实例正方形金属薄片受热后面积的变量

1、实例实例: : 正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xa 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由,20 xa 正方形面积正方形面积2020)(xxxa .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0一、问题的提出一、问题的提出4 函数的微分函数的微分再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)(

2、)(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy (2),x 是是的的高高阶阶无无穷穷小小既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?.)(220 xxx )1()2(22200,()yxyxxx 对对有有33300,()yxyxxx 对对有有.)()(3332020 xxxxx )1()2( 020022x xyxxxxx 中中关关于于的的线线性性主主部部中中，刚刚好好是是 02230033x

3、xyxxxxx 中中关关于于的的线线性性主主部部中中，刚刚好好是是000( )()()()yf xyf xxf xxfxx 可可以以证证明明，如如果果函函数数可可导导，则则函函数数增增量量中中关关于于的的线线性性主主部部为为定义定义000000000000( ),()()()()(),( ),()( ),(),().xxxxyf xxxxyf xxf xfxxoxoxxyf xxfxxyf xxxdydf xdyfxx 设设函函数数在在某某区区间间内内可可导导及及在在这这区区间间内内那那么么成成立立 其其中中是是的的高高阶阶无无穷穷小小此此时时称称函函数数在在点点可可微微并并且且称称为为函函数

4、数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分记记作作或或即即.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )二、微分的定义二、微分的定义( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函数数在在任任意意点点 的的微微分分称称为为函函数数的的微微分分记记作作或或即即( )1,.yf xxydyyxxdxx 对对函函数数，由由于于，所所以以其其微微分分即即.)(dxxfdy ).(xfdxdy .dydx即即函函数数的的微微分分与与自自变变量量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数的的导导数数导导数数也也叫叫 微微商商即自变量的

5、增量即为自变量的微分即自变量的增量即为自变量的微分例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 三、微分的求法三、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.解解 221(2)xxyxexe 2212xxxedydxxe 例例2 2 求下列函数的微分求下列函数的微分2ln()xyxe(2)(2)1 3cosxyex (3)(3)3(23 )yx(1)(1)2212xxxexe 23(23 ) (23 )yxx(1

6、)(1)29(23 )x 29(23 )dyxdx 1 3(3cossin ).xdyexx dx 1 3cosxyex (3)(3) 1 31 3coscosxxyexex 1 31 313cossinxxexxex 1 31 33cossinxxexex 1 33cossinxexx 4cos()( ),.xyeexyyy xdy( )( )设设方方程程确确定定了了隐隐函函数数求求解解,求求导导方方程程两两边边对对 x sin()xyeeyxyxy sin()sin()xyeyxyyxxye sin()xyeeyxyyxy sin()sin()yxxxyeyeyxy sin()sin()x

7、yeyxydyy dxdxxxye 练练 习习 题题二、求下列函数的微分：二、求下列函数的微分： 21.1xyx 22.ln(1)yx 33.cos3xyex 一、填空题一、填空题 ： 4.sindxdx 51.d xdx 7.ln3dxdx 13.2ddxx 212.ddxx 6.cos2dxdx 5.2 ln2xddx 328.3xdx e dx 45x1x xcos x 2x1sin22x1x3xe综综 合合 练练 习习 题题一、填空题一、填空题 ： 21.(),(3).fxxff 设设则则 22.(),().fxxxfx 设设则则 3.2,.xyy 设设则则 3214.()1,( 1)

8、.2fxxxf 设设则则 5.(),(0).xfxxef 设设则则 06.()0,lim().xfxxfx 设设 函函 数数在在处处 可可 导导 则则 7.2,2.yxx 设设曲曲线线方方程程为为则则在在处处的的切切线线方方程程为为 18.(),().fxfxx 设设则则363252x12ln22xx(0)f21x 132 12(2)4yx二、求下列各函数的导数：二、求下列各函数的导数： 11.21yxx 2.ln1xyx 1003.12yx 4.sin 5cos(31)yxx 35.3 cos3xxye 36.1cosyx sin8.2cosxyx 27.1yxx 9.ln()yxyyy xy 设设确确 定定 了了 函函 数数， 求求三、求下列各函数的微分：三、求