最新材料力学弯曲变形

1、11.1与材料的性能有关，材料不同，与材料的性能有关，材料不同，1的数的数 值也就不同；值也就不同；越大，杆件越容易弯曲。越大，杆件越容易弯曲。2. 满足满足1条件的杆件称为条件的杆件称为细长杆细长杆或或大柔度杆大柔度杆；也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧也叫大柔度杆的分界条件。其临界应力可用欧拉公式计算。拉公式计算。3. 越大杆件越容易弯曲。越大杆件越容易弯曲。解题步骤：解题步骤：1）由截面形状确定最大、最小刚度平面）由截面形状确定最大、最小刚度平面2）计算柔度，判断欧拉公式是否适用）计算柔度，判断欧拉公式是否适用3）计算临界压力和临界应力）计算临界压力和临界应力2例例1 1 钢质细长

2、杆钢质细长杆( (1) )，两端铰支，长，两端铰支，长l=1.5m，横截，横截面是矩形截面，面是矩形截面，h=50 mm，b=30 mm，材料是，材料是a3钢，钢，弹性模量弹性模量e=200gpa；求临界力和临界应力。；求临界力和临界应力。解：解：(a) 判断发生弯曲的方向。判断发生弯曲的方向。 由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易由于杆截面是矩形，杆在不同方向弯曲的难易程度不同，即：程度不同，即：zyii 当约束条件相同的情况下，绕当约束条件相同的情况下，绕y轴的弯曲比绕轴的弯曲比绕z轴轴来的容易；压杆最易在来的容易；压杆最易在xz平面内平面内( (最小刚度平面最小刚度平面) )发发生弯

3、曲。生弯曲。ybhzyplxz3(b) 判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆判断欧拉公式的适用范围。因为是细长杆1所以可用欧拉公式所以可用欧拉公式knlehbleipycr7 .985 .11203.005.01020012229223222mpaapcrcr9 .6503. 005. 0107 .983(c) 计算临界压力。由欧拉公式计算临界压力。由欧拉公式(d) 计算临界应力。计算临界应力。 对对a3钢钢 p200mpa，细长压杆在失稳时，强，细长压杆在失稳时，强度还是有余的；度还是有余的； 4例例2 木柱长木柱长l =7m，横截面是矩形，横截面是矩形，h=200 mm，b=120 mm；

4、当它；当它在在xz平面平面(最小刚度平面最小刚度平面)内弯曲时，两端视为固定内弯曲时，两端视为固定(=1/2) ；当它；当它在在xy平面平面(最大刚度平面最大刚度平面)内弯曲时，两端视为铰支内弯曲时，两端视为铰支(=1) ；木材的；木材的弹性模量弹性模量e=10gpa，1=59；求临界力和临界应力。；求临界力和临界应力。解解: (a) 求在求在xz平面内弯曲时的平面内弯曲时的 柔度，柔度，两端固定两端固定=0.5bhzyyxz1y8 .10043.143125 . 01212113lblblilbhbhbaiiyyyyy51.12132.17321211212123lhlhlilhhbbhai

5、izzzzyz(b) 求在求在xy平面内弯曲时的柔度，平面内弯曲时的柔度，两端铰支两端铰支=1(c) 判断杆件易在哪个平面内弯曲判断杆件易在哪个平面内弯曲所以易在所以易在xy平面内平面内( (最大刚度平面内最大刚度平面内) )发生弯曲。发生弯曲。说明绕说明绕z轴的弯曲比绕轴的弯曲比绕y更容易。更容易。bhzyyxz61zknapmpaecrcrzcr16173.622(d) 判断欧拉公式的适用范围判断欧拉公式的适用范围所以为大柔度杆，可用欧拉公式。所以为大柔度杆，可用欧拉公式。(e) 求临界力和临界应力求临界力和临界应力710.4.3 10.4.3 临界应力总图临界应力总图( (各类压杆临界应

