高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大(小)值与导数习题 新人教A版选修22

1、第一章1.31.3.3 函数的最大(小)值与导数a级基础巩固一、选择题1(2018·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f (x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)(d)a有极大值，无极小值b有极小值，无极大值c既有极大值又有极小值 d既无极大值也无极小值解析函数f(x)满足x2f (x)2xf(x)，x2f(x)，令f(x)x2f(x)，则f (x)，f(2)4·f(2)由x2f (x)2xf(x)，得f (x)，令(x)ex2f(x)，则(x)ex2f (x)(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22f(2)0(x)0又x0

2、，f (x)0f(x)在(0，)上单调递增f(x)既无极大值也无极小值故选d2(2018·新乡一模)若函数f(x)x2ax2lnx在(1,2)上有最大值，则a的取值范围为(b)a(0，) b(0,3)c(3，) d(1,3)解析f(x)2xa要使函数f(x)x2ax2lnx在(1,2)上有最大值则函数f(x)x2ax2lnx在(1,2)上有极大值即方程2x2ax20有两个不等实根，且较大根在区间(1,2)，解得0a3故选b3(2017·临沂高二检测)函数y2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是(a)a5，15 b5，4c4，15 d5，16解析令y6x26x1

3、20，得x1(舍去)或x2，故函数yf(x)2x33x212x5在0,3上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)5，f(2)15，f(3)4，故最大值为5，最小值为15，故选a4已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)<g(x)，则f(x)g(x)的最大值为(a)af(a)g(a) bf(b)g(b)cf(a)g(b) df(b)g(a)解析令f(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)<0所以f(x)<0，f(x)在a，b上递减，f(x)maxf(a)g(a)5若存在正数x使2x(xa)<1成立，则a的取值范围是(d)a

4、(，) b(2，)c(0，) d(1，)解析2x(xa)<1，a>x，令yx，y是单调增函数，若x>0，则y>1，a>16已知函数f(x)x32ax23x(a>0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是(b)a3x15y40 b15x3y20c15x3y20 d3xy10解析f(x)x32ax23x，f(x)2x24ax32(xa)22a23，f(x)的最大值为5，2a235，a>0，a1f(1)5，f(1)f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y5(x1)，即15x3y20二、填空题7(2018·

5、;荆州一模)函数f(x)x3x22在(0，)上的最小值为解析函数f(x)x3x22在(0，)，可得f(x)3x22x，令3x22x0，可得x0或x，当x(0，)时，f(x)0，函数是减函数；x(，)时，f(x)0，函数是增函数，所以x是函数的极小值即最小值，所以f(x)min()3()22故答案为8函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是(，1)(2，)解析f (x)3x26ax3(a2)，令f (x)0，即x22axa20因为函数f(x)有极大值和极小值，所以方程x22axa20有两个不相等的实数根，即4a24a8>0，解得a>2或a<1

6、三、解答题9设函数f(x)x2ax2lnx(ar)在x1时取得极值(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解析(1)f (x)xa，因为当x1时f(x)取得极值，所以f (1)0，即1a20，解得a3，经检验，符合题意(2)由(1)得：f(x)x23x2lnx，f (x)x3，(x>0)，令f (x)>0解得0<x<1或x>2，令f (x)<0解得1<x<2，f(x)的单调递增区间为(0,1)，(2，)；单调递减区间为(1,2)10(2017·宁波高二检测)设函数f(x)exsinx(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x0

7、，时，求函数f(x)的最大值与最小值解析(1)f(x)ex(sinxcosx)exsin(x)f(x)0，所以sin(x)0，所以2kx2k，kz，即2kx2k，kzf(x)的单调增区间为2k，2k，kz(2)由(1)知当x0，时，0，是单调增区间，是单调减区间f(0)0，f()0，f()e，所以f(x)maxf()e，f(x)minf(0)f()0b级素养提升一、选择题1若函数f(x)在定义域r内可导，f(19x)f(01x)且(x1)f (x)0，af(0)，bf()，cf(3)，则a，b，c的大小关系是(d)aa>b>c bc>a>bcc>b>a db

