一轮复习课件 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、考纲要求考情分析1.了解可以作为推理依据的公理和定理.2.理解空间直线、平面位置关系的定义.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1.从考查内容看，对本节的考查以考查点、线、面的位置关系为主，同时也考查逻辑推理能力与空间想象能力. 2.从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中，属低中档题.一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过 的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线两个点不在同一直线上有且只有一条1三个公理的作用分别是什么？提示：(

2、1)公理1的作用：判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交时的交线；证明点共线二、空间中点、线、面之间的位置关系平行关系相交关系图形语言符号语言公共点个数图形语言符号语言公共点个数直线与直线 0aba1直线与平面 0aa1平面与平面 0l无数个aba直线与直线直线与平面平面与平面特有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a公共点个数0无数个2空间中垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系？提示：可能平行、相交或异面3如果两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线

3、，这种说法对吗？提示：不对这样的两条直线也可能平行三、平行公理和等角定理1平行公理：平行于同一条直线的两条直线 2等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 平行相等或互补锐角或直角 1若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()a5部分 b6部分c7部分d8部分解析：三个平面，两两相交，交线分别是a，b，c，且abc，则，把空间分成7部分答案：c2下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合a0b1c2d3解析：只有当三点不共线时才能确定一个平面，故不正确

4、；由公理2知正确；正确；中只有当三点不共线时两平面才重合，故不正确因此正确命题的个数为2个答案：c3在空间四边形abcd的边ab、bc、cd、da上分别取e、f、g、h四点，如果ef与hg交于点m，那么()a.m一定在直线ac上bm一定在直线bd上cm可能在直线ac上，也可能在直线bd上dm既不在直线ac上，也不在直线bd上解析：平面abc平面acdac，m平面abc，m平面acd，从而mac.答案：a4平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定_个平面解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面答案：1或4解析：没有公共点的两

5、直线或平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb，又ca，则ab，这与a，b异面矛盾，故cb；命题也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由公理3可知，a，c可能确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面答案：【考向探寻】1点共线、线共点问题2点共面、线共面问题3几何体的截面问题【典例剖析】 (1)给出以下四个命题不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a、b、c、d共面，点a、b、c、e共面，则点a、b、c、d、e共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相

6、接的四条线段必共面其中正确命题的个数是a0b1c2d3(2)正方体abcda1b1c1d1中，p、q、r分别是ab、ad、b1c1的中点，那么，正方体的过p、q、r的截面图形是a三角形b四边形c五边形d六边形(1)根据平面的基本性质逐一判定即可(2)画出图形，根据过点p、q、r的平面与正方体的每个面都有交线求解解析：(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点a、b、c，但是若a、b、c共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在同一个平面上，如空间四边形答案：b(2)如

7、图所示，作rgpq交c1d1于g，延长pq与cb的延长线交于m，连接mr交bb1于e，连接pe、re.同理延长pq交cd延长线于n，连接ng交dd1于f，连接qf，fg.因此截面为六边形pqfgre.答案：d(1)判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各侧面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置【活学活用】1(1)已知三个命题：若点p不在平面内，a、b、c三点都在平面内，则p、a、b、c四点不在同一平面内；两两相

8、交的三条直线在同一平面内；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，其中正确命题的个数是()a0b1c2d3解析：当a、b、c三点都在平面内，且三点共线时，p、a、b、c四点在同一个平面内，故错误；三棱锥的三条侧棱所在的直线两两相交，但三条直线不在同一平面内，故错误；两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边形，故错误答案：a(2)如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为cc1，aa1的中点，画出平面bed1f与平面abcd的交线解：在平面aa1d1d内，延长d1f，d1f与da不平行，d1f与da必相交于一点，设为p，则pfd1，pda.又fd1平面bed1f，ad平面abcd，