6、力的计算各类压杆临界应力的计算) )总结：对于总结：对于2的小柔度杆，应按强度问题计算，图的小柔度杆，应按强度问题计算，图中中ab线；对于线；对于1的大柔度杆，可按欧拉公式计算临的大柔度杆，可按欧拉公式计算临界应力，图中界应力，图中cd曲线；对于曲线；对于2 1的中柔度杆，应按的中柔度杆，应按经验公式计算临界应力，图中经验公式计算临界应力，图中bc线。线。ilcr bacrp s ppe21bas222 ecr dcscr ba小小柔柔度度杆杆中中柔柔度度杆杆大大柔柔度度杆杆8例例10.3 两端铰支的压杆，长两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径，横截面直径d=50 mm，材料是材料是q

7、235钢钢(a=304mpa, b=1.12mpa, b=372, s=235)，弹，弹性模量性模量e=200 gpa，p =190 mpa；求压杆的临界力；如果：；求压杆的临界力；如果：(1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用优质碳钢，材料选用优质碳钢(s=306) ；压杆的；压杆的临界力变为多大临界力变为多大? (2)判别压杆的性质并计算临界力判别压杆的性质并计算临界力: 解：解：(1)计算压杆的柔度计算压杆的柔度44164124dddaii1204dlilpppe102219(a)当当l1=0.75l 时，时，=0.75120=90 ，而，而 压杆是中柔度杆，选用经验公

8、式计算临界力压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力:压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力；压杆是大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力；kn26922aeapcrcr6212. 12353042bas12kn399)(abaapcrcr10(b)当当l2=0.5l时，时，=0.5120=60 ，而，而 压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；4 .60568. 23064612bas2kn60005. 0413062apscr11习题习题10.6. 三根圆截面压杆，直径均为三根圆截面压杆，直径均为d=160 mm材料为材料为q235钢，钢，e=200 gpa，p

9、=200 mpa，s=240 mpa。三杆均为两。三杆均为两端铰支，长度分别为端铰支，长度分别为l1、l2和和l3，且，且l1=2l2=4l3=5m。试求各杆。试求各杆的临界压力的临界压力pcr。 解：解：(1) 求柔度极限值求柔度极限值 查表得查表得q235钢：钢：a = 304mpa, b = 1.12mpa 5712. 12403043 .99102001020026921baesp(2) 判断柔度，求各杆的临界压力判断柔度，求各杆的临界压力pcr1杆：杆： 1111254/16. 051il可用欧拉公式可用欧拉公式 mdimdi04. 041022. 364454knleipcr254

10、2)51 (1022. 310200)(2592221122杆：杆： 1221121225 .625 . 0llilmpabacr2345 .6212. 13042用経験公式knapcrcr470516. 041102342623杆：杆： 2311313325.3125. 0llil应按强度问题计算应按强度问题计算 scrknapscr482516. 04110240263属于中柔度杆属于中柔度杆 13 能够保持压杆在微小弯曲的状态下平衡的最小轴能够保持压杆在微小弯曲的状态下平衡的最小轴向压力称为向压力称为临界压力临界压力。 所以，对细长压杆而言，讨论其稳定性的关键就所以，对细长压杆而言，讨论

11、其稳定性的关键就是求出它的临界压力或临界压应力。是求出它的临界压力或临界压应力。 对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。将对于不同柔度的压杆总可算出它的临界应力。将临界应力乘以压杆横截面面积，就可以得到临界压临界应力乘以压杆横截面面积，就可以得到临界压力。而临界压力是由压杆的整体变形所确定的，局力。而临界压力是由压杆的整体变形所确定的，局部削弱部削弱(如螺钉孔等如螺钉孔等)对杆件整体变形影响很小；故对杆件整体变形影响很小；故无论是用欧拉公式还是经验公式计算时，都可采用无论是用欧拉公式还是经验公式计算时，都可采用未削弱的截面面积和惯性矩。未削弱的截面面积和惯性矩。14压杆稳定计算压杆稳定计算1

12、）根据压杆的约束条件确定长度系数）根据压杆的约束条件确定长度系数2）计算杆件自身的柔度）计算杆件自身的柔度(10.7)，判断发生弯曲的平面，判断发生弯曲的平面 （也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面）（也可由惯性矩来判断最大、最小刚度平面）3）通过比较）通过比较的大小，判断计算临界压力的公式的大小，判断计算临界压力的公式 22leicr ps p scr作为强度问题计算作为强度问题计算bas2或stcrnppnstap4）由压杆稳定条件确定载荷或杆件尺寸由压杆稳定条件确定载荷或杆件尺寸22 cr 或或p p用用(10.9)(10.9)bacrs s用用(10.12)(10.12)15例例10.

