高考数学 25个必考点 专题21 抛物线检测

1、专题21 抛物线 一、基础过关题1.（2018全国卷iii）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【答案】【解析】依题意得，抛物线的焦点为，故可设直线，联立消去得，设，则，.又，.2(2017·昆明调研)已知抛物线c的顶点是原点o，焦点f在x轴的正半轴上，经过f的直线与抛物线c交于a、b两点，如果·12，那么抛物线c的方程为( )ax28y bx24ycy28x dy24x【答案】 c 3已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点，若线段ab的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )ax1 bx1 cx2 d

2、x2【答案】 b【解析】 y22px(p>0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.4已知抛物线y22px(p>0)的焦点弦ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则的值一定等于( )a4 b4 cp2 dp2【答案】 a 5.如图，过抛物线y22px(p>0)的焦点f的直线交抛物线于点a、b，交其准线l于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线的方程为( ) a

3、y29xby26xcy23xdy2x【答案】 c【解析】 如图，分别过a、b作aa1l于a1，bb1l于b1， 6抛物线y24x的焦点为f，点p(x，y)为该抛物线上的动点，若点a(1,0)，则的最小值是( )a. b. c. d.【答案】 b【解析】 抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过p作pn垂直直线x1于n，由抛物线的定义可知|pf|pn|，连接pa，在rtpan中，sinpan，当最小时，sinpan最小，即pan最小，即paf最大，此时，pa为抛物线的切线，设pa的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k±1，所以paf

4、npa45°，cosnpa，故选b. 7设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30°的直线交c于a，b两点，则|ab|_.【答案】 12 8已知抛物线c：y22px(p>0)的准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于点a，与c的一个交点为b，若，则p_.【答案】 2【解析】 如图， 由ab的斜率为，知60°，又，m为ab的中点过点b作bp垂直准线l于点p，则abp60°，bap30°，|bp|ab|bm|.m为焦点，即1，p2.9已知椭圆e的中心在坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线c：y28x的焦点重合，a，b是c的准

5、线与e的两个交点，则|ab|_.【答案】 6【解析】 抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.设椭圆方程为1(a>b>0)，由题意，c2，可得a4，b216412.故椭圆方程为1.把x2代入椭圆方程，解得y±3.从而|ab|6. 10(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)(x1<x2)两点，且|ab|9.(1)求该抛物线的方程为y28x；(2)o为坐标原点，c为抛物线上一点，若，求的值【答案】(1)该抛物线的方程；(2) 0或2. 二、能力提高题1(2016&

6、#183;上饶四校联考)设抛物线c：y23px(p>0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则抛物线c的方程为( )ay24x或y28x by22x或y28xcy24x或y216x dy22x或y216x【答案】 c 2.设直线l与抛物线y24x相交于a，b两点，与圆(x5)2y2r2(r>0)相切于点m，且m为线段ab的中点若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_【答案】 (2,4)【解析】 如图，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必

7、有两条 3设p，q是抛物线y22px(p>0)上相异两点，p，q到y轴的距离的积为4，且·0. (1)求该抛物线的标准方程；(2)过点q的直线与抛物线的另一交点为r，与x轴的交点为t，且q为线段rt的中点，试求弦pr长度的最小值【答案】(1)该抛物线的方程为y22x；(2) |pr|最小值为4.【解析】(1)设p(x1，y1)，q(x2，y2)，·0，则x1x2y1y20.又点p，q在抛物线上，y2px1，y2px2，代入得1·2y1y20，y1y24p2，|x1x2|4p2.又|x1x2|4，4p24，p1，抛物线的标准方程为y22x.(2)设直线pq过点

8、e(a,0)且方程为xmya，联立方程组消去x得y22my2a0，设直线pr与x轴交于点m(b,0)，则可设直线pr的方程为xnyb，并设r(x3，y3)，同理可知，由可得.由题意得，q为线段rt的中点，y32y2，b2a.又由(1)知，y1y24，代入，可得2a4，a2，b4，y1y38，|pr|y1y3|·2·4.当n0，即直线pr垂直于x轴时，|pr|取最小值4.4.如图，由部分抛物线：y2mx1(m>0，x0)和半圆x2y2r2(x0)所组成的曲线称为“黄金抛物线c”，若“黄金抛物线c”经过点(3,2)和(，) (1)求“黄金抛物线c”的方程；(2)设p(0,

9、1)和q(0，1)，过点p作直线l与“黄金抛物线c”相交于a，p，b三点，问是否存在这样的直线l，使得qp平分aqb？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【答案】(1) 黄金抛物线c的方程为y2x1(x0)和x2y21(x0)；(2) 存在直线l：y(1)x1，使得qp平分aqb. (2)假设存在这样的直线l，使得qp平分aqb，显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l：ykx1，联立消去y，得k2x2(2k1)x0，xb，yb，即b(，)，kbq，联立消去y，得(k21)x22kx0，xa，ya，即a(，)，kaq，qp平分aqb，kaqkbq0，0，解得k1±，由图形可得k

10、1应舍去，k1，存在直线l：y(1)x1，使得qp平分aqb.5. （2018高考北京卷19）已知抛物线c：=2px经过点（1，2）过点q（0，1）的直线l与抛物线c有两个不同的交点a，b，且直线pa交y轴于m，直线pb交y轴于n（）求直线l的斜率的取值范围；（）设o为原点，求证：为定值 （）设a（x1，y1），b（x2，y2）由（i）知，直线pa的方程为y2=令x=0，得点m的纵坐标为同理得点n的纵坐标为由，得，所以所以为定值 6（2018高考浙江卷21）如图，已知点p是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线c：y2=4x上存在不同的两点a，b满足pa，pb的中点均在c上 （）设ab中点为m，证明：pm垂直于y轴；（）若p是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求pab面积的取值范围 （）由（）可知所以，因此，的面积因为，所以因此，面积的取值范围是点评本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。6edbc3191f2351dd815ff33d44