北京市东城区高三二模数学理试题_含答案解析

1、北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习(二)高三数学(理科)学校班级姓名本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)、选择题(共8小题,每小题共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)(1)sin(A)(B)1(C)一2(D)(2)log 4log14b,c的大小关系是(3)(4)(5)(6)(7)(A)(8)(9) c b(10) cab已知%为各项都是正数的等比数列，若(A) 4(B) 8a4a84 ,则 a5 a6a7(C)16(D)64甲、乙两

2、名同学 8次数学测验成绩如茎叶图所示,X1,X2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数,(A)(B)(C)(D)已知(A)(C)X1XiXiX1S1, S2分别表示甲、乙两名同学 8次数学测验成绩的标准差,则有X2X2X2X2S1S2SiSiSiS2S2S2q是简单命题，那么充分而不必要条件充分必要条件若实数(A)定义在x,y满足不等式组1,3q是真命题”是“ p是真命题”的(B)(D)必要而不充分条件既不充分也不必要条件3yy1,0,2|x|y的取值范围是(B) 1,11(C)1,3(D)1,11R上的函数f(x)满足f(x 6)f (x).当 X3, 1)时,f(x)(X2)2，当

3、 x 1,3)时，f(x) x ,则 f (1) f(2) f (3) m f (2015)(A) 336(B) 355(C)1676(D)2015(8)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定a。 a1，几h°a2,原信息为a0a1a2 ,其中ai 0,1 (i 0,1,2),传输信息为卜0202e2、，h0运算规则为：0 0 0,01 1, 1 01,1 1 0 .例如原信息为111,则传输信息为01111 .传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是(A) 11010(B) 01100(C) 10111

4、(D) 00011第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若（Jx l）n的二项展开式中各项的二项式系数的和是64 ,则nx,展开式中的常数项（10）已知正数x,y满足x y xy,那么xy的最小值为x 12t,（11）若直线（t为参数）与曲线y 3 2t4 a cos ,（为参数，a 0）有且只有一个公共点, asin22(12)若双曲线冬冬1(a 0,ba b0）截抛物线2y 4x的准线所得线段长为 b,则a（13）已知非零向量a,b满足|b| 1a与b a的夹角为120：,则|a |的取值范围是（14）如图，平面中两条直线11和12相交于点O,对于

5、平面上任意一点M ,若p,q分别是M到直线11和12的距离，则称有序非负实数对 （p,q）是点M的“距离坐标”.给出下列四个命题:q 0 ,则“距离坐标”为pq0 ,且p q 0 ,则“距离坐标”为（p, q）的点有且仅有2个.pq0,则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有4个.q,则点M的轨迹是一条过。点的直线.其中所有正确命题的序号为 三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题共13分）22sin 2x 2sin x已知函数f (x)sin x（I ）求f （x）的定义域及其最大值;（n）求f（x）在（0,上的单调递增区间.（16）（本小题共1

6、3分）某校高一年级开设 A, B, C, D, E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同 学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选 三门课程.(I)求甲同学选中 C课程且乙同学未选中 C课程的概率;(n)用X表示甲、乙、丙选中 C课程的人数之和，求 X的分布列和数学期望.(17)(本小题共14分)如图，三棱柱ABC DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC侧面 ADEB , AB4,DEB 60：(I)求证:CE /平面 AGF ;(n)求证:GB 平面 BEFC ;(m)在线段BC上是否存在一点 P,使二面角P G

7、E B为45。，若存在，求明理由.(18)(本小题共13分)已知函数f(x)(I)r2,当a e时，求f (x)在区间1,3上的最小值;(n)求证：存在实数Xo 3,3,有 f(x。)a.BP的长；若不存在,说(19)(本小题共13分)已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上，离心率为且椭圆C上的点到两个焦点的距离之(I)求椭圆C的方程;(n)设A为椭圆C的左顶点,过点A的直线l与椭圆交于点与y轴交于点Nl平行的直线与椭圆交于点 P.证明:2| AM | | AN | 2|OP |2 .(20)(本小题共14分)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1a(a 3) , an 1Sn3n，设 bn

8、Sn 3n,(I)求证：数列bn是等比数歹U；(n)若 an 1n N ,求实数a的最小值;(出)当a4时，给出一个新数列en,其中en3, n 1,设这个新数列的前 nbn, n 2.项和为Cn若Cn可以写成tp (t, p N 且t 1,p 1)的形式,则称。为“指数型和”.问Cn中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习(二)高三数学参考答案及评分标准(理科)、选择题(本大题共 8小题，每小题5分，共40分)(1) C (2) D (3) B(4) B(5) D (6) D(7) A(8) C-23

