人教版九年级数学上册知识点总结：第二十二章二次函数

1、人教版九年级数学上册知识点总结第22章二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识21 .定义：一般地，如果 y = ax +bx + c(a,b,c是常数，a#0),那么y叫做x的二次函数.2 .二次函数y =ax2的性质2 .(1)抛物线y=ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2 -(2)函数y=ax的图像与a的符号关系.当a >0时u抛物线开口向上 u顶点为其最低点；当2<0时已抛物线开口向下二顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是 y轴的抛物线的解析式形式为y = ax2 ( a = 0).3 .二次函数 y =ax2 +bx +c的图像是对称轴平行于(包括重合)

2、y轴的抛物线.4 .二次函数y =ax2+bx + c用配方法可化成：2b 4ac -b2y =a(x h f +k 的形式，其中 h =,k=.2a4a5 .二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： y=ax2； y=ax2+k； y =a(x -h 2 ； y =a(x - h f +k ； y = ax2 +bx + c.6 .抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当 a<0时，开口向下；a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。平行于y轴(或重合)的直线记作 x = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7 .

3、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8 .求抛物线的顶点、对称轴的方法2(1)公式法： y=ax +bx+c=ax +b 2 4ac - b2i +2a4ab 4ac-b22a' 4a、,八b),对称轴是直线x =2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为2 .y=a(x-h) +k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是直线x = h.(3)抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，

4、再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失29.抛物线y = ax +bx+c中，a,b, c的作用2(1) a决定开口万向及开口大小，这与y = ax中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 曲于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线bbb _x = ,故：b = 0时，对称轴为y轴；一a0(即a、b同方)时，对称轴在y轴左侧；一父02aaa(即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧，“左同右异”.(3) c的大小决定抛物线 y =ax2+bx + c与y轴交点的位置.当x=0时，y =c,，抛物线y = ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c):c =

5、 0 ,抛物线经过原点；c > 0,与y轴交于正半轴； c < 0,与y轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y =ax当a a 0时x = 0 ( y 轴)(0,0)y = ax2 + k开口向上x = 0 ( y 轴)(0, k)y =a(x -h 2当a <0时x = h(h,o)y =a(x - h 2 +k开口向卜x = h(h,k)2 .y =ax +bx +cbx =2ab 4ac - b2( 2a' 4a )11 .用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y = ax2 + bx + c .已知图

6、像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：y =a(x -h 2十k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、x2 ,通常选用交点式：y = a(xx1 Rx x2 ).12 .直线与抛物线的交点2(1) y轴与抛物线y=ax +bx + c得交点为(0, c).22(2)与y轴平仃的直线x = h与抛物线y = ax+bx + c有且只有一个交点(h,ah +bh+c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y = ax2 + bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2 ,是对应一元二次方程ax2 +bx+c =0的两个实数根

7、.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 u Aa0u抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在 x轴上)匕A=0u抛物线与x轴相切；没有交点 = < 0 u 抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ,则横坐标是ax2 +bx + c = k的两个实数根.(5) 一次函数y = kx + n(k#0 )的图像l与二次函数y = ax2 + bx + ca * 0)的图像G的交点，由方程组 y = kx + n 厂2的解的数目来确定：方程组有两组不

8、同的解时仁l与G有两个交点；方程组只y = ax +bx + c ： 有一组解时 二l与G只有一个交点；方程组无解时u l与G没有交点.(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax2+bx+c与x轴两交点为 A(xv0 J Blx2。)，由2于x1、x2是万程ax +bx+c = 0的两个根，故bcx xX2 二 一一，x x2 二一 aa 口。2。 b b'24c 打-4ac 信AB x一 x2 x （x1一 x2） x （x1一 x2 ） 4x1x2= i ：V< aj a |a|a|中考回顾1 .（2017天津中考）已知抛物线y=x 2-4x+3与x轴相交于点 A

9、,B（点A在点B左侧）,顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点 M'落在x轴上，点B平移后的对应点B'落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为（A ）A.y=x 2+2x+ 1B.y=x 2+ 2x-1C.y=x 2-2x+ 1D.y=x 2-2x-12 .（2017四川成都中考）在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y=ax 2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（B ）/A. abc< 0, b2-4ac> 0.1B. abc> 0, b2-4ac>0C. abc< 0, b2-4ac< 0D. abc> 0, b2-4ac&

