选修22第3章 导数的应用总讲义资料

1、专业好文档 3.13.1 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 【学习要求】 1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2能利用导数判断函数的单调性 3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 【学法指导】 结合函数图像(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系， 体会数形结合思想，以直代曲思想. 一基础知识回顾一基础知识回顾 1.函数单调性：一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数 函数的单调性 f(x)0 单调递增 f(x)0 单调递减 f(x)0 常函数 二问题探二问题探究究 探究点一：函数的单调性与导函数正负的关系 例 1： 已知导

2、函数f(x)的下列信息： 当 1x0； 当x4， 或x1 时，f(x)0； 当x4，或x1 时，f(x)0.试画出函数f(x)图像的大致形状 解：当 1x0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x4，或x1 时，f(x)0 得，x3； 由f(x)0得， 2x0，即 23x21x0，解得33x33.又x0， x33.令f(x)0， 即23x21x0， 解得x33或0 x0，0 x33.f(x)的单调递增区间为(33，)，单调递减区间为(0，33) 跟踪训练 2：求下列函数的单调区间： (1)f(x)x2ln x； (2)f(x)exx2； (3)f(x)sin x(1cos x)(0 x0，所以2

3、x10，由f(x)0 得x22，所以函数f(x)的单调递增区间为22， ；由f(x)0 得x0，(x2)20. 由f(x)0 得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0 得x3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)f(x)cos x(1cos x)sin x(sin x) 2cos2xcos x1(2cos x1)(cos x1)因为 0 x0 得 0 x3或53x2；由f(x)0 得3x0，函数在(0,6)上单调递增 2f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是(d) 解析：

4、由导函数的图像可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当 0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知 d正确 3函数f(x)ln xax(a0)的单调增区间为 (a) a0，1a b1a， c(0，) d(0，a) 解析：f(x)的定义域为x|x0，由f(x)1xa0，得 0 x0，得x2；令y0，得x0，得x33或x33；令y0， 得33x0)0 和和f f( (x x) )00；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的 (a) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 2 函数 f(x)(x3)ex的单调递增区间是

5、(d) a(，2) b(0,3) c(1,4) d(2，) 3 函数 f(x)x3ax2bxc，其中 a，b，c 为实数，当 a23bg(x)，则当 axg(x) bf(x)g(x)f(a) df(x)g(b)g(x)f(b) 7 函数 yf(x)在其定义域32，3 内可导，其图像如图所示，记yf(x)的导函数为 yf(x)，则不等式 f(x)0 的解集为13，1 2,3) 8 函数 yx2sin x 在(0,2)内的单调递增区间为3，53 9函数 yax3x 在 r 上是减函数，则 a 的取值范围为_ 10.已知函数 yf(x)的导函数 f(x)的图像如图所示，试画出函数 yf(x)的大致图

6、像 解：由yf(x)的图像可以得到以下信息：x2 时，f(x)0，2x0，f(2)0，f(2)0.故原函数yf(x)的图像大致如下： 11求下列函数的单调区间： (1)yxln x； (2)y12x. 解：(1)函数的定义域为(0，)，y11x，由y0，得x1；由y0，得 0 x1.函数yxln x的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)函数的定义域为x|x0，y12x2，当x0 时，y12x20， 得x12；令f(x)0，得 12x0，即 3mx26mx0，当m0时，解得x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0 时，解得0 x0 时，函数f(x)的单调增区间是

7、(，0)和(2，)；当m0 时，函数f(x)的单调增区间是(0,2) 3.23.2 函数的极值函数的极值 【学习要求】 1了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2掌握函数极值的判定及求法. 3掌握函数在某一点取得极值的条件 【学法指导】 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质， 是局部性质 函数极值可以在函数图像上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用. 一基础知识回顾一基础知识回顾 1极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数

8、值f(x0)为函数的极大值 2极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值 3如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. 二问题探究二问题探究 探究点一：函数的极值与导数的关系 问题 1：如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数

9、值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？ 答：以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)2或x2时，f(x)0； 当2x2时，f(x)0. 所以f(x)的单调递增区间为单调递减区间为(2， 2) (， 2)和(2，)；当x2时，f(x)有极大值 542；当x2时，f(x)有极小值 542.(2)由(1)的分析知yf(x)的图像的大致形状及走向如图所示所以，当 542a542时，直线ya与yf(x)的图像有三个不同的交点，即方程f(x

