13度量空间的可分性与完备性

1、实用标准文案1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间.度量空间的可分性定义设X是度量空间，A,B X，如果B中任意点x. B的任何邻域O(x,j.)内都 含有A的点，则称A在B中稠密.若A B，通常称A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味着有 A二B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数 中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理

2、数.定理设(X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) -x B , XnA，使得 limd(Xn，x)=O ；n(3) B A (其中ArAlJA ； A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)；(4) 任取0，有B O(x,、J .即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理稠密集的传递性设X是度量空间，代B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明 由定理1.1知B二A ； C二B，而B是包含B的最小闭集，所以 B二B二A，于是 有C A ,即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weie

3、rstrass 多项式逼近定理) 闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1) 多项式函数集Pa, b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：(2) 连续函数空间Ca,b在有界可测函数集 Ba,b中稠密.(3) 有界可测函数集 Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1岂p ：:；). 利用稠密集的传递性 定理可得：(4) 连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1 _ p ”：心).因此有 Pa, b Ca,b Ba,bLpa, b.定义设X是度量空间，A二X，如果存在点列xn二A，且xn在A中稠密， 则称A是可分点集(或称可

4、析点集).当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间.注3: X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn =(1,2,川十)|Q,i =1,2,|H,n为R中的有理数点集，显然Qn是可数集，下 证Qn在Rn中稠密.对于Rn中任意一点x =：区公2，|,人)，寻找Qn中的点列rk，其中rk =(讥|,)，使得4x(k_. -) 由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数x ( i =12川，n)，存在有理数列一；x (k； ：).于是得到Qn中的点列rk，其中rk, k 二1,2川I.现证匚 x(

5、k . 一 ； 0，由 rk _ x(k-. )知，Ki N，当 k . Ki 时，有I r -x - , i =1,2，i|I,n取 K =maxK1,K2,|,Kn，当 k>K 时，对于 i =1,2,|, n，都有 rk x £上，因此ind (rk, x)JrikxI2即rk> x(kr )，从而知Qn在Rn中稠密.口例连续函数空间 Ca,b是可分的.具有有理系数的多项式的全体P°a,b在Ca,b中稠密，而Poa,b是可列集.证明 显然Ra,b是可列集.-x(t)Ca,b，由Weierstrass 多项式逼近定理知，x(t)可表示成一致收敛的多项式的极限

6、，即-；0，存在(实系数)多项式P (t)，使得d(x, p)=maf|x (t) p；(t)|：2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p0(tr P0a,b，使得zd(p ；, P。)=max| p (t) p0(t)卜：2因此,d(x, p°)乞d(x, p ) d(p ；, p°) ： ； , 即卩 p°(t) O(x,;)，在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域 内必有FOa,b中的点，按照定义知P°a,b在Ca,b中稠密.口例次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于P,a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密

7、，便可知可数集PJa,b在Lpa,b中稠密.口例次幕可和的数列空间lp是可分的.证明 取Eo二(“2,111,0,川,0,山)山-Q, n N，显然Eo等价于l Qn，可知E。可数，n=t下面证Eo在lp中稠密.qQ-X =(为公2川l,Xn,l|l) lp，有 7 x p ：-:，因此一；0 , N N，当 n N 时，1:.PXi|p 巧n出12又因Q在R中稠密，对每个人(1 叮乞N )，存在r三Q，使得P|X7 |PV；N，(i =1,2,3，lll，N)于是得NPv I x -r lpi 22令 x(r1,r2j|,rN,0JH，0JlO E。，则N:丄 .P .P 丄d(xg,x)

8、=('jx-ri |P 工 区 |P) P ： () P -；i ±i -N +22因此Eo在lP中稠密.口例设X =0,1，则离散度量空间(X,do)是不可分的.证明 假设(X,d。)是可分的，则必有可列子集灯 X在X中稠密.又知X不是可列集1所以存在X X , x* -'xn.取：=-，则有* 1 * do(X,X ) £ >=xI.2j即O(X*,Q中不含Xn中的点，与Xn在X中稠密相矛盾口思考题：离散度量空间(X,d。)可分的充要条件为 X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如(0.625) 10