10、lt; 03.（2017内蒙古赤峰中考）如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m< 2.4.（2017内蒙古赤峰中考）如图二次函数y=ax 2+bx+c （a制）的图象交x轴于A,B两点，交y轴于点D,点B的坐（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；象限时，求线段PM长Q的坐标;若不存在请(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点 M,当点P在第一 度的最大值；(3)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使4BDQ中BD边上的高为2v2,若存在求出点说明理由.闻设二次函数的解析式为y=a (x-1)2+4.点B(3,0)在该

11、二次函数的图象上，- 0=a (3 -1)2+4，解得:a=- 1.二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3.,点D在y轴上，所以可令x= 0,解得:y= 3.点D的坐标为(0,3).设直线BD的解析式为y=kx+ 3,把(3,0)代入得3k+3=0，解得：k=- 1.直线BD的解析式为y=-x+ 3.(2)设点 P 的横坐标为 m(m> 0),则 P(m,-m+3), M(m,-m 2+2m+ 3),PM=-m2+ 2m+ 3-(-m+ 3) =-m2+ 3 m=-PM最大值为(如图，过点Q作QG /y轴交BD于点G,作QH ± BD于点H，则QH= 20.设 Q(x,-x2

12、+2x+3)，则 G(x,-x+ 3),QG=|-x 2 + 2x+ 3-(-x+ 3)|=|-x 2+3x|.GOB是等腰直角三角形：Z3 = 45，;Z2= Z1 = 45 °. CH _ 2 sin Z1 = - - v, - QG= 4.得 |-x2+3x|=4,当-x2+3x=4时,A=9-16<0,方程无实数根当-x2+3x=- 4 时，解得：xi=- 1,X2 = 4,Qi(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx 2-6x+ 3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(D )A.k< 3B.k<3,且 kw0C.k<3D.kW

13、3,且 k却2 .若点M (-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-=x2+2x上,则下列结论正确的是(C )A.y1<y 2<y 3B.y2<y 1 <y 3C.y3<y 1<y 2D.y1<y 3<y 2II-2 时,y1=-x2 + 2x=- ：X(-2)2+2 X(-2)=- 2-4=- 6,x=- 1 时,y2=-：x2+2x=-(-1)2+2 X(-1)=-=-2 =-2=, -Ix= 8 时,y3=- ；x2 + 2x=-82+ 2 X8=- 32 +16 =- 16 .-16 <- 6<- 2；,

14、. y3<y 1<y 2.故选 C.3.已知一元二次方程 ax2+bx+c= 0(a>0)的两个实数根xi,X2满足xi+x 2=4和xiX2= 3,则二次函数y=ax 2+bx+c (a>0)的图象有可能是()二次函数的称轴为 x=- 一= 2. Mix.Xi X2= 3, -,1 7= 3.1*当a>0时,c> 0,：二次函数图象交于 y轴的正半轴4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格x-2-1012y-6：-4-2：-2-2：根据表格中的信息回答问题该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.5 .若关于x的

15、函数y=kx 2+ 2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 k= 0或k=- 1.6 .抛物线y=-x2+bx+c的图象如图，若将其向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度则平移后的解析 式为.卜军析：由题中图象可知 对称轴x=1,所以-=1，即b=2.把点(3,0)代入 y=-x 2+ 2 x+c,得 c= 3.故原图象的解析式为 y=-x2+2x+3，即y=-(x-1)2+4,然后向左平移 2个单位，再向下平移3个单位，得答:y=-x 2-2xy=- (x-1+2)2+4-3，即 y=-x 2-2x.7 .如图，若抛物线Li的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线Li上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线 Li,L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条 如图，已知抛物线L3：y= 2x2-8x+ 4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；(3)若抛物线y=a i(x-m )2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为 y=a 2(x-h )2+k ,请写出ai与a2的关系式，并说明理由：y= 2( x- 2) 2-4.顶点为(2, -4),对称轴为x= 2,设 x= 0,则 y= 4