高等数学课件：D3_习题课

1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期二、二、 导数应用导数应用习题课习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三章第三章 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理Lagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 Cauchy中值定理中值定理Taylor定理定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与

2、最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期常用方法常用方法题型题型I(1) 中值定理及其推论中值定理及其推论等式证明等式证明(2) Taylor公式公式高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期常用方法常用方法题型题型II(1) 中值定理中值定理不等式证明不等式证明(2) Taylor公式、公式、Maclaurin公式公式(3) 单调性单调性(4) 凹凸性凹凸性(5

3、) 最值最值高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期 方法：方法：题型题型III方程根的存在性方程根的存在性方程方程 f(x)=0 根的研究根的研究(1) 零点定理零点定理(2) Rolle中值定理中值定理作辅助函数作辅助函数 F(x)=f(x)对对 F(x)用用Rolle中值定理中值定理 方法：方法：方程根的唯一性方程根的唯一性(1) 单调性单调性(2) Rolle中值定理及反证法中值定理及反证法高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用利用逆向思维逆向思维 ,

4、设辅助函数设辅助函数.(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在 ,多多用罗尔定理用罗尔定理,可从结论中找辅助函数可从结论中找辅助函数 .(2) 若结论中涉及到含中值的两个不同若结论中涉及到含中值的两个不同 函数函数 ,可考虑用柯西中值定理可考虑用柯西中值定理 .(3) 若结论中含两个或两个以上的中若结论中含两个或两个以上的中 值值 ,必须多次应用中值定理必须多次应用中值定理 .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法(4) 若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用多

5、考虑用 泰勒公式泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中有时也可考虑对导数用中 值定理值定理 .(5) 若结论为不等式若结论为不等式 , 要注意适当要注意适当放大放大或或 缩小缩小的技巧的技巧.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期例例1 证明方程证明方程cbacxbxax 23423在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根分析分析: : 如令如令)(234)(23cbacxbxaxxf 则则f(0)、f(1)的符号不易判别的符号不易判别不便使用零点定理不便使用零点定理用用 Rolle 定理来证定理来证二、典型例题二、典型例题高等数学高等数学 化学化学1

6、41、142 20142015学年学年第一学期第一学期证证令令xcbacxbxaxxf)()(234 则则内可导内可导上连续，上连续，在在)1 , 0(1 , 0)(xf且且0) 1 () 0( ff故由故由 Rolle 定理知定理知0)()1 , 0( f使使即即32432abcabc在在(0,1)内有一实根内有一实根例例1 证明方程证明方程在在(0,1)内至少有一实根内至少有一实根cbacxbxax 23423高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期例例20)()(), 0(, 0)(), 0(, 0)( ffaafaaxf使使证证明明且且内内可可

7、导导，上上连连续续，在在在在已已知知证证)()(xxfxF 记记上上在在则则, 0)(axF满足满足Rolle 定理的条件定理的条件0)(), 0( Fa 使使0)()(), 0( ffa 使使高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期lnln()ln,(0,0,).2xyxxyyxyxyxy 例例3 证明不等式证明不等式证证( )ln (0)f ttt t令令( )ln1,ftt , 01)( ttf( )ln( , )( , ),0,0f tttx yy xxy 在在或或是是凹凹的的1 ( )( )()22xyf xf yf 于于是是1 lnln l

8、n222xyxyxxyy即即lnln()ln2xyxxyyxy 即即则则高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期( )( )ababff证证10 baa由介值定理由介值定理( ),afab 使使得得(0,1), 存存在在( )0, , ,1,f x 在在上上用用拉拉氏氏中中值值定定理理 有有例例4. 设设在在(0,1)内可导内可导, 且且f(x)在在0,1上连续上连续, f(0)=0, f(1)=1,试证：对任意给定的正数试证：对任意给定的正数a,b在在(0,1)内存在不同的内存在不同的、, 使使因为因为a,b为正数，所以为正数，所以又又f(x)在在0

9、,1上连续上连续, f(0)=0, f(1)=1,总习题三总习题三.5.5高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff(1)(2), 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由(1),(2)有有)()(1bafbbafa )( fbaa (3)(4)()(11 ff )( fbab (3)+ (4),得得)()( ff .)()(bafbfa 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期例例9 设函数设函数 f (x) 在在0, 3 上连续

10、上连续, 在在(0, 3)(0)(1)(2)3,(3)1,ffff(0,3), 使使( )0f 分析分析: 所给条件可写为所给条件可写为(0)(1)(2)1,(3)13ffff(03考研考研) 试证必存在试证必存在 想到找一点想到找一点 c , 使使(0)(1)(2)( )3ffff c 内可导内可导, 且且 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期证证: 因因 f (x) 在在0, 3上连续上连续, 所以在所以在0, 2上连续上连续, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故(0),(1),(2)mfffM(0)(1)(

11、2)3fffmM由由介值定理介值定理, 至少存在一点至少存在一点 0,2,c 使使(0)(1)(2)( )3ffff c 1 ( )(3)1,f cf由由罗尔定理罗尔定理知知, 必存在必存在 ( , 3)(0, 3),( )0cf 使使且且 f (x) 在在c, 3上连续上连续, (c , 3)内可导内可导高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年学年第一学期第一学期1. 设设( )yf x 是方程是方程240yyy的一个解的一个解,若若0( ) 0,f x 且且 0( ) 0,f x 则则f(x)在在x0 ( )(A) 取得极大值取得极大值 ;(B) 取得极小值取得极小值 ;(C) 的某邻域内单调增加的某邻域内单调增加 ;(D) 的某邻域内单调减少的某邻域内单调减少 .提示提示: 将将( ),f x 代代入入方方程程00()4 ()0fxf x A0,xx 令令得得思考与练习思考与练习高等数学高等数学 化学化学141、14