9、=(0.101) 20.625 x 2=1.25 取 1; 0.25 x 2=0.50 取 0; 0.5x2=1.00 取 1.二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1n 1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推.即(0.淋2川人)2 =- 3。，例 2如111(0.101) 2= =(101)10 =(0.625)10 .2 48因此0,1与子集A=X=(X!,X2 , |,Xn,|)|Xn =0或1对等，由0,1不可数知A不可列.例有界数列空间丨：:是不可分的.=x =(为，X2,IH, Xn,l|l)=( x )

10、 I X为有界数列，对于 x=(Xi) , y=(y).，距离定义为 d(x,y)二sup | X -yi | .i >证明 考虑l '-中的子集 A =x =(X1 ,X2 ,|l|,Xn ,川)斗=0或1，则当X, y A, x = y时，有 d(x,y) =1 因为0,1中每一个实数可用二进制表示，所以A与0,1 一一对应，故 A不可列.假设丨：:可分，即存在一个可列稠密子集 A0，以A)中每一点为心，以1为半径作开球，所3有这样的开球覆盖 丨-，也覆盖A 因A)可列，而A不可列，则必有某开球内含有 A的不同的 点，设x与y是这样的点，此开球中心为 x0，于是1 1 21

11、=d(x,y) jd(x,xo) d(xo,y):3 33矛盾，因此丨：:不可分.口度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义基本列设Xn是度量空间X中的一个点列，若对任意；0 ,存在N，当m, n . N时，有d(Xm,Xn);则称Xn是X中的一个 基本列(或Cauchy 列).定理(基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1) 如果点列Xn收敛，贝U Xn是基本列；(2) 如果点列Xn是基本列，则Xn有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设 Xn二

12、 X , X X，且 Xn r X .则- ； 0 , TN N ,当 n N 时，d(Xn, x)：2 从而n , m . N时，d(Xn,Xm)切(人凶 d(X,Xj：2 2即得Xn是基本列.(2) 设Xn为一基本列，则对；T，存在N，当n N时，有d(xN 1 x )：:;- 1,记M =maxd (x ,x 十),d X ,X+ DJ d X X1 ),1,那么对任意的 m,n，均有d(Xn,Xm)空 d(Xn,XN 1) d(Xm,XN 1)：M M =2M ,即Xn有界.(3) 设Xn为一基本列，且Xj是Xn的收敛子列，Xnk > X( ：).于是，-； 0, N ,1时，址

13、曲葛；N2 N，当k N2时，叽小石.取 N = maxN! g ,则当n N , k N时，nk -k N，从而有d(Xn, X)玄d(Xn,Xnk) d(Xnk, X)：；二；，故 xn r x( nr ) .口注4:上述定理表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗?例设X =(0,1) , -x, r X，定义d(x,y)二x-y，那么度量空间(X,d)的点列1Xn= 是X的基本列，却不是 X的收敛列.n 1证明 对于任意的；.0,存在N. N，使得N丄，那么对于 m=N中a,b N ，有11a _bN +b 十1N +a +1(N +a+1)(N +b+1)d(X

14、n，Xm)二人Xm 二max a, ba +b：(N a 1)(N b 1) ： Na Nb N1即得 Xn是基本列显然lim0 y X，故Xn不是X的收敛列.Tn +1,当n, m N时有就可以判断它是1或者利用焉 =丄是R上的基本列，可知-；.0 , N N于是可知 Xn二n +1'也是X上的基本列.口U+1J如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限,否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义完备性如果度量空间X中的任何基本列都在 X中收敛，则称X是完备的度量空间 例维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收

15、敛，以及R的完备性易得.口例连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g)=max| f(t)-g(t)i)证明设Xn是Ca,b中的基本列，即任给；0,存在N，当m,n N时，d(Xm,Xn)：；即max Xm(t) _Xn(t) I <故对所有的t a,b, Xm(t) -Xn(t):;，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数x(t)，使Xn(t)在a,b上一致收敛于 X(t)，即 d(Xm,x) > 0(n； ；：),且 x Ca,b.因此 Ca,b完备口例 设 X =C0,1 ,f(t),g(t)EX，定义 4(f ,g) =(| f(t)g(t)0t

