高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和学案 新人教A版必修5

1、第1课时等比数列的前n项和学习目标：1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题自 主 预 习·探 新 知1等比数列前n项和公式等比数列的前n项和公式思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和sn?提示可把等比数列前n项和sn理解为关于n的指数型函数2错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地，等比数列an的前n项和可写为：sna1a1qa1q2a1qn1， 用公比q乘的两边，可得qsna1qa1q2a1qn1a1qn， 由，得(1q)sna

2、1a1qn，整理得sn(q1)(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列an·bn前n项和的求解，其中an为等差数列，bn为等比数列，且q1.思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？提示根据等比数列的定义，有：q，再由合比定理，则得q，即q，进而可求sn.基础自测1思考辨析(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式sn来求()(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为snna.()(3)若某数列的前n项和公式为snaqna(a0，q0且q1，nn*)，则此数列一定是等比数列()答案(1)×(2)(3)提示：(1)错误在求等比数列前n

3、项和时，首先应看公比q是否为1，若q1，可直接套用，否则应讨论求和(2)正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式sn(q0且q1)变形为snqn(q0且q1)，若令a，则和式可变形为snaaqn.2等比数列an中，a11，q2，则s5_.31s531.3数列，的前10项的和s10_.【导学号：91432215】s10，则s10.两式相减得，s10，所以s10.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_11(1.151)a去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a

4、,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a1.12a1.13a1.14a1.15aa·11(1.151)a.合 作 探 究·攻 重 难等比数列基本量的运算在等比数列an中，(1)s230，s3155，求sn；(2)a1a310，a4a6，求s5；(3)a1an66，a2an1128，sn126，求q. 【导学号：91432216】解(1)由题意知解得或从而sn×5n1或sn.(2)法一由题意知解得从而s5.法二由(a1a3)q3a4a6，得q3，从而q.又a1a3a1(1q2)10，所以a18，从而s5.(3)因为a2an1a1an128，所以

5、a1，an是方程x266x1280的两根从而或又sn126，所以q为2或.规律方法1在等比数列an的五个量a1，q，an，n，sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用2在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论跟踪训练1在等比数列an中，(1)若a1，an16，sn11，求n和q；(2)已知s41，s817，求an.【导学号：91432217】解(1)由sn得11，q2，又由ana1qn1得16(2)n1，n5.(2)若q1，则s82s4，不合题意，q1，s41，s817，两式相除得

6、171q4，q2或q2，a1或a1，an·2n1或·(2)n1.等比数列前n项和公式的实际应用借贷10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为sp(1r)n，其中p代表本金，n代表存期，r代表利率，s代表本利和(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少解法一：

7、设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，a.1.0161.061，a1 739.故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为s1104(10.01)6104×(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为s2a(10.01)5a

8、(10.01)4aa1.0161×102(元)由s1s2，得a.以下解法同法一，得a1 739，故每月应支付1 739元规律方法解数列应用题的具体方法步骤：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求sn？特别要注意准确弄清项数是多少.弄清题目中主要的已知事项.(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式. 跟踪训练2一个热气球在第

9、一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？【导学号：91432218】解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为sna1a2an125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.错位相减法求和探究问题1对于s641248262263，用2乘以等式的两边可得2s64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出s64?提示：比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出s6

10、4，即s642641.2由项数相等的等差数列n与等比数列2n相应项的积构成新的数列n·2n是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和sn的表达式是什么？提示：由等差数列及等比数列的定义可知数列n·2n既不是等差数列，也不是等比数列该数列的前n项和sn的表达式为sn1·212·223·23n·2n.3在等式 sn1·212·223·23n·2n两边同乘以数列2n的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？提示：在等式sn1·

11、;212·223·23n·2n两边同乘以2n的公比可变形为2sn1·222·233·24(n1)·2nn·2n1得：sn1·212223242nn·2n1(2122232n)n·2n1.此时可把求sn的问题转化为求等比数列2n的前n项和问题我们把这种求由一个等差数列an和一个等比数列bn相应项的积构成的数列anbn前n项和的方法叫错位相减法已知等比数列an满足：a1，a1，a2，a3成等差数列，公比q(0,1)，(1)求数列an的通项公式(2)设bnnan，求数列bn的前n项和sn.思

12、路探究：(1)根据a1，a2，a3成等差数列求得公比q，写出通项公式；(2)由bnnan可知利用错位相减法求和解(1)设等比数列an的公比为q，a1，因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2a1a3，即得4q28q30，解得q或q，又因为q(0,1)，所以q，所以an·n1.(2)根据题意得bnnan，sn，sn，作差得sn，sn2(n2)n.母题探究：1.本题中设cn，求数列cn的前n项和sn.解由题意知cnn·2n所以sn1×212×223×23(n2)×2n2(n1)×2n1n·2n2sn1×22

13、2×233×24(n2)×2n1(n1)×2nn·2n1两式相减得：sn1×212223242n12nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以sn(n1)·2n12.2本题中设dn(2n1)an，求数列dn的前n项和tn.解由题意可得：tn1×3×(2n1)×，tn1×3×(2n3)×(2n1)×，两式相减得tn1×2×2×(2n1)××(2n1)×所以tn33.

14、规律方法错位相减法的适用题目及注意事项：（1）适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和.（2）注意事项：利用“错位相减法”时，在写出sn与qsn的表达式时， 应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1q)sn的表达式.利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况. 当 堂 达 标·固 双 基1已知等比数列an的首项a13，公比q2，则s5等于()a93b93c45d45as593.2在等比数列an中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4a5a6a7等于()【导学号：91432219】a. b. c. d.aq，由a1a2a36，且q，得a18，可得a2a1q8×4，a3a4a5a6a7s7a1a2a1a28(4).3在公比为整数的等比数列an中，如果a1a418，a2a312，则这个数列的前8项之和s8_.510a1a4a1(1q3)18，a2a3a1(qq2)12，两式联立解得q2或，而q为整数，所以q2，a12，代入公式求得s8510.4某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nn*)等于_6由题意知，第n天植树2