)>0,f'(x)在0,+)上单调递增,则x0,+)时,f'(x)f'(0)=2a-1>0.所以f(x)在0,+)上单调递增,故当x0,+)时,f(x)f(0)=0恒成立.综上,实数a的取值范围是12,+.导学号168042596.在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为x=-1+tcos,y=tsin(t

15、为参数,为直线的倾斜角).以平面直角坐标系o为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位,建立极坐标系.圆的极坐标方程为=2cos ,设直线与圆交于a,b两点.(1)求圆c的直角坐标方程与的取值范围;(2)若点p的坐标为(-1,0),求1|pa|+1|pb|的取值范围.解 (1)圆c的极坐标方程为=2cos ,圆c的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,把x=-1+tcos,y=tsin代入x2+y2-2x=0,得t2-4tcos +3=0,又直线l与圆c交于a,b两点,=16cos2-12>0,解得cos >32或cos <-32.又由0,),故的取值范围为0,656,.(2)设方程t2-4tcos +3=0的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义可知1|pa|+1|pb|=|t1+t2|t1t2=4|cos|3,又由32<|cos |1,233<|4cos|343,1|pa|+1|pb|的取值范围为233,43.7.(1)已知函数f(x)=|2x-3|-2|x|,若关于x的不等式f(x)|a+2|+2a恒成立,求实数a的取值范围;(2)已知正数x,y,z满足2x+y+z=1,求1x+2y+z+3z+3x的最小值.解 (1)因为f(x)=|2x-3|-|2x|(2x-3)-2x|=3,若关于