13、4 图示结构中，图示结构中，ab为圆截面杆，直径为圆截面杆，直径d=80 mm，a端固端固定，定，b端铰支；端铰支；bc是正方形截面杆，边长是正方形截面杆，边长a=70 mm，c端也为端也为铰支；铰支；ab和和bc杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的杆可以独自发生弯曲变形而互不影响；两杆的材料是材料是a3钢，其钢，其p=104 ，l=3 m，稳定安全系数，稳定安全系数nst=2.5 ；求；求结构的许可载荷结构的许可载荷p。解：解：(1)计算计算ab和和bc杆的柔度杆的柔度ab为一端铰支他端固定，为一端铰支他端固定，bc为两端铰支；故柔度不同。应为两端铰支；故柔度不同。应选择柔度大，临界压力

14、小的杆选择柔度大，临界压力小的杆件计算。件计算。5 .15708. 05 . 47 . 04415 . 407dilabababab14803. 031121231ailbcbcbcbc16(2)比较和确定计算的压杆比较和确定计算的压杆 因为因为abbc，所以，所以ab杆的稳定性比杆的稳定性比bc杆差，选杆差，选ab杆计算；杆计算；(3)稳定性计算：稳定性计算： abp ，ab是细长压杆；是细长压杆； stcrcrnpdepappn4222knpnedpst1605 . 25 .157408. 010200429322317问题问题1. 细长杆细长杆ab受轴向压力受轴向压力p作用，设杆的临界力

15、作用，设杆的临界力为为pcr，则下列结论中，则下列结论中_是正确的。是正确的。 a. 仅当仅当ppcr时，杆时，杆ab不可能保持平衡；不可能保持平衡； 错误；杆件保持曲线平衡错误；杆件保持曲线平衡d. 为保证杆为保证杆ab处于稳定平衡状态，应使处于稳定平衡状态，应使 ppcr； 错误；失去稳定也是一种平衡状态错误；失去稳定也是一种平衡状态18问题问题2. 两根细长压杆如图示，杆两根细长压杆如图示，杆1为正方形截面，为正方形截面，杆杆2为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横截面积相同，若其临界载荷分别用截面积相同，若其临界载荷分别用pcr和和p”cr表表示，

16、则下列结论中示，则下列结论中_是正确的。是正确的。 apcrp”cr； bpcr=p”cr； cpcrp；pp； p值完全取决于杆值完全取决于杆ef的稳定性；的稳定性； p值完全取决于杆值完全取决于杆cd的稳定性；的稳定性；解答解答: 、 、；两根压杆中稳定性最差的是；两根压杆中稳定性最差的是ef； 其所受的压力远大于其所受的压力远大于cd杆杆20习题习题10.4. 图示蒸汽机活塞杆图示蒸汽机活塞杆ab所受压力为所受压力为p=120 kn，l=1.8 m，截面为圆形，截面为圆形d=75 mm。材料为。材料为q275钢，钢，e=210 gpa，s=240 mp。规定。规定nst=8。试校核活塞杆

17、的稳定性。试校核活塞杆的稳定性。 解：解：(1) 求柔度极限值求柔度极限值 并判断杆件的类型并判断杆件的类型 9 .921024010210691pe压杆的柔度：压杆的柔度： 1964/075. 08 . 11il压杆是大柔度压杆是大柔度 (2) 压杆的临界压力压杆的临界压力 464410553. 164075. 064mdiknleipcr993)8 . 11 (10553. 110210)(269222(3) 压杆的稳定性压杆的稳定性 stcrnppn275. 8120993故稳定故稳定21习题习题10.9 有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度