9、231(1)斛：C sin( ) sin(4 ) sin ，故选 C666 2(2)解：D -0 a log41,b 10gl 0,c4 1, cab,故选 d4(3)解：已知an为各项都是正数的等比数列，a4 a8 4l a4 % a62 4 ,即 a6 2,所以 a5 a6 a7 a3 8,故选 B 1(4)解：. X1 (78 79 84 85 85 86 91 92) 85 x2, 821.528,1251_2_2_2_2_22_22G (85 78)2 (85 79)2 ,(85 84)2 (85 85)2 (85 85)2 (85 86)2 (85 91)2 (85 92)2 81

10、_222_2_2_222s(8578)2 (85 77)2 ,(8583)2(8585)2(8585)2(85 87)2 (85 92)2 (8593)28即有X| X2 , Si S2,故选B(5)解：已知p, q是简单命题，若 p q是真命题”则p为真，且q为真，而 " p为假命题”，“p q是真命题”是“ p是真命题”的既不充分也不必要条件，故选 D(6)解：如图所示，可行域的范围为阴影部分，目标函数 y 2x z,当x 6,y1时，z取最大值Zmax 11,当x 0, y 1时，z取最小值Zmin 1 ,所以Z 2|x| y的取值范围是(D) 1,11,(7)解：函数f(x)

11、的图像如图所示，因为定义在R上的函数f(x)满足f(x 6) f(x).说明f(x)是以6为周期的周期函数，.当x 3, 1)时，f(x) (x 2)2图象是抛物线的一部分，当x 1,3)时，f(x) x图象是线段，由图象知 f(1) f (2)f(3) f (4) f (5) f(6) 1 2 ( 1) 0 ( 1) 0 1因为f(x)是以6为周期的周期函数，且 2015 6 335 5所以 f(1) f(2) f(3) m f (2015) 1 335 1 336 ,故选 A卜020M2),h0a0a1 , h1hoa2 ，运算规则为:0,1,10 1,110.中间三位是需要传输的信息，前

12、后为生成信息,(A)11010传输信息101, h0a。a1=10=1h1hOa2=11=0,正确;(B)01100传输信息110, h0a0a1 =11=0hih0a2 =00=0 ,正确;(C)10111传输信息011, h0a0a1=01=1h1h0a2=11=0 ,错误(D)00011传输信,001, h0a0a1=00=0 ,hih0a2 =01=1 ,正确。故选C二、填空题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分)(9) 615(10) 4 (11)2、, 3(13) (0,3(14) (1)(3)注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得 2分.(9)解：若(Vx 1)

13、n的二项展开式中各项的二项式系数的和是64 ,x即CnCnn 1 n nCn Cn 2则n 6,展开式中的常数项为Tr 16 rC6xr11,所以x答：n2 ,故 T3 c： 7X6,展开式中的常数项为15.15(10)解：已知正数x,y满足xy xy,2那么 x y xy x 2y ，令 x ytt2 4t0,所以t 4故x y的最小值为4 。x 1 2t,、c c(11)解法一：将直线参数方程(t为参数)化为一般方程得x y 2 0,曲线参数方程y 3 2tx 4 acos ,222(为参数，a 0 )化为一般方程得(x 4)2 y2 a2,若直线与圆有且只有一个公共 y asin点，则圆

14、心到直线的距离为a ,所以d14=2 J2 a ,故a J2。.,1 1x 1 2t,解法二：将直线参数方程（t为参数）化为一般方程得x y 2 0,曲线参数方程y 3 2tx 4 a cos y asin点，则方程（x（为参数，a2_24）（2 x）0）化为一般方程得（x 4）2 y2a2 有唯一解，2x2 12x 20 a2a2,若直线与圆有且只有一个公共0,即 （12）2 8（20 a） 0,故a夜。（12）解：由抛物线方程 y2 4x得抛物线y24x的准线方程为x 1 ,又直线x1截双曲线221 与 1（a 0,b 0）所得线段长（弦长）为 a bb212 （2）2 5b ,则有141

15、,解得a 。a b5（13）已知非零向量a,b满足|b| 1, a与ba的夹角为120：,则|a |的取值范围是 解：如图在 ABC中，若b a与a的夹角为120°,则 B 60°,又|b 1 ,由正弦定理-0- ,贝（J a 2Z3sinA0 A 1200 , 0 sin A 1 , 所以 a0,23 。sin 60 sin A33（13题）（14题）（14）解：若p q0,则“距离坐标”为（0,0）的点有且仅有1个.正确。因为到11的距离为0且到12的距离为0的点有且只有。点。若pq 0,且p q 0,则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有2个.正确。根据已知条件p,

16、q中有且仅有一个为 0,不妨设p为0,则到11的距离为0,则点必在11上，同时点还满足到12的距离为q ,因此必然有且只有关于 O对称的两个在11上的点满足要求，故正确。若pq 0,则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有4个.正确如图所示，I1 , I1为到I距离为p的点，I2 , I2为到I2距离为q的点，则ABCD为满足要求的四 个点。正确若p q,则点M的轨迹是一条过。点的直线.满足要求的是I1, I2的两条角平分线，而不是一条直线，错误其中所有正确命题的序号为.三、解答题(本大题共 6小题，共80分)(15)(共 13 分)解：(I)由题意知sinx 0,得x k所以f(x)的定义域为

