第32练双曲线的渐近线和离心率问题

1、第32练 双曲线的渐近线和离心率问题题型分析 髙考展望双曲线作为三种圆锥曲线之一， 也是高考热点，其性质是考查的重点, 尤其是离心率与渐近线考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般 为中等难度熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本体验咼考21. （2015四川）过双曲线X y3 = 1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线3于A, B两点，贝U |AB|等于（）A.43B.2 .3C.6D.4 .3答案 D解析 设A, B两点的坐标分别为（x. Ya）, （x, yB），将x= c= 2代入渐近线方程y= ±, 3x得2到Ya, Yb，进而求|

2、AB|由题意知，双曲线X2 卷=1的渐近线方程为 y= 土 3x,将x= c= 2代入得y=±,3,艮卩A, B两点的坐标分别为（2, 2 3）, （2, 2 3），所以|AB|= 4 3.2 22. （2016天津）已知双曲线 乡存=1（b>0），以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A, B, C, D四点，四边形 ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）2 2 2 21C.J -二=1D.：护 1答案 D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y= ±2x,圆的方程为x2 + y2=4,< 2 2 ,x + y = 4,联立$ b

3、ly = 2x,x=或.y=.4 + b2'2b一4 + b2,即第一象限的交点为由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为8円，1=2，故字T4b斗4+ b 才4+ b4+ b=2b，得 b2= 12.2 2故双曲线的方程为12= 1.故选D.2 2NXNX3. （2016浙江）已知椭圆Cl： m2+ y2= 1（m> 1）与双曲线C2：孑一y2= 1（n>0）的焦点重合，e2分别为C1, C2的离心率，则（）A.m>n 且 e1e2> 1B.m> n 且 eje2< 1C.mv n 且 e1e2> 1D.m v n 且 e1

4、e2< 1答案 A24又音m 1n2+ 1 - 2 m nn2+ 1 n2+ 1 n2+ 2 ' n2n4+ 2n2+ 1 _=n4+ 2n2 =1n4 + 2n2> 1 ,e e2> 1.解析 由题意可得：m2 1 = n2 +1,即卩m2= n2+ 2, 又 T m>0, n>0,故 m>n.4. （2015上海）已知点P和Q横坐标相同，P的纵坐标是 Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹 分别为双曲线C1和C2,若C1的渐近线为y= ±3x,则C2的渐近线方程为 .答案y= ±fx解析 设点P和Q的坐标为（x, y）, （x0, y

5、0）,则有' 又因为C1的渐近线方程为y=±, 3x,y= 2y0,故设C1的方程为3x2=入把点坐标代入，可得 3x2 4y2=人令 A 0? 3x±2y= 0,即为曲线C2的渐近线方程，贝廿y= ±x.25. (2015北京)已知双曲线 拿y2= 1(a>0)的一条渐近线为 寸3x+ y= 0，则a =.答案3 解析直接求解双曲线的渐近线并比较系数.2双曲线为y2= 1的渐近线为y=±a，已知一条渐近线为 V3x+ y= 0，即y寸3x,因为a>0 , 所以a= ,3,所以a =彳.高考必会题型题型一双曲线的渐近线问题例1 (1)

6、已知直线y= 1 x与双曲线ax2 + by2= 1(a>0 , b<0)的渐近线交于 A, B两点，且过 原点和线段ab中点的直线的斜率为一，则a的值为()2 bA 退退2/3A. 27 B. 22 D. 3答案 Bry 1 x解析 双曲线ax2 + by2= 1的渐近线方程可表示为ax2 + by2= 0,由* 22得(a + b)x2ax + by = 02bx+ b = 0,设 A(X1, y1) , B(X2, y2)，贝U X1+ X2=，2ay1 + 丫2=旦，所以原点和线段 AB中点的直线的斜率a+ by1 + y22_ y1 + y2 _ a _ V3k X1 +

