参数方程知识讲解及典型例题

1、参数方程、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数x f（t）t的函数，即 y f，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程 组所确定的点M （x, y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现 了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0）,半径为r的圆:r cosr sin般：圆心在（x°, y°）,半径等于r的圆:x x0 r cos y y。 rsinEg1：已知

2、点P （x（为参数，的几何意义为圆心角）y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0 上的动点，求：(1) x2+y2的最值;(2) x+y的最值;（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2:将下列参数方程化为普通方程(1) |x=2+3cos(2) 1rx=sin1(3) - x = t+ -y=3siny=cosy=t总结：参数方程化为普通方程步骤:（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程:中心在原点，焦点在x轴上的椭圆:x a cos（为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AONfe离心角）y bsin注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M

3、点的轨迹是椭圆，中心在（x。，y。） 椭圆的参数方程:x x0 a cosy y0 bsin2-x2 Eg：求椭圆 36y=1上的点到 M （2,0 ）的最小值。203、双曲线的参数方程:中心在原点，焦点在x轴上的双曲线：x asec （为参数，代表离心角）, 一 y btan中心在（X0, y。），焦点在x轴上的双曲线：J x x0 asec y y° btan4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x 2pt2y 2pt （t为参数，p>0, t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点

4、P）（x°, y°）,倾角为 的直线，P是直线上任意一点，设 P°P=t, P0P叫点P到定点 R的有向距离，在 P0两侧t的符号相反，直线的参数方程"x x0 t cosy y° tsin 。为参数，t的几何意义为有向距离）说明：t的符号相对于点P0,正负在R点两侧 I P0P I = I t I直线参数方程的变式：x x0滉，但此时t的几何意义不是有向距离，只有 L y v。 bt当 t 前面系数的平方和是1 时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得X Xoa.a2 bb2 ( -a2 b2t),让«a2 b2t作为t

5、,则此时t的几何意义是有y yo222.a b(a2b2t)向距离。Eg：求直线x=-1+3ty=2-4,求其倾斜角.极坐标与参数方程练习题基础训练A组、选择题1.若直线的参数方程为2t （t为参数），则直线的斜率为（A. 23x sin22 .下列在曲线（为参数）上的点是（）y cos sinA(1，后)B . ( 4,2) C , (2,73) D . (1,73) x 2 sin23 .将参数方程2(为参数)化为普通方程为()y sinA. y x 2 B.y x 2 C.yx2(2x 3) D . y x 2(0 y 1)4 .化极坐标方程2 cos0为直角坐标方程为（A. x2y20

6、或 y 1 B . x 1 C . x2y20或 x 1 D . y 15 .点M的直角坐标是(1,73),则点M的极坐标为()2A (2,-) B . (2, -) C . (2,-) D (2,2k-),(k Z)33336 .极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A. 一条射线和一个圆B .两条直线 C . 一条直线和一个圆D . 一个圆二、填空题x34t.1 .直线（t为参数）的斜率为 。y45tt t xee 2 .参数方程（t为参数）的普通方程为。y 2（et et）. x 1 3t3 .已知直线1i： 丫 2 4t。为参数）与直线12：2x 4y 5相交于点B,又点A（

7、1,2）,则AB x4.直线y三、解答题1t2 (t为参数)被圆x21t2y2 4截得的弦长为221 .已知点P(x,y)ze圆x y 2y上的动点,(1)求2x y的取值范围;(2)若x y a 0恒成立，求实数a的取值范围。x 1 t.2.求直线11：L (t为参数)和直线l2： x y 2百y 5 . 3t0的交点P的坐标，及点P与Q(1, 5)的距离。223.在椭圆-y 1上找一点，使这一点到直线16 12x 2y 12 0的距离的最小值。综合训练B组、选择题1 .直线l的参数方程为之间的距离是（A.ti2.参数方程为3.4.5.6.A. 一条直线x直线卜为参数），l上的点P对应的参数

8、是3,则点P1与P（a,b）2ti1t（t为参数）表示的曲线是、22 t12t3.3.两条直线c . 一条射线（t为参数）和圆16交于A, B两点,则AB的中点坐标为（A.A.(3, 3).3,3) C .(-3, 3)D . (3, ,3)5cos5、. 3 sin的圆心坐标是与参数方程为A.C.直线A.x25w)c - (5,s)D(吟)1(0（t为参数）等价的普通方程为（y 2) Dt（t为参数）被圆（x_140-4二、填空题1.曲线的参数方程是x21(0x 1)1(0x 1,0 y 2)3)2(y1)225所截得的弦长为（,93 4.31t (t为参数,tt20）,则它的普通方程为2.

9、直线xy3 at3(t为参数)过定点14t3.点 P(x,y)是椭圆2x2 3y2 12上的一个动点，则 x 2y的最大值为4.曲线的极坐标方程为tan1，则曲线的直角坐标方程为cos5.设y tx(t为参数)则圆4y 0的参数方程为三、解答题21 .点P在椭圆16求点P到直线3x 4y 24的最大距离和最小距离。2.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角(1)写出直线l的参数方程。(2)设l与圆x2 y2 4相交与两点 a, B ,求点P到A, B两点的距离之积。极坐标与参数方程练习题答案基础训练A组一、选择题1 .D 2.B 3.C 4.C 5. C 6.C二、填空题2 2广1 - 2 . 1,(x 2) 3 . - 4 . .1444162三、解答题1.解：(1)押 1 2x y & 1 ； a、.2 12. 4,33,生5综合训练B组一、选择题1. C 2 . D 3 . D 4 . A 5 . D 6 . C二、填空题1. y X(X 2) (x 1) 2. (3, 1) 3 . .22 4.x2 y(x 1)2x5.4t1 t24t222x (tx)4tx0时,0；当x 0时,4tx 2 ;1 tt2而 y