10、)a有三个不同的实根 跟踪训练 3：若函数f(x)2x36xk在 r 上只有一个零点，求常数k的取值范围 解：f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1 或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上为增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k. 要使函数f(x)只有一个零点， 只需 4k0(如图所示)即k4. k的取值范围是(，4)(4，) 三练一练三练一练 1“函数yf(x)在一点的导数值为 0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的(b) a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件 2下列

11、函数存在极值的是 (b) ay1x byxex cyx3x22x3 dyx3 解析：a 中f(x)1x2，令f(x)0 无解，a 中函数无极值b 中f(x)1ex，令f(x)0 可得x0. 当x0，当x0 时，f(x)0. yf(x)在x0 处取极大值，f(0)1. c 中f(x)3x22x2，424200. yf(x)无极值d也无极值故选 b. 3已知f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则a的取值范围为 (d) a1a2 b3a6 ca2 da6 解析：f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6 或a0，a1. 5直线

12、ya与函数yx33x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是2a2 解析：f(x)3x23，令f(x)0 可以得到x1 或x1，f(1)2，f(1)2，2a2. 四课时小结四课时小结 1 1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值数值 2 2函数的极值是函数的局部性质可导函数函数的极值是函数的局部性质可导函数f f( (x x) )在点在点x x0 0处取得极值的充要条件是处取得极值的充要条件是f f(x x0 0) )0 0 且在且在x x0 0两侧两侧f f(x x) )符号

13、相反符号相反 3 3利用函数的极值可以确定参数的值，利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题解决一些方程的解和图像的交点问题. . 4.4.求可导函数求可导函数f f( (x x) )的极值的步骤的极值的步骤： (1)(1)确定函数的定义区间， 求导数确定函数的定义区间， 求导数f f(x x) )； (2)(2)求方程求方程f f(x x) )专业好文档 0 0 的根的根(3)(3)用函数的导数为用函数的导数为 0 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测表格检测f f(x x) )在方程根左

14、右两侧的值的符号，如果左正右负，那么在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f f( (x x) )在这个根处取在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么得极大值；如果左负右正，那么f f( (x x) )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f f( (x x) )在这个根处无极值在这个根处无极值 五作业设计五作业设计 1. 函数 yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图像如图，则函数 yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(a) a1 个 b2 个 c3 个 d4 个 2 下列关于函数的极值的说法正确的是 (d) a导

15、数值为 0 的点一定是函数的极值点 b函数的极小值一定小于它的极大值 c函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 d若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数 3 函数 yx33x29x(2x0；当 x(1，)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0 c当 x(，1)时，f(x)0 d当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于(d) a2 b3 c6 d9 9 若函数 yx33axa 在(1,2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是 (b) a1a2 b1a

16、4 c2a4 或 a0，可得x1 或x13；令f(x)0，可得13x0)有极大值52，求 m 的值 解：f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)， 令f(x)0，则xm或x23m. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)极大值f(m)m312m32m3452 m1. 12设 a 为实数，函数 f(x)x3x2xa. (1)求 f(x)的极值；(2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x13或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f(13)527a，极小值

17、是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时， 有f(x)0， 所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点 由(1)知f(x)极大值f(13)x (，0) 0 (0,2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 0 4e2 x (， m) m m，23m 23m 23m， f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 x (， 13) 13 (13，1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 专业好文档 527a，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点， f(x)极大值

18、0，即527a0，a1，当a(，527)(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点 13已知函数 f(x)(x2ax2a23a)ex(xr)，其中 ar. (1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率； (2)当 a23时，求函数 f(x)的单调区间与极值 解：(1)当a0 时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a23知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a23，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，2a) 2a (2a，a2) a

19、2 (a2，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)， 且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2 处取得极小值f(a2)， 且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如上表：所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数 函数f(x)在xa2 处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a. 3.33.3 最大值、最小值问题最大值