7、 X2 X1 + X2 b2 '2故选B.2NX如图，已知双曲线 C: 2 y2= 1(a>0)的右焦点为F.点A, B分别在C的两条渐近线上,a求双曲线C的方程;过C上一点P（xo, yo）（y°M 0）的直线I: x°x yoy= 1与直线AF相交于点M ,与直线x = x2 3+ 3(Xo 2 J 3 4x2 12xo + 9 3相a2交于点N.证明：当点P在C上移动时，怕恒为定值，并求此定值.|NF| 解 设F（c, 0），因为b= 1，所以c= a2+1,1直线OB的方程为y= -x,a1c c直线BF的方程为y = 与x轴垂直，sinF2 = 3

8、则E的离心率为（）3A/,2B.|c. .3D.2答案(1)C(2)A 解析双曲线的渐近线方程为：y= > 由题意可求得点 A（p, p）代入渐近线得b = p = 2,（x c），解得BQ，亦）.1又直线OA的方程为y= -x,ac cmtt A/ ca( 2a)3则A(c，a)，kAB=孑c2又因为AB丄OB,所以3( 1)= 1 , a' a，'解得a2= 3,2故双曲线C的方程为x3 一 1.3由知a= 3,则直线I的方程为xoxxox 3x3xyoy=（。工°），即 y-.因为直线AF的方程为x= 2, 所以直线1与AF的交点为M（2,节）；3x

9、76;-3).直线1与直线x= 3的交点为3y°N(|,4. 2(2x°- 3f 2.3 3y° + 3 x° 22y0-2X03Hu贝代入上式得|mfj2NF|2 =224 2xo _ 3 4 i2xo 3_ 4即所求定值为|MF|_2 _ 2.3NF 厂,3 = 丁点评（1）在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法. 2 2由 y=卫x?x¥=0?笃y.= 0，所a a b a b2以可以把标准方程X2a2b = 1(a>0, b>0)中的 “1 ” 用“0”替换即可得出渐近线方程2 2拿一y2= X将0），求出入即得双曲线已知

10、双曲线渐近线方程：y = bx,可设双曲线方程为a方程2 2 2 2变式训练1已知a>b>0 ,椭圆Cl的方程为X2 + y2= 1，双曲线C2的方程为2-y2 = 1 , Cia ba b与C2的离心率之积为 f5,则C2的渐近线方程为（）A.x± 2y= 0B. ,2x±/= 0C.x2y= 0D.2x±y= 0答案 C解析 由已知，得 e1 = - 1 ；|1 會 4, 宁=4,e2= 5,e= J5，故选 C., e2=" ,：1+ £ 2，所以屜=1丁=于，解得a=±1,b 1所以C2的渐近线方程为y= 

11、7;bx= ±1x,a 2即xi2y= 0,故选C.题型二双曲线的离心率问题2 2例2 （1）点A是抛物线C1： y2= 2px（p>0）与双曲线C2 :玲一器=1（a>0, b>0）的一条渐近线的a b交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于（）A. ,2B. 3C. .5D. ,62 2（2）（2016课标全国甲）已知F1, F2是双曲线E: j y= 1的左，右焦点，点 M在E上，MF12,2sinM离心率e=1F1Fz|，由正弦定理得 e=匡旦 = SinM匚= 2故选|MF2|- |MFi|MF2|- |MFi| si nFi S

12、i nF?1'1 3A.点评 在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e=c是一个比值，故只需根据条件得到关于a、ab、c的一个关系式，利用 b2= c2 a2消去b，然后变形求e,并且需注意e>1.同时注意双曲 线方程中x, y的范围问题.2变式训练2 (2016上海)双曲线x2泊=1(b>0)的左、右焦点分别为 Fi、F2，直线I过F2且与双曲线交于A、B两点n(1) 若I的倾斜角为2， F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；设 b=Q3，若I的斜率存在，且(fTA+ 韦)Ab = 0,求i的

