第一类曲面积分

1、编辑课件1一、概念的引入一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .编辑课件2二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义 设曲面设曲面 是光滑的是光滑的, , 函数函数),(zyxf在在 上有界上有界, , 把把 分成分成n小块小块iS （iS 同时也表示同时也表示第第i小块曲面的面积）小块曲面的面积）, ,设点设点),(

2、iii 为为iS 上上任意取定的点任意取定的点, ,作乘积作乘积 ),(iiif iS , ,并并作作和和 niiiif1),( iS , , 如如果果当当各各小小块块曲曲面面的的直直径径的的最最大大值值0 时时, , 这这和和式式的的极极限限存存在在, ,则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在曲曲面面 上上对对面面积积的的曲曲面面积积分分或或第第一一类类曲曲面面积积分分. .1.1.定义定义编辑课件3即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记记为为 dSzyxf),(.叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf.叫叫积积分分曲曲面面 . 0,dSdS叫做曲面

3、的面积元素编辑课件4 dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则及可分为分片光滑的曲面若,21).(1,1),(,即曲面的面积时当特别SdSzyxf编辑课件5三、计算法三、计算法.),(,),(:.1上有连续的偏导数在函数平面上的投影在为若曲面xyxyDyxzxOyDyxzz按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：SDxy),(yxfz xyoz编辑课件6;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),(则则dzzddSyx221cosSDxy),(yxfz xyoz编辑课件7;

4、1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则对面积的曲面积分的计算方法是对面积的曲面积分的计算方法是-将其将其化为投影域上的二重积分计算化为投影域上的二重积分计算2.:( , )yy x z若曲面编辑课件8:小结 第一类曲面积分的计算步骤3.(:( , )( , , ),( ( , , ( , ).zz x yf x y zf x y z x y将的方程 如代入被积函数中将它变为二元函数1.,(:( , ),(),().xyzz x yxOyD画出曲面的图形

5、 写出的方程 如并将向某一坐标面投影面 指出投影区域222.(1),xydS dSzz d求面积的微元编辑课件9xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxfdSzyxf221),(,(),(),(. 4二重积分化为将一型曲面积分;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx或.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy或编辑课件10.3)(3,)(. 12222部分所截下的带锥顶的那一被平面是锥面其中计算曲面积分例zyxzdSyxdxdydxdyzzdSyxyzyxxzzyxDyxzyxyxxy213,3)0(3:, )(3:2222222222解92)(2)(,303202222

6、drrddxdyyxdSyxxyD所以编辑课件11.,2如图示为封闭曲面计算例xyzdS1zyx1:,:43214321zyx为三个坐标面其中解dxdydxdyzzdSyxDyxzxyzdSxyzdSzyxfxxxy3110:,1:0),(,2243214被积函数三个坐标面上在编辑课件12xdyyxxydxxyzdSxyzdS1010)1 (341203编辑课件13 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分. 例例3 3积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy编辑课件14 dszy

7、x)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 编辑课件15例例 4 4 计算计算dSxyz |, 其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）. 解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成立成立，(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz编辑课件16dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSx

8、yz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx编辑课件17 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 编辑课.zxyxyz例5 曲面将球面分成三部分 求此三部分的面积之比342225:yxz解922 yx1622 yx1A3AdxdyyxdS22255302202211025525511drrrddxdyyxdSAxy

9、D编辑课件19402202232025525533drrrddxdyyxdSAxyD70543122AAA2:7:1:321AAA编辑课件20四、小结四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）编辑课件21思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个

10、因子的几何意义.221yxzz 编辑课件22思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z编辑课件23一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在

11、在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题编辑课件24二、计算下列对面积的曲面积分二、计算下列对面积的曲面积分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 为平面为平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求抛物面壳三、求抛物面壳)10)(2122 zyxz的质量的质量, ,此壳此壳的面密度的大小为的面密度的大小为z . .四、求抛物面壳四、求抛物面壳)10()(2