高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最大小值学案 新人教A版必修1

1、第2课时函数的最大(小)值学习目标：1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义(重点).2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值(重点、难点).3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题(重点)4.通过本节内容的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提高学生逻辑推理、数学运算的能力(重点、难点)自 主 预 习·探 新 知函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：对于任意的xi，都有f(x)mf(x)m存在x0i，使得f(x0)m结论m是函数yf(x)的最大值m是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上

2、最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)m，则m一定是函数的最大值吗？提示不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)m时，m才是函数的最大值，否则不是基础自测1思考辨析(1)任何函数都有最大(小)值()(2)函数f(x)在a，b上的最值一定是f(a)(或f(b)()(3)函数的最大值一定比最小值大()答案(1)×(2)×(3)2函数yf(x)在2,2上的图象如图1­3­4所示，则此函数的最小值、最大值分别是()1­3­4a1,0b0,2c1,2 d，2c由图可知，f(x)的最大值为f(1)2，f(x)的最小值

3、为f(2)1.3设函数f(x)2x1(x<0)，则f(x)()a有最大值b有最小值c既有最大值又有最小值 d既无最大值又无最小值df(x)在(，0)上单调递增，f(x)<f(0)1，故选d.4函数f(x)，x1,2，则f(x)的最大值为_，最小值为_. 【导学号：37102139】1f(x)在区间1,2上为减函数，f(2)f(x)f(1)，即f(x)1.合 作 探 究·攻 重 难利用函数的图象求函数的最值(值域)已知函数f(x)(1)在直角坐标系内画出f(x)的图象(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域解(1)图象如图所示：(2)由图可知f(x)的单调递增区间为(1

4、,0)，(2,5)，单调递减区间为(0,2)，值域为1,3规律方法利用图象求函数最值的方法：画出函数yf(x)的图象；观察图象，找出图象的最高点和最低点；写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.跟踪训练1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值. 【导学号：37102140】解作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x±1时，f(x)取最大值为f(±1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.利用函数的单调性求最值(值域)已知函数f(x).(1)判断函数在区间(1，)上的单调性，并用定义证明你的结论；

5、(2)求该函数在区间2,4上的最大值和最小值解(1)f(x)在(1，)上为增函数，证明如下：任取1<x1<x2，则f(x1)f(x2)，因为1<x1<x2x11>0，x21>0，x1x2<0，所以f(x1)f(x2)<0f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，)上为增函数(2)由(1)知f(x)在2,4上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)，最大值f(4).规律方法1利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性(2)利用单调性求出最大(小)值2函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间a，b上是增(

6、减)函数，则f(x)在区间a，b上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)(2)若函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，在区间b，c上是减(增)函数，则f(x)在区间a，c上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个提醒：(1)求最值勿忘求定义域(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意跟踪训练2求函数f(x)x在1,4上的最值. 【导学号：37102141】解设1x1<x2<2，则f(x1)f(x2)x1x2x1x2(x1x2)·(x1x2).1x1<x2<2，x1x

7、2<0，x1x24<0，x1x2>0，f(x1)>f(x2)，f(x)是减函数同理f(x)在2,4上是增函数当x2时，f(x)取得最小值4；当x1或x4时，f(x)取得最大值5.函数最值的实际应用一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xn*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润年销售总收入年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是

8、多少？解(1)当0<x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x>20时，y260100x160x.故y(xn*)(2)当0<x20时，yx232x100(x16)2156，x16时，ymax156.而当x>20时，160x<140，故x16时取得最大年利润，最大年利润为156万元即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元规律方法解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取

9、值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.跟踪训练3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 【导学号：37102142】解设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销量减少10(x50)个，销量为50010(x50)(1 00010x)个，则y(x40)(1 00010x)10(x70)29 0009 000.故当x70时，ymax9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元二次函数的最值问题探究问题1函数f(x)x22x2在区间1,0，1,2，2,3

10、上的最大值和最小值分别是什么？提示：函数f(x)x22x2的图象开口向上，对称轴为x1.(1)因为f(x)在区间1,0上单调递减，所以f(x)在区间1,0上的最大值为f(1)5，最小值为f(0)2.(2)因为f(x)在区间1,1上单调递减，在1,2上单调递增，则f(x)在区间1,2上的最小值为f(1)1，又因为f(1)5，f(2)2，f(1)>f(2)，所以f(x)在区间1,2上的最大值为f(1)5.(3)因为f(x)在区间2,3上单调递增，所以f(x)在区间2,3上的最小值为f(2)2，最大值为f(3)5.2求二次函数f(x)ax2bxc在m，n上的最值，应考虑哪些因素？提示：若求二次

11、函数f(x)在m，n上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x与区间m，n的关系已知函数f(x)x2ax1，求f(x)在0,1上的最大值. 【导学号：37102143】思路探究：解因为函数f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)1.母题探究：1.在题设条件不变的情况下，求f(x)在0,1上的最小值解(1)当0，即a0时，f(x)在0,1上单调递增，f(x)minf(0)1.(2)当1，即a2时，f(x)在0,1上单调递减，f(x)minf(1)2a.(3)当0<<1，即0<

12、a<2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)minf1.2在本例条件不变的情况下，若a1，求f(x)在t，t1(tr)上的最小值解当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x，当t时，f(x)在其上是增函数，f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在其上是减函数，f(x)minf(t1)2t2t1；当t<<t1，即<t<时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf.当 堂 达 标·固 双 基1函数f(x)(2x2)的图象如图1­3­5所示，则函数的最大值、最小值分别为()图1­

13、;3­5af(2)，f(2)bf，f(1)cf，fdf，f(0)c由函数f(x)的图象可知，f(x)maxf，f(x)minf.2函数y在2,3上的最小值为()a2b.c. db函数y在2,3上单调递减，当x3时，ymin.3函数yx22x，x0,3的值域为() 【导学号：37102144】a0,3 b1,0c1，) d1,3d函数yx22x(x1)21，x0,3，当x1时，函数y取得最小值为1，当x3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为1,3，故选d.4函数yax1在区间1,3上的最大值为4，则a_.1若a<0，则函数yax1在区间1,3上是减函数，并且在区间的左端点处取得

14、最大值，即a14，解得a3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数yax1在区间1,3上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a14，解得a1.综上，a1.5已知函数f(x)(x2,6)(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值. 【导学号：37102145】解(1)函数f(x)在x2,6上是减函数证明：设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)f(x2).由2x1<x26，得x2x1>0，(x11)(x21)>0，于是f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)是区间2,6上的减函数(2)由(1)可知，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即