高中数学 模块综合质量检测 北师大版选修45

1、模块综合质量检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a，b，c，d为实数，ab>0，<，则下列不等式成立的是()abc<adbbc>adc> d<解析：将<两边同乘正数ab，得bc<ad.所以bc>ad.答案：b2不等式|x|>的解集为 ()ax|x>2或x<1 bx|1<x<2cx|x<1或x>2 dx|1<x<2解析：|x|>或解得x<1或x>2.答案：c3设p

2、，q是两个命题，p：0，q：|2x1|<1，则p是q的()a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既非充分又非必要条件解析：由题意，得p：1x<0，q：1<x<0.所以由q可以推出p，由p不可以推出q.所以p是q的必要非充分条件答案：b4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x2y2能被xy整除”的第二步是()a假设当n2k1(kn)时结论正确，再推当n2k3时结论正确b假设当n2k1(kn)时结论正确，再推当n2k1时结论正确c假设当nk(kn)时结论正确，再推当nk1时结论正确d假设当nk(kn，k1)时结论正确，再推当nk2时结论正确解析：因为n为正奇数，根据数学

3、归纳法的证明步骤，第二步应先假设当n2k1时结论正确，再推当n2k1时结论正确答案：b5若x，y，z(0，)，且xyz30，则lg xlg ylg z的取值范围是()a(，3 b(，10c3，) d10，)解析：因为xyz3，即xyz103，所以lg xyzlg 1033，即lg xlg ylg zlg xyz3，当且仅当xyz10时等号成立答案：a6函数y34的最大值为()a b5c7 d11解析：函数的定义域为5,6，且y>0，y34·5，当且仅当，即x时取等号所以ymax5.答案：b7不等式|2xlog2x|<2x|log2x|的解集为()ax|1<x<

4、2 bx|0<x<1cx|x>1 dx|x>2解析：根据对数的意义，可得x>0.则不等式|2xlog2x|<2x|log2x|等价于|2xlog2x|<|2x|log2x|，即2xlog2x>0.由x>0，可得原不等式等价于log2x>0.解得x>1.答案：c8若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1a2b1b21，则下列代数式的值最大的是()aa1b1a2b2 ba1a2b1b2ca1b2a2b1 d解析：由0<a1<a2,0<b1<b2，且a1a2b1b21，可令a1，a2，b

5、1，b2，则a1b1a2b2××，a1a2b1b2，a1b2a2b1.比较可知选项a正确答案：a9如果loga3>logb3，且ab1，那么()a0<a<b<1 b0<b<a<1c1<a<b d1<b<a解析：loga3>logb3>0>0.0<a<1,0<b<1，log3alog3b>0.log3blog3a>0，log3b>log3a.b>a.0<a<b<1.答案：a10已知实数x，y满足x2y21，则x2y2有()a最小

6、值和最大值1b最小值0和最大值c最小值和最大值 d最小值1解析：因为x2y20，(x2y2)(y2x2)(xyyx)2，即4x2y21，故x2y2，当且仅当x2y2时等号成立所以x2y2.答案：b11若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()a5或8 b1或5c1或4 d4或8解析：当a>2，即<1时，f(x)结合其图像，可知函数f(x)minf3，即3a13.解得a8.当a<2，即>1时，f(x)结合其图像，可知函数f(x)minf3，即3a13.解得a4.当a2时，函数f(x)3|x1|的最小值为0，不符合题意因此，所求实数a的值为8或4.答案：

7、d12已知函数f(x)2|x|，若存在xr，使得关于x的不等式2f(x)k成立，则实数k的最小值是()a3b2c2d解析：将f(x)2|x|代入关于x的不等式2f(x)k，得k2×2|x|.因为|x|0，所以2|x|1.令2|x|t，则t1，关于x的不等式化为k2t.容易判断函数(t)2t在区间1，)上为增函数若存在x，使不等式成立，则只需k(t)min，即k(1)解得k3.故实数k的最小值为3.答案：a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13函数y(x>1)的值域是_.解析：yx1x12228，当且仅当x1，即x4时等号成立，函数的值域是8，