20、、最小值问题( (一一) ) 【学习要求】 1理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系 2会用导数求某定义域上函数的最值 【学法指导】 弄清极值与最值的区别是学好本节的关键 函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较. 一基础知识回顾 1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如图，函数f(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续x (，a2) a2 (a2，2a) 2a (2a，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 专业好文档 不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最

21、小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得 2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值， (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 二问题探究 探究点一：求函数的最值 问题：函数的极值和最值有什么区别和联系？ 答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 函数的极值可以有多个， 但最值只能有一个； 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处

22、取得必定是极值 例 1：求下列函数的最值： (1)f(x)2x312x，x1,3；(2)f(x)12xsin x，x0,2 解：(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x 2)(x 2)，令f(x)0，解得x2或x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： x (，2) 2 (2， 2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f(x)的单调递增区间为(，2)，(2，) 因为f(1)10，f(3)18，f(2)82，f(2)82；所以当x2时，f(x)取得最小值82；当x3 时，f(x)取得最大值 18. (2)f(x)12cos x，

23、令f(x)0，又x0,2，解得x23或x43. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 0，23 23 23，43 43 43，2 2 f(x) 0 0 f(x) 0 增 极大值 332 减 极小值 2332 增 当x0 时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2). 跟踪训练 1：求下列函数的最值： (1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5 解：(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4. 令f(x)0，得x12，x223.f(2)13，f239527，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在3,1上的最

24、大值为13，最小值为9527.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2 时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5 时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5. 探究点二：含参数的函数的最值问题 专业好文档 例 2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa) (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程 (2)求f(x)在区间0,2上的最大值 解： (1)f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3， 所以a0.

25、又当a0 时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 3xy20. (2)令f(x)0，解得x10，x22a3.当2a30，即a0 时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a. 当2a32，即a3 时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0. 当 02a32，即 0a3 时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2 上单调递增，从而f(x)max 84a0a20 2a2. 跟踪训练 2： 已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为 3， 最小值为29， 求a，b的值 解：f(x)3ax212ax3ax(x

26、4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a0时，列表如下： 由表可知，当x0 时，f(x)取极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3. 又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，a2. (2)当af(1)，f(2)16a293，a2. 综上可得，a2，b3 或a2，b29. 探究点三：函数最值的应用 例 3：已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1 恒成立，求a的取值范围 解：f(x)x1xln x1ln x1x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等价于 ln xxa. 令g(x)ln xx，则g(x)

27、1x1. 当 0 x1 时，g(x)0；当x1 时，g(x)0，x1 是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1. 综上可知，a的取值范围是)1， . 跟踪训练 3：设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0. 当x1 时，f(x)取极大值f(1)58c. 又f(3)98cf(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，即c9. c的取值范围为(，1)(9，) 三练一练三练一练 1函数yf(x)在a，b上 (d) a极大值一定比极小值大 b极大值一定是最大值 x 1 (1,0

28、) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x) 7ab 增 b 减 16ab 专业好文档 c最大值一定是极大值 d最大值一定大于极小值 解析：由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值 2函数f(x)x33x(|x|1) (d) a有最大值，但无最小值 b有最大值，也有最小值 c无最大值，但有最小值 d既无最大值，也无最小值 解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，则函数y在区间2， 上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选 c. 4函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为 10，则其最小值为71 解析：f(x

29、)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0 得x3 或x1. 又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671. 四课时小结四课时小结 1 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值只有一个极值，这个极值就是最值 2 2. .“恒成立恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求

30、含参函数的最值即可直接求含参函数的最值即可一般地，可采用分离参数法一般地，可采用分离参数法f f( (x x) )恒成立恒成立 f f( (x x)maxmax；f f( (x x) )恒成立恒成立 f f( (x x)minmin. . 3.3.函数最值：函数最值：(1)(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得化的方法求得求出导数为零的点求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值数的最大值和最小值 (2)(2)若函数

31、在闭区间若函数在闭区间 a a，b b 上连续单调，则最大、最小值在端点处取得上连续单调，则最大、最小值在端点处取得 五作业设计五作业设计 1 函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是 (b) af(2)，f(3) bf(3)，f(5) cf(2)，f(5) df(5)，f(3) 2 f(x)x33x22 在区间1,1上的最大值是 (c) a2 b0 c2 d4 3 函数yln xx的最大值为 (a) ae1 be ce2 d.103 4 已知函数yx22x3 在区间a,2上的最大值为154，则a等于 (c) a32 b.12 c12 d.12或32 5 函数y4xx21在定