18、为l=2.5 m，外径外径30 mm，内径为，内径为22 mm，e=210 gpa，p=240mpa。在支架。在支架的顶点三杆铰接。若取的顶点三杆铰接。若取nst=3，试校许可的载荷，试校许可的载荷p。 1201202mp所以压杆为细长杆，欧拉公式适用所以压杆为细长杆，欧拉公式适用 解：解：(1) 求柔度极限值并判断杆件的类型求柔度极限值并判断杆件的类型 由于支架的对称性，可取其中任意由于支架的对称性，可取其中任意 一根杆来研究。设其所受压力为一根杆来研究。设其所受压力为f 9 .92240102103221pemmddddddaii3 . 94)(41)(64122224418 .2689

19、.9225001il22习题习题10.9 有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度有三根钢管构成的支架如图所示。钢管的长度为为l=2.5 m，外径，外径30 mm，内径为，内径为22 mm，e=210 gpa，在支架的顶点三杆铰接。若取在支架的顶点三杆铰接。若取nst=3，试求许可载荷试求许可载荷p。 于是有于是有 knleifcr37. 964)25001 ()2230(1021014. 3)(24432221201202mpknfp5 . 7543knnffstcr12. 3故许可载荷为故许可载荷为7.5kn 7.5kn 23习题习题10.10 在图示铰接杆系中，在图示铰接杆系中，ab和和

20、bc皆为细长压杆，且截皆为细长压杆，且截面相同，材料一样。若杆系因在面相同，材料一样。若杆系因在abc平面内丧失稳定而同时失平面内丧失稳定而同时失效，并规定效，并规定0 iz也可判断也可判断)并且欧拉公式并且欧拉公式不适合不适合，需用经验公式。，需用经验公式。习题习题10.12 蒸汽机车的连杆如图所示。截面蒸汽机车的连杆如图所示。截面 为工字形，材料为工字形，材料为为q235钢，钢， 1=100，连杆承受的最大轴向压力为，连杆承受的最大轴向压力为465 kn。连。连杆在摆动平面（杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的而在与

21、摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。固定支座。试确定其工作安全系数。26x习题习题10.12 蒸汽机车的连杆如图所示。截面蒸汽机车的连杆如图所示。截面 为工字形，材料为工字形，材料为为q235钢，钢， 1=100，连杆承受的最大轴向压力为，连杆承受的最大轴向压力为465 kn。连。连杆在摆动平面（杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。固

22、定支座。试确定其工作安全系数。对于对于q235钢，钢， mpampabmpaas23512. 1304100626 .616 .6112. 1235304122xzsba连杆为中柔度杆，应用直线公式计算压力连杆为中柔度杆，应用直线公式计算压力knabaapxzcrcr6 .15171047. 610)6212. 1304()(3626. 34656 .1517maxppncr工作安全系数为：工作安全系数为： 27习题习题10.15 某厂自制简易起重机如图所示。压杆某厂自制简易起重机如图所示。压杆bd为为20号槽号槽钢，材料为钢，材料为q235钢，钢， 1=100， 2=62。起重机的最大起重量

23、。起重机的最大起重量p=40kn。若规定。若规定nst=5，试校核，试校核bd杆的稳定性。杆的稳定性。解：解：（1）受力分析）受力分析 (铰支座处无弯矩铰支座处无弯矩) 以梁以梁ac为研究对象，由静力平衡为研究对象，由静力平衡 方程可求得方程可求得knradpabrmbdbda7 .106030sin0（2）bd压杆的柔度压杆的柔度 查型钢表，查型钢表，20号槽钢：号槽钢：42144,09. 2,837.32cmicmicmayymlbd732. 130cos/5 . 1, 1杆為中長杆bdilybd12287.821009. 2732. 1128knabaapxzcrbdcr5 .69310837.3210)87.8212. 1304()(46（3 3）计算临界压力）计算临界压力 习题习题10.15 某厂自制简易起重机如图所示。压杆某厂自制简易起重机如图所示。压杆bd为为20号槽号槽钢，材料为钢，材料为q235钢，钢， 1=100， 2=62。起重机的最大起重量。起重机的最大起重量p=40kn。若规定。若规定nst=5，试校核，试校核bd杆的稳定性。杆的稳定性。（4 4）稳定性校核）稳定性校