常见数列通项公式的求法

1、常见数列通项公式的求法1利用等差等比数列通项公式例1 ：设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且 a.b, 1 , a321 ,a5b313，求an，bn的通项公式。相关高考1 ：等差数列an的前n项和为Sn, q 12, S3 9 3 2 求数列an的通项an。相关高考2 ：实数列an是等比数列,a7l,且a/asi月6成等差数列，求数列&的通项a.。Si , n 12.禾ij用数列的前n项和，an1例2:各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk,且Sk=akaz(kN*),其中ayLZ求数列ak。2_2相关高考1 ：已知数列耳 的前n项和Sn n 9n，贝ij其通项a.；若

2、它的第k项满足 5 ak 8，贝 ij.相关高考2 :数列an的前n项和为Sn» q 1，a 12Sn(n N)求数歹! an的通项a.相关高考3 ：已知各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足3 1，且6s. (an 1)(an 2)，n N .求an的通项公式。3利用递推关系a. 1 a. f n3. 1递推关系n1n其中a为常数a a例3 :数歹ij an中，ai 2， ( c是常数，.1,2,3 JL)，且ER，a?, a3成公比不为1的等比数列-求q的通项公式.相关高考1：已知数列a满足ai 1力力19，求数列a。的通项公式。2 a2nn1/相关高考2：已知数列a.满足na

3、. 1.1a2，且2 ,求数列 a的通项公式。X n a3. 2递推关系n其中a为常数ai a例4：已知数列 bn的首项b11，其前n项和S, n 12bn ,求数列bn的通项公 式。且当相关iSi考：数列an满足n3n 1 2 al a?L a”且a( 1，求数列 an的通项公式。，所以p 1q,3. 3递推关系 an 1 pan ai a令 an 1p anq其中D,q,a为常数且D 1，整理得an 1 pan p 1an q是等比数列。D 1am q p an 。,所以数列P 1P 1例5 :已知数列例Sn 1G2 1)(an2), n 1,2,3± 求&的通项公式。3

4、3n1l n相关高考2:已知数列 耳：3, 5, 7 9,n 2 时，bnabm ,求数列bn的通项公式。263nn为非3. 4递推关系ai其中p, a为常数且p由递推式an 1pann两边同除以，得n 1PPr n n1 ,对此米用P3. 1中所述的相关高考3 :数列an中，设an 0,印1且an an 13，求数列an的通项公式。打 ，2解：由an an 163 得 2log 3 am log 3 anbn log 3an，有 2bn1bn41 n 1bn1 2-1-bn 2，所以2-12 -2ICQq 1 22n22n2 2n从而bn 2累加法可求。例6 :在数列anai 2, an 1

5、 an(2)2n(n)，其中0 ,求 an。角军：由an 1an)2n( nN*),°，可得牛所以n所以数列3n为等数列，其公差为1,首项为0.故 3nn 1,相关高考：数列3n解：由anan 1bn bi故an3. 5递推关系3. 5.例7:解:的通项公式为an(n 1)的前n项和为Sn且满足ai22Snn n 1 有:an 2an2n 2 gp ：ain3nai此采用已知数列an3n即anai2Sn3ann 2n.1 ,3n 12Sn求an。2n两边同除以3n两式相减得:，得:2n23nn则bn 1bn3n2n 1ai一从而2n 12 3n相关高 考：pan qan a , a2

6、=b2其中p,q,a,b为常数时，p 1即3n3nan1 an为等比数歹(J ,又寸3.1an中所述的累加法可求满足 31 1,325,an32an两边减去Sn 13an是公比为首项为a2得:ai已知数列an中,53an-an 3，求数列an的通项公式，3.n 2an 123 an13n，所以一的等比数列，所以 322.an2 3an1an 13n3n 11an ,求数列3的通项公式，解：由an 223a，T 11an两边减去an 1得:an2an 1 an是公比为一首项为3目口 An A1a? a( 1的等比数所以an 1n21Sn，所以A n1133. 5. 2 若 pq1时,存在Xi,X

7、2满足an 13n1 Nx2 an X!X2anX2对此采用3. 4中所述的方法即可。4 .利用倒数变形,n11Qx2x1an 1整理得P, XiX?Snx，是等比数列,an 1 an两边取倒数后换元转化为an 1panqpanq。例&已知数列an满足an an 1 的 1，求数列an的通项公式。3 an 11解：取倒数：3'anan 111 “- (n 1)3 13n Hl31是等差数列，ani an1(n 1) 3 an3n 2相关局考1：数列an满足：ai3nam2am nn 2，求 an1解：将条件变为：1 -1，n1。，因此1an 13n11, ar 31公比一从而3