32、义域内 (c) a有最大值 2，无最小值 b无最大值，有最小值2 c有最大值 2，最小值2 d无最值 6 设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图像分别交于点m，n，则当|mn|达到最小时t的值为 (d) 专业好文档 a1 b.12 c.52 d.22 7 函数f(x)xex的最小值为1e 8 已知f(x)x2mx1 在区间2，1上最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是4，2 9已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是(，2ln 22 10 求函数f(x)x33x26x10 在区间1,1上的最值 解：因为f(x)3x26x63(x1)23，所以在区间1,1上f(x

33、)0 恒成立，即函数f(x)在区间1,1上单调递增， 故当x1 时， 函数f(x)取得最小值f(1)20；当x1 时，函数f(x)取得最大值f(1)6. 11 已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37， 求a的值及f(x)在2,2上的最大值 解：f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0 或x2，当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：当x2 时，f(x)min40a37， 得a3.当x0 时，f(x)最大值为 3. 12已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cr)(1)若函数f(x)在x1 和x3 处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,

34、6时，f(x)2|c|恒成立，求c的取值范围 解：(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1 和x3 处取得极值，1,3 是方程3x22axb0 的两根 1323a13b3， a3b9.(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表： x (，1) 1 (1,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 极大值c5 极小值c27 而f(2)c2，f(6)c54， 当x2,6时，f(x)的最大值为c54， 要使f(x)2|c|恒成立，只要c542|c|即可，当c0 时，c5454；当c0 时，c542c，c18.c(，18)

35、(54，)，此即为参数c的取值范围 13已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值 解： (1)f(x)(xk1)ex.令f(x)0， 得xk1，f(x)与f(x)的变化情况如下表： x (，k1) k1 (k1，) f(x) 0 f(x) ek1 所以f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1 时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当 0k11，即 1k2 时，由(1)知f(x)在0，k1上单调递减，在(k1,1)上单调递增，所以f(x)在区间0,1

36、上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2 时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 3 3. .4 4 最大值、最小值问题最大值、最小值问题( (二二) ) 【学习要求】 1了解导数在解决实际问题中的作用 2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 【学法指导】 x 2 (2,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 0 f(x) 40a 极大值a 8a 专业好文档 1在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想 2感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力. 一基础知识回顾

37、一基础知识回顾 1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题 2解决优化问题的基本思路是 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程 二问题探究二问题探究 探究点一：面积、体积的最值问题 问题 如何利用导数解决生活中的优化问题？ 答案：函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值下结论，回扣题目，给出圆满的答案 例 1 如图所示，一边长为 48 cm

38、 的正方形铁皮，四 角各截去一个大小相同的正方形，然后折起，可 以做成一个无盖长方体容器所得容器的容积 v(单位：cm3)是关于截去的小正方形的边长x(单 位：cm)的函数 (1)随着x的变化，容积v是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解： (1)首先写出v关于x的函数解析式 根据题意可得vf(x)x(482x)2. 由实际情况可知函数的定义域为 0 x24. 根据导数公式表及求导法则，可得f(x)4x(482x)(482x)2(482x)(6x48) 12(x24)(x8)解方程v(x)0，得x18，x224. 根据x18，x224 列出下表

39、，分析导函数的符号得到函数的单调性与极值点. x (0,8) 8 (8,24) f(x) 0 vf(x) 极大值 x8 是函数的极大值点，相应极大值为 vf(8)(4816)288 192(cm2)v(482x)2x的图像如图所示当 0 x8 时，函数vf(x)是增加的；当 8x0.求导数， 得s(x)2512x2.令s(x)2512x20，解得x16(x16 舍去)于是宽为128x128168. 当x(0,16)时，s(x)0. 因此，x16 是函数s(x)的极小值点，也是最小值点所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小 答 当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时

40、，海报四周空白面积最小 探究点二：利润最大问题 例 2：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售 1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm.(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是yf(r)0.243r30.8r20.8r33r2， 0r6. 令f(r)0.8(r22r)0. 当r2 时，f(r)0. 当r(0,2)时，f(r)0. 因此，当半径r2 时，f(r)0，它表示f(r)单

