勾股定理知识总结及练习

1、勾股定理知识总结一、知识要点回顾1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。公式的变形：2 2 2 2 2 2a = c - b ， b = c -a 。2、勾股定理的逆定理如果三角形 ABC的三边长分别是 a， b， c ，且满足 a2 + b2= c 2，那么三角形 ABC 是直 角三角形。 这个定理叫做勾股定理的逆定理 . 该定理在应用时， 同学们要注意处理好如下几 个要点：、已知的条件：某三角形的三条边的长度 . 、满足的条件：最大边的平方 =最小边的平方 +中间边的

2、平方 .、得到的结论： 这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 .、如果不满足条件( 2)，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股定理的应用利用勾股定理已知两边求第三边 利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形 利用勾股定理列方程求线段长构造直角三角形利用勾股定理解决问题1、利用勾股定理已知两边求第三边(1) 在 ABC中，C=90°若 a 7 ，c=4，则 b=；(2)在 Rt ABC，B=90°， a=3， b=4，则 c=。(3)在 Rt ABC， C=90°， c=25， a ：b=3：4，则 a=，b=(4) 在 ABC中，若 A=30&

3、#176;， BC=2，则 AB=， AC=。( 5)直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和 4，则它斜边上的高为 2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形( 1)下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )A1.5，2，3 B. 8，15，17 C 6，8，10D. 3，4，52(2). 若 ABC的三边满足 (b+ c)(b- c)- a2 = 0则下列结论正确的是 ( )A. ABC是直角三角形 ,且 C为直角B. ABC是直角三角形 , 且 A为直角C. ABC是直角三角形 , 且 B 为直角 D. ABC不是直角三角形 .AD3)如图， AD BC，垂足为 D，

4、如果 CD=1，AD=2，BD=4，试判断 ABC的形状， 并说明理由。3、利用勾股定理列方程求线段长1）已知，如图、 ACB=90°， AD=BD,AB=5cm,AC=3cm 求 BD的长（2）如下图，折叠长方形 （ 四个角都是直角，对边相等 ） 的一边 AD，点 D 落 在 BC边的点 F 处，已知 AB8cm，AD 10cm，求 EC的长4、构造直角三角形利用勾股定理解决问题2）已知：如图， B=D=90°， A=60°， AB=4，CD=2。 求：四边形 ABCD的面积。二、考点剖析1、应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高BC例 1、（20XX年湖南长沙

5、）如图 1 所示，等腰 中， ， 是底边上的高，若 ，则 cm 2、应用勾股定理在三角形中求边长例 2、（ 20XX年滨州）如图 2，已知 ABC中， AB17，AC 10，BC边上的高AD 8，则边 BC的长为（）A21B 15C6D以上答案都不对（1）在 ABC中， B 450，AB 2 ， BAC1050，求 ABC的面积。3、应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例 3、（ 20XX年滨州）某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米， ，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应4、应用勾股定理解决梯子问题例 4、（ 20XX年安徽）长为 4m的梯子搭在墙上与地面成 45

6、6;角，作业时调整为 60° 角，如图 4 所示，则梯子的顶端沿墙面升高了m用勾股定理解决勾股树问题例 5、（20XX 年达州 ） 如图 6 所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方 形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D 的边长分别是 3、5、2、 3，则最大正方形 E 的面积是：A13B 26C47D941图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形 1 开始，以它的一边为斜边，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和 2，依次类推，若正方形 7 的边长为 1cm，则正方形 1 的边长为 cm.在直线 l 上依次摆放着七个正方形

7、 （如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1 、 2 、 3 ， 正 放 置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是 S1、S2 、S3 、S4，则S1 S2 S3 S4 =6、应用勾股定理解决阴影面积问题例 6、（ 20XX年宜宾）已知：如图 7 所示，以 RtABC的三边为斜边分别向外作等腰 直角三角形若斜边 AB3, 则图中阴影部分的面积 为7、应用勾股定理解决数学风车问题10 所示， 某港口 P 位于东西“远航号”和“海天号”两艘轮船同时从港口离开，各自沿着一个固定 16海里，“海天号”每小时航行12 海里，它们离开30 海里，如果知道“远航号”的航行方向是东北方

8、向，你能例 9 、如图 方向的海岸线上， 的方向航行。“远航号”每小时航行 港口一个半小时后，两船相距 知道“海天号”勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地到达 B 点，然后再沿北偏西 30°方向走了是沿着哪个方向航行吗 ？A 点出发，沿北偏东 60°方向走了500m到达目的地 C 点。1）2）求 A、 C 两点之间的距离。 确定目的地 C在营地 A 的什么方向。，其外形高 2.5 某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的例 7、 （20XX 年安顺 ） 图甲是我国古代著名

9、的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等 的直角三角形围成的。在 Rt ABC中，若直角边 AC 6， BC 5，将四个直角三角形中边长 为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长 （图乙中的实线）是2 如图，公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN30°，点 A 处有一所中学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上举一反三 【 变式园，有极少数人为了避步路（假设沿 PN 方向行驶时， 学校是否会受到噪声影响？请说明理由， 如果受影响， 已知拖拉机的速 度为 18km/h ，那么学

10、校受影响的时间为多少秒？1】如图学校有一块长方形花开拐角而走“捷径” ，在花园内走出了一条“路” 。他们仅仅少走了2 步为 1m），却踩伤了花草。【 变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边 长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（ 2）图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（ 3）求出图中线段 AC的长（可作辅助线）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的 现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有 四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一 条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最 省电线【变式】如图， 一圆柱体的底面周 长为 20cm，高 为 4cm，是上 底面的直径一只 蚂蚁从点 A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试