9、p平面bed1f，p平面abcd.又b为平面abcd与平面bed1f的公共点，连接pb，pb即为平面bed1f与平面abcd的交线如图所示. 【考向探寻】1判断给定的位置关系2利用平行公理判定两直线平行【典例剖析】 (1)(2013杭州模拟)若直线l不平行于平面，且l ，则a内的所有直线与l异面b内不存在与l平行的直线c内存在唯一的直线与l平行d内的直线与l都相交(2)正方体ac1中，e、f分别是线段c1d、bc的中点，则直线a1b与直线ef的位置关系是a相交b异面c平行d垂直题号分析(1)根据l与相交对选项逐一判断(2)画出图形判断位置关系.解析：(1)由题意知，直线l与平面相交，则直线l与

10、平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项b正确答案：b(2)直线a1d1与直线外一点e确定的平面为a1bcd1，ef平面a1bcd1，且两直线不平行，故两直线相交答案：a解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题【活学活用】2(1)若异面直线a，b分别在平面，内，且l，则直线l()a与直线a，b都相交b至少与a，b中的一条相交c至多与a，b中的一条相交d与a，b中的一条相交，另一条平行解析

11、：若al，bl，则ab，故a，b中至少有一条与l相交，故选b.答案：b(2)在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中，逆命题为真命题的是_(把符合要求的命题的序号都填上)解析：对于可举反例，如abcd，a、b、c、d没有三点共线，但a、b、c、d共面对于由异面直线定义知正确，故填.答案：【考向探寻】1异面直线的判定2异面直线所成的角及其求法【典例剖析】 (1)(2013唐山模拟)如果两条异面直线称为“1对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线a12对b24对c36对d48对(2)在下图中，g、h、m、n分别是正三棱柱的顶点

12、或所在棱 的 中 点 ， 则 表 示 直 线 g h 、 m n 是 异 面 直 线 的 图 形 有_(填上所有正确答案的序号)(3)a是bcd平面外的一点，e，f分别是bc，ad的中点求证：直线ef与bd是异面直线；若acbd，acbd，求ef与bd所成的角 (1)先确定一条棱所对应的异面直线，再求12条棱中的异面直线，注意重复的情况(2)结合图形，根据异面直线的定义判断(3)利用反证法证明即可运用平行平移作出两异面直线所成的角，然后通过解三角形求解(2)解析：如题干图中，直线ghmn；图中，g、h、n三点共面，但m 面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn

13、共面；图中，g、m、n共面，但h 面gmn，gh与mn异面所以图、中gh与mn异面答案：(3)解：证明：假设ef与bd不是异面直线，则ef与bd共面，从而df与be共面，即ad与bc共面，所以a、b、c、d在同一平面内，这与a是bcd平面外的一点相矛盾故直线ef与bd是异面直线 如图，取cd中点g，连eg、fg.e、f分别为bc、ad的中点，egbd，fgac.feg即为异面直线bd与ef所成的角或其补角又acbd，egfg.fge为直角三角形，且fge90.(1)证明两直线为异面直线的方法定义法(不易操作)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推

14、理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面(2)求异面直线所成的角常采用“平行平移法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常用解三角形的方法进行(文)如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1、b1c1的中点问：(1)am和cn是否是异面直线？说明理由；(2)d1b和cc1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线，理由如下：连接mn、a1c1、ac.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，mna1c1.又a1ac1c，a1acc1为平行四边形，a1c1ac，mnac，a、m、

15、n、c在同一平面内，故am和cn不是异面直线(2)是异面直线，证明如下：几何体abcda1b1c1d1是正方体，b、c、c1、d1不共面假设d1b与cc1不是异面直线，则存在平面，使d1b平面，cc1平面，d1、b、c、c1，与几何体abcda1b1c1d1是正方体矛盾假设不成立，即d1b与cc1是异面直线. (12分)已知三棱锥abcd中，abcd，且直线ab与cd成60角，点m、n分别是bc、ad的中点，求直线ab和mn所成的角 (1)若mpn60，因pmab，所以pmn是ab与mn所成的角(或其补角)又因abcd，所以pmpn，则pmn是等边三角形，所以pmn60，即ab与mn所成的角为60.8分(2