8、)答案：8，)14若关于x的不等式>|a5|1对一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是_解析：|x|22，故应有2>|a5|1，即|a5|<1.所以4<a<6.答案：(4,6)15下列命题中，真命题的序号为_logablogbclogca3成立，当且仅当a，b，c(1，)；2成立，当且仅当a0；a2b2c2abbcca.解析：当且仅当a，b，c(1，)或(0,1)时，不等式成立不妨设abc，由顺序和乱序和，得a2b2c2abbcca.答案：16给出下列四个命题：ab2；sin2x的最小值是4；设x，y都是正数，若1，则xy的最小值是12；若|x2|<，|

9、y2|<，则|xy|<2.其中所有真命题的序号是_.解析：不正确，如a2，b0.不正确，因为sin2x24，当且仅当sin2x，即sin2x2时取等号，这是不可能的，故错误不正确，(xy)1010616，当且仅当y3x>0时取等号正确，|xy|x22y|x2|2y|<2.所以应填.答案：三、解答题(本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设关于x的不等式lg(|x3|x7|)>a.(1)当a1时，解这个不等式；(2)当实数a为何值时，这个不等式的解集为r?解：(1)当a1时，原不等式可变形为|x3|x7|>1

10、0，易求得其解集为x|x<3或x>7(2)|x3|x7|x3(x7)|10对任意xr都成立，lg(|x3|x7|)lg 101对任意xr都成立若lg(|x3|x7|)>a 对任意xr都成立，则a<1.18(本小题满分12分)用柯西不等式推导点p(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的距离公式解：设点p1(x1，y1)是直线l上的任意一点，则ax1by1c0，|p1p|.由p1，p两点间的距离|p1p|有最小值，得·|a(x0x1)b(y0y1)|ax0by0c(ax1by1c)|.由，得·|p1p|ax0by0c|，即|p1p|.当且仅当

11、(y0y1)(x0x1)ba，即p1pl时，式取等号故点到直线的距离公式为|p1p|.19(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足x2y2z26.(1)求x2yz的最大值；(2)若不等式|a1|2ax2yz对满足条件的x，y，z恒成立，求实数a的取值范围解：(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122212)(x2yz)2，即(x2yz)236.又x，y，z是正数，所以x2yz6.所以x2yz的最大值为6，当且仅当，即当xz1，y2时取得最大值(2)由题意及(1)，得|a1|2a6.所以或解得a.综上，实数a的取值范围为.20(本小题满分12分)(1)设x是正实数，求证：(x1)(x21)

12、(x31)8x3；(2)若xr，不等式(x1)(x21)(x31)8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值(1)证明：已知x是正数，由平均值不等式，知x12，1x22x，x312.故(x1)(x21)(x31)2·2x·28x3，当且仅当x1时等号成立(2)解：若xr，不等式(x1)(x21)(x31)8x3仍然成立证明如下：由(1)，知当x>0时，不等式成立；当x0时，8x30，(x1)(x21)(x31)(x1)2(x21)(x2x1)(x1)2(x21)0，此时不等式仍然成立综上，当xr时，不等式仍成立21(本小题满分1

13、2分)设不等式2<|x1|x2|<0的解集为集合m，a，bm.(1)求证：<；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小(1)证明：记f(x)|x1|x2|由2<2x1<0，得<x<.故m.所以|a|b|<××.(2)解：由(1)，得a2<，b2<.因为|14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)>0，所以|14ab|2>4|ab|2，即|14ab|>2|ab|.22(本小题满分12分)设数列an满足an1anan1，n1,2,3，.(1)当a12时

14、，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列an的一个通项公式；(2)当a13时，求证：不等式ann2对所有n1成立；不等式对所有n1成立(1)解：由a12，得a2aa113.由a23，得a3a2a214.由a34，得a4a3a315.由此猜想：ann1(nn)(2)证明：用数学归纳法证明当n1时，a1123，不等式成立假设当nk(kn)时，不等式成立，即akk2，则当nk1时，ak1akak1ak(akk)1(k2)(k2k)12(k2)1>k3(k1)2.也就是说，当nk1时，ak1>(k1)2.综上，对所有的n1，有ann2.由an1an(ann)1及，可知当k2时，有akak1(ak1k1)1ak1(k12