高等数学：第四章 第2节 换元积分法

1、2问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法3在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( CxFdxxxf)()()( )()(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理4设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说

2、明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 15例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 6例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx

3、231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地7例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 8例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 9例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 ax

4、daxa2111.arctan1Caxa 10例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 11例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 12例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 13例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 123212321232dxx

5、dxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 14例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 15例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当

6、被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.16例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 17例例1313 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒

7、等变形）18解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx19解解例例1414 设设 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 20例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsi

8、n2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 2116例例xdxx35sectanxdxxxxtansecsectan24xxdxsecsec) 1(sec222xdxxxsec)secsec2(sec246Cxxx357sec31sec52sec712217例例dxxx1164dxxxxx) 1)(1 (12424dxxxxxxx) 1)(1 (1242224dxxxdxx2322)(111Cxx3arctan31arctan23问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttc

9、ossin1)(sin25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法24其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. .设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 225第二类积分换元公式第二类积分换元公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,26例例1818 求求解解

10、).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sec.ln22Caaxax 2,2t27例例1919 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253 .4514345232Cxx 28例例2020 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0tt

11、dttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sec.ln22Caaxax 29说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 30 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况

12、来定情况来定.说明说明(2)(2)例例2121 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解31例例2222 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx32说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2323 求求dxxx )2(17令

13、令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解33例例2424 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dtttt22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 34 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 35说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其

14、中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n例例2525 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt221636 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 37基基本本积积分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 38;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 3926例例dxxxx52322dxxxx521222dxxxdxxxx521522222) 1(2) 1(152)52(2222xdxxxxxdcxxx21ar