16、，那么(X,dJ 不是完备的度量空间.(注意到例结论(X,d)完备)证明设0fn(t) =2n(t -1)210 <t <2+_t _1精彩文档fn(t) - C0,1的图形如图所示.显然fn(t)C0,1 , n =1,2,3,川.因为ddfm,fn)是下面右图中的三角形面积，所以71N ，当m, n N时，有S；0|fm(t)-fn(t)|dXfn(t) C0,1图像及有关积分示意图于是fn是X的基本列.下面证 fn在X中不收敛.若存在f(t X，使得d1( fn, f 0( n r ).111 -I11由于 ddfn,f) =fn(t) f (t)|dt 二 01 f(t)|

17、dt ； n| fn(t) f (t)|dt ； ； |1 一 f (t) | dt ,显然上式右边的三个积分均非负，因此d!(fn，f).0时，每个积分均趋于零.推得f (t)t 0,另(1,1可见f(t)不连续，故 fn在X中不收敛，即C0,1在距离a下不完备.口表常用空间的可分性与完备性n维欧氏空间(Rn,d)d(x,y)电x -y)2VV离散度量空间(X,d°)X可数d° (x, y)：0当x = y时VVX不可数1当xy时XV连续函数空间Ca,bd(f,g)二雋If(t)-g(t)lVVd1(f,g)二= (|f (x)g(x) dxVX有界数列空间严d(x, y

18、) =sup| x yi |i>XVp次幕可和的数列空间l Pdp(x,y)1(閃=£ |x-y |p | jVVp次幕可积函数空间(Lpa,b,d)d(f,g)=(1L|f(t)-g(t) |p 亦VV度量空间距离可分性完备性由于有理数系数的多项式函数集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知闭区间a,b上多项式函数集Pa,b、连续函数集Ca,b、有界可测函数集Ba,b、p次幕可积函数集 Lpa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p 次幕可和的数列空间lp也是可分空间，而有界数列空间丨：:和不可数集X对应的离散度

19、量空间(X,d°)是不可分的.从上面的例子及证明可知，n维欧氏空间Rn是完备的度量空间，但是按照欧氏距离X =(0,1)却不是完备的；连续函数空间Ca,b是完备的度量空间，但是在积分定义的距离1di(f,g)|f(t)g(t)dt下，C0,1却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次幕可和的数列空间lp是完备的度量空间，p次幕可积函数空间Lpa,b(p _1)是完备的度量空间，有界数列空间的完 备性.通常所涉及到的空间可分性与完备性如表所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定

20、理(闭球套定理)设(X,d)是完备的度量空间，& =O(xn,、n)是一套闭球:B1 二 B2 二| 二 Bn 二| qQ如果球的半径,n . 0(nr -')，那么存在唯一的点 x|Bn 证明 (1)球心组成的点列Xn为X的基本列.当m n时，有Xm BmBn( =O(Xn,、：n)，可得d(Xm,Xn) Jn (2.4)八0 ,取N，当nN时，使得、；n ：；,于是当m,n . N时，有d(Xm X)_、：n ：；,所以 Xn为X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点X，X，使得 艸_人=x .令(2.4) 式中的mr，,可得d(x,人)兰

21、卷即知Bn, n =1,2,3,川，因此xn三qQ(3) x的唯一性设还存在y X，满足y |Bn，那么对于任意的nN，有x,yB.,n吐从而 d(x,y)二d(x,xn) d(xn,y) ：S2、：n r 0 (n“ -')，于是 x=y .口注4:完备度量空间的另一种刻画： 设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：x BnnWB1 _占2二III二Bn二III，其中Bn =6(Xn,、n)，当半径5 ；心)，必存在唯一的点大家知道lim(1)n =e，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用.那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