第4章截面的几何性质

1、第4章 截面的几何性质基本要求：基本要求：理解表述截面几何性质的基本概念；掌握计算截理解表述截面几何性质的基本概念；掌握计算截面的静矩和形心位置、惯性矩和惯性积、惯性矩和惯性积的面的静矩和形心位置、惯性矩和惯性积、惯性矩和惯性积的平行移轴与转轴公式、组合截面的惯性矩和惯性积和截面的平行移轴与转轴公式、组合截面的惯性矩和惯性积和截面的主惯性轴和主惯性矩。主惯性轴和主惯性矩。重点：重点：计算截面的静矩和形心位置、惯性矩和惯性积。计算截面的静矩和形心位置、惯性矩和惯性积。难点：难点：计算惯性矩和惯性积的平行移轴与转轴公式、组合截计算惯性矩和惯性积的平行移轴与转轴公式、组合截面的惯性矩和惯性积和截面的

2、主惯性轴和主惯性矩。面的惯性矩和惯性积和截面的主惯性轴和主惯性矩。本章导读本章导读目目 录录4.1 4.1 静矩和形心静矩和形心4.2 4.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积 4.3 4.3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式与转轴公式与转轴公式4.4 4.4 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩一、面积（对轴）矩：一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 是面积与它到轴的距离之积。PnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax ; ; yASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyx4.1 4.1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置二、形心

3、：二、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)(:正负面积法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyx等厚均质mmyymmxxmmdd质心：ASAAytAtAytASAAxtAtAxtxAAyAAdddd等于形心坐标xy212121AAAxAxAAxxii3 .2010801101011010357 .341080110101101060y【例例4-1】 试确定下图的形心。解 ： 组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010 xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如

4、图(b)3 .201107080120)11070(5图(b)C1（0,0）C2（5,5）212121AAAxAxAAxxiiC2负面积C1xy一、惯性矩：一、惯性矩：(与转动惯量类似）与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。 AyAxAxIAyIdd22dAxyyx二、极惯性矩：二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。yxAIIAId24.2 4.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩dAxyyx三、惯性积：三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。AxyAxyId如果如果 x 或或 y 是对称轴，则是对称轴，则Ixy =0一、平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行

5、移轴定理类似）CCybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC4.3 4.3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理注意注意: C点必须为形心点必须为形心AbIIxCx2AaIIyCy2abAIIxCyCxyAbaIIC2)( 【例例4-2】 求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx444

6、25()2641664ABxddddIIAAdxyOxyxIIIdI2324圆cossinsincos11yxyyxx一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxx1y1x1y12sin2cos221xyyxyxxIIIIII4.4 4.4 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* * 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIIIyxyxIIII11二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；

7、恰好有0)2cos2sin2(0000 xyyxyxIIII 与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。yCxCxCyCIII22tg022)2(2 00 xyyxyxyxIIIIIII主惯性矩：2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩yCxCyCxCIII22tg022)2(200 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主惯性矩：3.求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系计算面积和面积矩求形心位置建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩A

8、AyASyAAxASxiixiiy22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0【例例4-3】在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解： 建立坐标系如图。求形心位置。 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy dddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1)5 . 0(212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圆圆矩矩圆矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1ddddddddd443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIxCxCyC圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴yCxCCxCyCIIyxI、 C 0 与截面形状、尺寸有关的几何量，统称为截面与截面形状、尺寸有关的几何量，统称为截面几何性质，如面积、静矩、极惯性矩等。几何性质，如面积、静矩、极惯性矩等。 计算杆在外力作用下的应力和变形时，将用到计算杆在外力作用下的应力和变形时，将用到杆件的截面几何性