8、>a>c解析(x1)f (x)0，当x1时，f (x)0，此时函数f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，此时函数f(x)单调递增又f(19x)f(01x)，f(x)f(2x)，f(3)f2(1)f(1)，10<，f(1)f(0)f()，f(3)<f(0)<f()，bac，故选d2(2018·铁东区校级一模)已知函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上最大值为m，最小值为n，则mn(a)a20 b18c3 d0解析函数f(x)x33x1的导数为f(x)3x23，令f(x)0，解得x±1，所以(1，1)为函数f(x)的极值点因为f(3)19，

9、f(1)1，f(1)3，f(2)1，所以在区间3,2上，mf(x)max1，nf(x)min19，对于区间3,2上最大值为m，最小值为n，则mn20，故选a二、填空题3(2018·红桥区一模)函数yexx在r上的最大值是1解析函数yexx，y1ex，由y0得x0，当x(，0)时，y0，函数yxex单调递增，当x(0，)时，y0，函数yxex单调递减，所以，当x0时，y取得最大值，最大值为1故答案为14已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，f(1)0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是(1,0)(1，)解析令g(x)(x0)，x>0时，>

10、0，g(x)>0，g(x)在(0，)上为增函数，又f(1)0，g(1)f(1)0，在(0，)上g(x)>0的解集为(1，)，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在(，0)上g(x)<0的解集为(1,0)，由x2f(x)>0得f(x)>0，f(x)>0的解集为(1,0)(1，)三、解答题5设函数f(x)exx2x(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，讨论函数f(x)的单调性解析(1)k0时，f(x)exx，f (x)ex1当x(，0)时，f (x)<0；当x(0，)时，f (x)>0，所以f(x)在(，0)上单调减小，在(0，)上单调增加

11、，故f(x)的最小值为f(0)1(2)若k1，则f(x)exx2x，定义域为rf (x)exx1，令g(x)exx1，则g(x)ex1，由g(x)0得x0，所以g(x)在0，)上单调递增，由g(x)<0得x<0，所以g(x)在(，0)上单调递减，g(x)ming(0)0，即f (x)min0，故f (x)0所以f(x)在r上单调递增6(2018·全国卷文，21)已知函数f(x)x3a(x2x1)(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点解析(1)解：当a3时，f(x)x33x23x3，f(x)x26x3令f(x)0，解得x32或x32当x(，32

12、)(32，)时，f(x)>0；当x(32，32)时，f(x)<0故f(x)在(，32)，(32，)单调递增，在(32，32)单调递减(2)证明：因为x2x1>0，所以f(x)0等价于3a0设g(x)3a，则g(x)0，仅当x0时g(x)0，所以g(x)在(，)单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a62<0，f(3a1)>0，故f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点c级能力拔高设函数f(x)x3axb，xr，其中a，br()求f(x)的单调区间；()若f(x)存在极值点x0，且f(x1)f(x0)，其中x1x0，求

13、证：x12x00；()设a0，函数g(x)|f(x)|，求证：g(x)在区间1,1上的最大值不小于解析()由f(x)x3axb，可得f(x)3x2a下面分两种情况讨论：(1)当a0时，有f(x)3x2a0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(，)(2)当a>0时，令f(x)0，解得x，或x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为(，)，单调递增区间为(，)，(，)()证明：因为f(x)存在极值点，所以由()知a>0，且x00，由题意，得f(x0)3xa0，即x，进而f(x

14、0)xax0bx0b又f(2x0)8x2ax0bx02ax0bx0bf(x0)，且2x0x0，由题意及()知，存在唯一实数x1满足f(x1)f(x0)，且x1x0，因此x12x0所以x12x00()设g(x)在区间1,1上最大值为m，maxx，y表示x，y两数的最大值下面分三种情况讨论：(1)当a3时，1<1，由()知，f(x)在区间1,1上单调递减，所以f(x)在区间1,1上的取值范围为f(1)，f(1)，因此mmax|f(1)|，|f(1)|max|1ab|，|1ab|max|a1b|，|a1b|，所以ma1|b|2(2)当a<3时，1<<<1，由()和()知，f(1)f()f()，f(1)f()f()，所以f(x)在区间1,1上的取值范围为f()，f()，因此mmax|f()|，|f()|max|b|，|b)|max|b|，|b)|b|××(3)当0<a<时，1<<<1，由()和()知，f(1)<f()f()，f(1)>f()f()，所以f(x)在区间1,1上的取值范围为f(1)，f(1)，因此mmax|f(1)|，|f(1)|，max|1ab|，|1ab|max|1ab|，|1ab|