41、调递增，即半径越大，利润越高；半径r2 时，f(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低半径为 2 cm 时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值半径为 6 cm 时，利润最大 跟踪训练 2：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式yax310(x6)2，其中 3x6，a为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求a的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克， 试确定销售价格x的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解：(1)因为x5 时

42、，y11，所 以a21011， 所以a2. (2)由(1)可知， 该商品每日的销售量y2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310(x6)2210(x3)(x6)2，3x6. 从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x4 是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4 时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 答 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 探究点三：费用(用材)最省问题 例 3 已知a、b两地相

43、距 200 km，一只船从a地逆水行驶到b地，水速为 8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y1kv2，当v12 时，y1720，720k122，得k5. 设全程燃料费为y，由题意yy1200v81 000v2v8，yx (3,4) 4 (4,6) f(x) 0 f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减 专业好文档 2 000v v8 1 000v2v821 000v216 000vv82.令y0，得v16，当v016，即v16 km/h 时全程燃料费最省，ymin32 000(元)；当v016，即v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数，当vv0时，ymin1 0

44、00v20v08(元)综上，当v016 时，v16 km/h 全程燃料费最省，为 32 000 元；当v016 时，即vv0时全程燃料费最省，为1 000v20v08元 跟踪训练 3： 现有一批货物由海上从a地运往b地， 已知轮船的最大航行速度为 35 海里/时，a地至b地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)，其余费用为每小时 960 元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 解：(1)依题意得y500 x(9600.

45、6x2)480 000 x300 x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，即y480 000 x300 x(0 x35)(2)由(1)知，y480 000 x2300，令y0，解得x40 或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当 0 x35 时，y0) 已知 贷款 的利率 为0.048 6， 且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为(b) a0.016 2 b0.032 4 c0.024 3 d0.048 6 解析：依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是 0.

46、048 6kx2，其中x(0,0.048 6)所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0 x0.048 6)，则y0.097 2kx3kx2. 令y0，得x0.032 4 或x0(舍去)当 0 x0；当 0.032 4x0.048 6 时，y0. 所以当x0.032 4 时，y取得最大值，即当存款利率为 0.032 4 时，银行获得最大收益 3统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y1128 000 x3380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为

47、多少升？ 解：当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)1128 000 x3380 x8 100 x11 280 x2800 x154(0 x120)，h(x)x640800 x2专业好文档 x3803640 x2(0 x120)令h(x)0，得x80. 因为x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80 时，h(x)取得极小值h(80)11.25(升)因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值答 汽车以 80 千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升 四课时小结四课时小结 1.1.

48、正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意：意：合理选择变量，正确给出函数表达式；合理选择变量，正确给出函数表达式；与实际问题相联系；与实际问题相联系；必要时注意分类讨必要时注意分类讨论思想的应用论思想的应用. . 2.2.在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的 3.3.在列函数关系式

49、时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域定义域 4.4.建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有利润收入成本；利润收入成本；利润每件产品利润每件产品的利润的利润销售件数销售件数 五作业设计五作业设计 1 炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：)为 f(x)13x3x28(0 x5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(c) a8 b.203 c1 d8 2 设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 v，那么其表面积最小时底面边长为 (c) a

50、.3v b.32v c.34v d23v 3 从边长为 10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 (c) a24 cm3 b72 cm3 c144 cm3 d288 cm3 4 用边长为 120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为 (b) a120 000 cm3 b128 000 cm3 c150 000 cm3 d158 000 cm3 5 要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则其高为 (a) a.20 33 cm b10

51、0 cm c20 cm d.203 cm 6. 如图所示，某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场，一 边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁当砌壁所用的 材料最省时，堆料场的长和宽分别为 32 米，16 米 7 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 5 千米处 8. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱如图， 污水从 a 孔流入， 经沉淀

52、后从 b 孔流出， 设箱体的长为 a 米，高为 b 米 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 平方米，问当 a6，b3_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(a，b 孔的面积忽略不计) 9. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白 的宽度为 10 cm， 两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告 的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？ 专业好文档 解：设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，y2