8、1-±3n1力,据此得anJ为一个等比数列，其首项为nn 33n 1相关高考2：数列 an满足：ai 2a，角星：an 1 a a.an3n a, aSn22a a3n所以0 ,求数列 an的通项公式。a 3n a an a1 ,公差为 1bn 一因而tn是首项为bi a I， _L的等差数列, ao所以 bnn，故 an1bnan an 1T例9:设正整数数列an满足：a2 4,且对于任何，有2n1an 15.利用归纳猜想(1)求21, a3 ； (2)求数列an的通项an .2解：由 ai 1, a2 4 , a3 9，猜想：a* n210当n 1 , 2时，由(1)知an n均

9、成立:2。假设nk(k2)成立，则 ak k?，则由得2 k(k1)ak 11k2(k 1)k1k2k2 akk(k2 k1)k 12(k1)2k2Kli aki (k 1)2F面用数学归纳法证明.因为 k 2 时，«21) (k 1)2 k(k 1)(k 2)0，所以1k 11，所以1彳k12故 ak 1 (k 1),即 n0, .又a。 N*，所以化1产2k 1时，an n成立.(k1f k21 °-1ak 1«1 )2a(a 0), 4是线段AA2的中点,由1 , 2知，对任意nN, anil相关高考：已知点的序列An(Xn,0), n N，其中X1 0 ,

10、 x2A4是线段A2A3的中点，An是线段An2 A"的中点,(1 )写出Xn与Xn1,Xn2之间的关系式(fl 3 )。(2 )设 3n Xn 1Xn，计算 ai,a2,as,并求出数列前的通项公式。解：(1)当n3时Xn(2) ai x2a,a2 X3 X2罗X2221(X2Xi)a 3 X4 X3X31(X322X2) £a4由此推测an (1 n 1)n1a(n N ),下面用数学归纳法证明:当n=1时,a 1 X2 Xl)° a公式成立2假设当n=k时公式成立,即ak1 k 1)a成立，那么当n=k+l时 2ak 1 Xk 2 Xk 1XkiXkXki1

11、2(xk1 Xk)(k 1)1综上对任意n N公式都成立。6 禾U用函数的不动点(方程的特征根)6.1若数列Xn满足Xn12aXnbx.小根'则Xn 1Xnb22b4a是方程x2 axbxb2 2b4a的最例10 :已知数列Xn满足Xn 14Xn 1,Xi1，求数列Xn的通项公式。解:令 x 2x2 4x 1，贝 U x1是其最小根，Xn122Xn1 ，由题意知两边取对数，得log2 Xn 11 2IOg2Xn11，两边同时加1,得:IOg2Xm 12 logzXn 1故 Iog2 Xn 11是首项为log2Xi12公比为2的等比数列,axi bcxi d所以 l0g2Xn1 1 2n

12、 故 Xn 22 11。6. 2若数列Xn 满足Xni _aXc 0, ad be 0且Xi CXn d所以所以有口xn 17x解：令x必Y1,2为其两根,6Xn15Xn所以数列 迎。是以32为首项，以公比的等比数歹1J，丫 人nv故XnXn 1Xn 2axK若方程b有两个相等实根ex d则Xn 12cad兄Xn满足解12:已知数列. V 一求数列X A7 1 X 2X的通项公式，4Xn /3X1i:令x -为其1根，所Xn2所以数列是以K - X241为首项，以一为公差的等差数列,所以一Xn6 . 3若数列A1 n1-.故 Xn1 529 4n2 8n。Xn满足Xn 12aXn 。2aXn

13、f0，若，是方程X。的两个相异实根，则2axf621 若方程 ax 15有两个相异实根则xn 1a c xn/- Yxn Zn rtex dXnl a c xn7Xn 2例11:已知数列Xn满足X" n,Xi 3,求数列人的通项公式。Xn4xn 1Xn 1Xn例13：已知数列Xn满足Xn3xov22,X1519、一 一、19，求数列 Xn的通项公式。6解：令X 3X：6x ± ,得2为其两根，所以仔211Xn 3 Xn 孑，Xn2两边取对数，得log32logxnxn所以数列log3-Xnlogs1为首项，以2为公比的等比数歹！J,Xn 1所以log 32厂，故XnXn 2632n 1333相关局考：已知函数f(x)XX1 ,是方程