17、x R|x因为f(x)2sin 2x 2sin xsin x2cosx 2sin x2 V2 cos(x ), 6 分4所以当x- 2k k z时f(x)取得最大值，f (x)的最大值为2拒. 4(n)函数y cosx的单调递增区间为2k 2k (k Z)由 2k x - 2k , x k k Z ,且 x (0,43所以f(x)在(0,上的单调递增区间为J,.13分4，一 .，. 53或写为：当x (0, 时，x 一 (-,；若 f(x)单调增则 x 一 5一，即344 4444 3所以f(x)在(0,上的单调递增区间为3-,.13分4(16)(共 13 分)解：(I)设事件 A为“甲同学选

18、中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”.则 P(A) Cf I，P(B) C 3. C33C55因为事件 A与B相互独立，所以甲同学选中 C课程且乙同学未选中 C课程的概率为2 2 4八P(AB) P(A)P(B) P(A)1 P(B) 一. 4分3 5 15(n)设事件 C为“丙同学选中C课程”.则P(C)Cc53.由题意得X的可能取值为:50,1,2,3 .12 24P(X 0) P(ABC) 3 5 5 75P(X 1) P(ABC) P(ABC) P(ABC)222132123 20355355355 75P(X2)P(ABC) P(ABC) P(ABC)232223133 3335

19、5 355355 75P(X 3)P(ABC) 13 3 18.X为分布列为:X0123P420331875757575E(X)20331814028八751 一 2 3 .13分7575757515(17)(共 14 分)(I)证明：连接 CD与AF相交于H ,则H为CD的中点，连接 HG .因为G为DE的中点，所以 HG / CE.因为CE 平面AGF , HG 平面AGF ,所以CE /平面AGF .4分(n)证明： BE 1, GE 2,在 GEB 中， GEB 60：, BG V3 . 因为 BG2 BE2 GE2, 所以GB BE.因为侧面BEFC 侧面ADEB ,侧面BEFC。侧

20、面ADEB BE ,GB 平面 ADEB ,所以GB 平面BEFC . 8分(m)解：BG, BE, BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz .假设在线段BC上存在一点P,使二面角P GE B为4$.平面 BGE 的法向量 m (0,0,1),设 P(0,0, ),0,1.G(x/3,0,0), E(0,1,0).(冉,1,0) .所以 GP ( 73,0, ) , GE设平面PGE的法向量为n (x, y, z),则GPGE0,0.所以0,0.所以PGE的法向量为J,1).因为所以1,解得、3,.3一 0,1 ,故 BP 一22因此在线段BC上存在一点P,使二面角P GE B 为 4

21、5 ,且BP14分(18)解:(共13分)(I)当 a2e 时，f (x) x e,x 1,3.因为f '(x) 1(x) 0x 2.f (x)x(1,2)2(2,3)f (x)0f(x)极小值f (x)关系如下:f(x)有最小值为3.(n所以当x“存在实数2时,Xo3,3,有f(x) a”等价于f(x)的最大值大于a.因为 f '(x) 1 ae x,所以当a 0时，x 3,3, f'(x) 0, f(x)在(3,3)上单调递增,所以f(x)的最大值为f(3) f(0) a.所以当a0时命题成立.当 a 0 时，由 f (x) 0 得 x ln a .则x R时，x

22、, f (x), f (x)关系如下:x(,ln a)ln a(ln a,)f (x)0f(x)极小值(1)当a e3时，Ina 3 , f (x)在(3,3)上单调递减，所以f(x)的最大值f( 3) f (0) a.所以当a e3时命题成立.(2)当 e3 a e3 时，3 In a 3 ,所以f (x)在(3,lna)上单调递减，在(lna,3)上单调递增.所以f (x)的最大值为f ( 3)或f (3).且 f( 3) f (0) a与 f(3) f (0) a 必有一成立，所以当e 3 a e3时命题成立.(3)当 0 a e3时，Ina 3,所以f(x)在(3,3)上单调递增，所以

23、f(x)的最大值为f(3) f (0) a.所以当0 a e 3时命题成立.综上：对任意实数 a都存在x 3,3使f(x) a成立.13分(19)(共 13 分)22解：(I)设椭圆 C的标准方程为二冬1(a b 0), a b2,22a b c ,由题意知 c , 解得a 2, b 1.a 22a 4, 2所以椭圆C的标准方程为 y2 1 . 5分4(n)设直线 AM的方程为：y k(x 2),则N(0,2k).y k(x 2),2 222由 22 得(1+4k )x 16k x 16k4 0 (*).x 4y4,设A( 2,0) , M (xi , y1)，则2 , Xi是方程(*)的两个根,2 8k2所以x121 4k22 8k24k 、所以 M (t ,2) -1 4k2