13、斜率. 解(1)由已知 F1( b2+ 1, 0), F* b2+ 1, 0),取 x= b2+ 1,得 y= b2,|F1F2|= 3|F2A|,t|F1F2|= 2 ,b2 + 1, |F2A|= b2, 2 b2+ 1= 3b2,即 3b4 4b2 4 = (3b2 + 2)(b2 2) = 0, b = ,2，渐近线方程为y=±. 2x.2(2) 若b= . 3,则双曲线方程为 x2 y = 1, F1( 2, 0), F2(2, 0),设 A(X1, y1), B(x2, y2),则 F1A=(治 + 2 , y1) , F1B=(X2 + 2 , y2) , AB =(X

14、2 X1, y?y",- f；A+ f1b =(冯 + X2+ 4 ,1+ 目2,(F1A+ F1B) AB = x2 x2+ 4(x2 x1) + y2 y1= 0, (*)22-x2 yl= x2 y2= 1 y2 y2=3(x2x1),代入(*)式,可得 4(x2 x2)+ 4(X2 x”= 0 ,直线I的斜率存在，故X1 X2 ,-X1 + X2 = 1.设直线 I 为 y = k(x 2)，代入 3x2 y2= 3,得(3 k2)x2 + 4k2x (4k2 + 3) = 0, 3 k2工 0,且= 16k4 + 4(3 k2)(4 k2 + 3) = 36(k2 + 1)

15、>0 ,4k2Xl+ x2=2= 1 ,3 k=5，直线I的斜率为土严.5题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题2 2例3已知双曲线 C:= 1(a>0, b>0)的右顶点为A, O为坐标原点，以 A为圆心的圆 与双曲线C的某渐近线交于两点 P, Q,若/ PAQ = 60°且OQ = 3OP,则双曲线 C的离心率为()A. 4答案解析如图所示,设 / AOQ = a,.a . b-tan a= ? cos a= , sin a= acca2ab |OH|= acosa=, |AH|= a sin a=, cc又 OQ = 3OP,2|OP|=|PH|=|HQ|= 2

16、c， |AH|= 3|PH|?警.3 覚? 2b= ,3a,故选C.点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组二是数形 结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围2 2 2 2变式训练3已知双曲线 拿古=1(a>0, b>0)以及双曲线 拿一p= 1(a>0, b>0)的渐近线将第2 2一象限三等分，则双曲线x y孑一b2= 1(a>0, b>0)的离心率为(A.2 或-J-B. .6或-3-C.2 或 3D. ：.：3或，6答案 A22解析由题意可知，双曲线 %右=i(a>0, b>0)的渐近线的倾斜角为30。或6

17、0°a b则k= b = 3或,a "3高考题型精练21. (2015课标全国I )已知M(X0, yo)是双曲线C :号y2= 1上的一点，Fl, F2是C的两个焦点若MF 1 MF 2<0 ,贝V y0的取值范围是()A 也曲B f並回A. 3，3B. 6，6C 沁池D匚沁也C. I 3，3 丿I 3，3)答案 A解析 由双曲线方程可求出F1, F2的坐标，再求出向量 MF1, MF2，然后利用向量的数量积公式求解.由题意知 a= 2, b = 1, c= 3 F1( 3, 0), F2( .3, 0),二 MF 1= ( ,3-x0，一 y0) , MF 2=

18、(,3 - x0, y0).T MF1 MF2<0, (诟一X0)(诟X0)+ y0<O,即 x2_ 3+ y2<0.点M% , y°)在双曲线上，2 X0 y0= 1,即 x2= 2+ 2y2 , 2 + 2y0 3+ y0<O, 33今0<23故选 A.2 22. 已知双曲线X21的一条渐近线方程为y= 2x,则双曲线的离心率为（）a bA. .；5B. fc. . 5或 答案 A22b解析 双曲线拿b= 1的渐近线方程为y= ±x,由题意可得-=2,即有b= 2a.ac= - Ja2+ b2= 5a, 可得e= c=Q5，故选A.223.