53、52，其中x20，y25.两栏面积之和为 2(x20)y25218 000，由此得y18 000 x2025.广告的面积sxyx(18 000 x20 25) 18 000 xx20 25x. s 18 000 x20 xx202 25 360 000 x20225.令s0 得x140， 令s0 得 20 x140.函数在(140， )上单调递增，在(20,140)上单调递减，s(x)的最小值为s(140)当x140 时，y175.即当x140，y175 时，s取得最小值为 24 500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm时，可使广告的面积最小 10某商场预计 2010 年从 1

54、 月份起前 x 个月，顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月份 x的近似关系是 p(x)12x(x1)(392x)(xn*，且 x12) 该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)1502x(xn*，且 x12)， (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式； (2)该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？ 解： (1)当x1 时，f(1)p(1)37； 当 2x12 时，f(x)p(x)p(x1)12x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x(xn n

55、*，且 2x12)验证x1 符合f(x)3x240 x，f(x)3x240 x(xn n*，且 1x12)(2)该商场预计销售该商品的月利润为g(x)(3x240 x)(1851502x)6x3185x21 400 x(xn n*,1x12)，g(x)18x2370 x1 400，令g(x)0，解得x5，x1409(舍去)当 1x0；当 5x12 时，g(x)0，当x5 时，g(x)maxg(5)3 125(元)综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元 11 一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比， 已知当速度为 20 km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小

56、时需 200 元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解： 设速度为x km/h， 甲、 乙两城距离为a km.则总费用f(x)(kx3200)axa(kx2200 x) 由已知条件，得 40k203，k1200，f(x)a(1200 x2200 x)令f(x)a x320 000100 x20，得x10320.当 0 x10320时，f(x)0；当 10320 x0.当x10320时，f(x)有最小值，即速度为 10320 km/h 时，总费用最少 12某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均

57、为半球形，按照设计要求容器的容积为803立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元 (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解：(1)设容器的容积为v，由题意知vr2l43r3，又v803，故lv43r3r2803r2专业好文档 43r43(20r2r) 由于l2r， 因此 0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r43(20r2r)34r2c，因此y4(c2)r2160r，0r2.(2)由(1)得y8

58、(c2)r160r28c2r2(r320c2)，03，所以c20.当r320c20 时，r320c2.令320c2m，则m0，所以y8c2r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，令y0，得rm.当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即 3c92时，当r(0,2时，y0，函数单调递减，所以r2 是函数y的最小值点综上所述，当 392时，建造费用最小时r320c2. 3.53.5 实际问题中导数的意义实际问题中导数的意义 【学习要求】 1和实际问题相结合，进一步理解导数的概念 2会用导数分析一些常见的生活、科学现象及术语 【学法指导】 功率、降雨强度、边际成本

59、等都是导数在实际问题中的应用模型，利用导数可以解决一些实际问题中的变化趋势问题 一一基础知识回顾基础知识回顾 1若物体运动的路程与时间的关系式是sf(t)，当 t趋近于 0 时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率f t0tf t0t趋近于常数，我们就把这个常数叫作物体在t0时刻的瞬时速度，即vs(t0) 2功率是功关于时间的导数，降雨强度是降雨量关于时间的导数 3在经济学中，边际成本是生产成本关于产量的导数. 二问题探究二问题探究 探究点一：平均变化率和瞬时变化率 问题：描述一下变化率和导数的关系 答：函数的平均变化率为yx；当 x趋于 0 时的极限limx0 yx是瞬时变化率(导数)

60、；平均变化率刻画函数在某个范围内变化的快慢，导数刻画函数在一点处变化的快慢 例 1：一物体做初速度为 0 的自由落体运动，运动方程s12gt2(g10 m/s2，位移单位：m，时间单位：s)，求： (1)物体在t0到t0t这段时间内的平均速度； (2)物体在tt0时的瞬时速度 解：(1)物体在t0到t0t这段时间内的位移增量s12g(t0t)212gt20，则平均速度vst专业好文档 12g t0t212gt20t12g(2t0t)(2)物 体在tt0时的瞬 时速度为vlimt 0 stlimt 0 12g2t0tgt0. 跟踪训练 1：试比较函数ysin x在x0 和x2处瞬时变化率的大小