19、 已知双曲线 右*= 1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上，且門|= 4|PF2|, 则此双曲线的离心率 e的最大值为（）4 57A.3B.3C.2D.3答案 B解析 由双曲线的定义知|PF1| |PF2|= 2a,又 |PF1|= 4|PF2|,联立解得|PF 1|= 3a, |PF2|= 3a.33在厶PF1F2中，由余弦定理，得 cos/ FiPF2=179 2a23a8L32要求e的最大值，即求cos/ F1PF2的最小值，5 当 cos/ FiPF2=- 1 时，解得 e= 3，即e的最大值为3，故选B.32 24.双曲线乍y2 = 1（a>0, b>0）

20、的两顶点为 Ai, A2，虚轴两端点为 Bi, B2,两焦点为Fi, F2,a b若以AiA2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是（）3 +、5.5+ 15 1 3 j5A. 2 B. 2 C 2 D 2 答案 B解析由题意，得直线 F1B1的方程是bx cy+ bc= 0,因为圆与直线相切，所以点 0到直线FiBi的距离等于半径，即bea,又 b2= e2-a2,得 e4-3a2c2+ a4= 0, e4 3e2 + 1= 0, e2= 3±-5, e= 5,故选 B.5如图，中心均为原点 0的双曲线与椭圆有公共焦点， M ,N是双曲线的两顶点， 若M , 0,

21、N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）A.3B.2C. .3D. 2答案 B解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为2 2a2+ b2= 1（a>b>0）,2 2mm2 *= 1（m>0，n>0）,因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为e,所以椭圆与双曲线的离心率分别为ei = c, e2=-,a m 由点M , O, N将椭圆长轴四等分可知m= a m,_c即2m = a，所以e2= m=旦=2，故选B.ei c ma2 2 2 26.若实数k满足0<k<9，则曲线 盏化 =1与曲线； y9 = 1的（）25 9 k25 k 9A.焦距相等B.半

22、实轴长相等C.半虚轴长相等D.离心率相等答案 A2 2解析 因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线.双曲线 盍= 1的半实轴长为5,半虚259 k 34k22轴长为，9 k,焦距为2 25+ 9 k = 2 34 k,离心率为5一 k双曲线25 = 1的半实轴长为25 k,半虚轴长为3，焦距为2、25 k + 9 = 2 34 k,离心率为故两曲线只有焦距相等.故选A.7已知F是双曲线C: x2- y2= 1(a>0, b>0)的右焦点，0是双曲线C的中心，直线y= , mx 是双曲线C的一条渐近线，以线段 OF为边作正三角形 AOF，若点A在双曲线C上，则m答案 3

23、+2 3解析 因为直线y= .mx是双曲线C的一条渐近线，b2所以m =亍，又A在双曲线C上，三角形 AOF是正三角形,a1 2 二 2所以A(2c,于0,牛一¥ = 1,+ b2,化为4aa2 + b2* Im-3- g 1,444 4m因为m>0，可解得m = 3+ 2 3.8设p为直线y=3ax与双曲线2 2予一古=1(a>0 , b>0)左支的交点,F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率 e=答案乎4解析设P(x, 3ax),则由题意，知c=|x|,因为PF1垂直于x轴，则由双曲线的通径公式知Fx|= b，即乎c = b，所以b=c3a a 3a

24、a3又由a2= c2- b2,得 a2 = £c2,所以e= c=鉱a 42 29. (2016山东)已知双曲线 E: x2 y2= 1(a>0 , b>0)，若矩形 ABCD的四个顶点在 E上，AB,a b答案2解析2 2由已知得 |AB|= 2b , |BC|= 2c, a 2X 2b = 3X 2c, 又 / b2= c2-a2,整理得:2c2- 3ac aaCD的中点为E的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|,贝U E的离心率是2a2= 0，两边同除以a2得丐2c1-3a-2 = 0 即 2e2-3e 2 = 0，解得 e= 2 或 e=-?（舍去）.2 210. 已知A(1, 2), B(- 1, 2)，动点P满足AP丄BP,若双曲线 玲一y2 = 1(a>0, b>0)的渐近线 a b与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是答案 (1 , 2)解析 根据条件AP丄BP,可得P点的轨迹方程x2 + (y 2)2 = 1, 求出双曲线的渐近线方程尸令，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a2>b2,再由