2017年广州市一模(文科数学).

1、试卷类型： A2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2017.3参考公式： 锥体的体积公式 V1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3122232n2n n 1 2n 1n N* 6一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数 fxln1 x 的定义域为A,1B,1C 1,D 1,2已知 i 是虚数单位，若m i234i，则实数 m 的值为A 2B 2C 2D 23在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 C 2B ，则 c 为A 2sin CB

2、2 cos BC 2sin BD2 cosCb4圆 x2y21关于直线 yx 对称的圆的方程为122y 121221A x 2B x 1y 22y 1212y 22C x 2D x 115已知 x1，则函数 yx1的最小值为x1A 1B 0C1D26函数 fxx的图象大致是x2y1yyyOxOxOxOxABCDNx xM N等于7已知非空集合 M 和 N ，规定 MM 且 x N ，那么 MAM NBM NC MD N8任取实数 a ， b1,1，则 a ， b 满足 a2b2的概率为A 1B 1C 3D 7设8448a， b 是两个非零向量，则使a b = a b成立的一个必要非充分条件是9

3、bb abA aBabC aD010在数列 an中，已知 a11， anansinn 1，记 Sn 为数列 an的前 n 项和，12则 S2014A 1006B 1007C1008D1009二、填空题：本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分 20 分（一）必做题（ 1113 题）11执行如图 1 的程序框图，若输入 k =3 ，则输出 S 的值为 _12一个四棱锥的底面为菱形， 其三视图如图2 所示，则这个四棱锥的体积是 _开始输入 k5n0, S0ylogx2211否n k ?正（主）视图侧（左）视图是输出 Snn1SS2n1结束4图 2俯视图图 1由空间向量a1,2,3，b

4、1, 1,1构成的向量集合 Ax x akb, kZ ，则向13量 x 的模 x 的最小值为 _（二）选做题（ 1415 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sincosa 与曲线2cos4sin相交于 A，B两点，若AB2 3 ，则实数 a 的值为 _C15（几何证明选讲选做题）DP如图 3， PC 是圆 O 的切线，切点为 C ，直线 PA 与圆 O 交于EA ， B两点，APC 的平分线分别交弦 CA ， CB 于 D ， EOB两点，已知 PC3， PB2，则 PE 的值为 _PDA图 3三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明

5、、 证明过程和演算步骤16（本小题满分 12分）已知某种同型号的6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期（1）从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率；（2）从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率17（本小题满分 12分）已知函数 f ( x)sin x acos x 的图象经过点， 03（1）求实数 a 的值；（2）求函数 f x 的最小正周期与单调递增区间18（本小题满分 14分）如图 4，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是D1C1棱 D D 的中点，点F在棱 BB上，且满足 BF 2FBA1B1111E（1）求证：EF1

6、1 ；AC（2）在棱 C1C 上确定一点 G ，使 A ， E ， G ， F 四点共面，DCF并求此时 C1G 的长；AB（3）求几何体 ABFED 的体积图 419（本小题满分14分）已知等差数列an的首项为 10，公差为 2，数列 bn 满足 bnn an 6n ， n N* （1）求数列 an2与 bn的通项公式；（2）记 cnmax an , bn，求数列 cn的前 n 项和 Sn （注： max a, b 表示 a 与 b 的最大值）20（本小题满分已知函数 f14分）3xx6x29x3 （1）求函数 fx 的极值；（2）定义：若函数 h x 在区间s, tst 上的取值范围为s,

7、 t ，则称区间函数 h x 的“域同区间 ”试问函数 fx 在 3,上是否存在 “域同区间s, t 为”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间 ”；若不存在，请说明理由21（本小题满分 14分）已知双曲线 E ： x2y21 a0 的中心为原点 O ，左，右焦点分别为 F1 ， F2 ，a24离心率为3 5 ，点 P 是直线 xa2上任意一点，点 Q 在双曲线 E 上，且满足53PF2 QF20 （1）求实数 a 的值；（ 2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；（3）若点 P 的纵坐标为1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M ， N ，在线段 MN 上取异于

8、点 M ， N 的点 H ，满足 PMMH ，证明点 H 恒在PNHN一条定直线上2017 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共10 小题，每小题，满分50 分题号12345678910答案 CABACABDBC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5 小题，每小题，满分 20 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题题号1112131415答案74131或523三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤16（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，

9、考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识） （1）解：记“从 6瓶饮料中任意抽取 1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件 A ，从 6 瓶饮料中中任意抽取1 瓶，共有 6 种不同的抽法因为 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期，所以事件A 包含 4 种情形则PA4263所以从 6 瓶饮料中任意抽取1 瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为2 3（2）解法 1：记“从 6 瓶饮料中随机抽取2 瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取 2 瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ， y ，则 ( x, y) 表示第一瓶抽到的是x ，第二瓶抽到的是y ，则 (x, y) 是一个基本事件由于是随机抽取，

10、所以抽取到的任何基本事件的概率相等不妨设没过保质期的饮料为 1，2，3，4， 已过保质期的饮料为 a ， b ，则从 6 瓶饮料中依次随机抽取 2 瓶的基本事件有：1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,a ， 1,b ， 2,1 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,a ， 2,b ，3,1 ， 3,2 ， 3,4 ， 3,a ， 3,b ， 4,1 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,a ， 4,b ，a,1 ， a,2， a,3 ， a,4 ， a, b ， b,1 ， b,2 ， b,3 ， b,4 ， b, a 共 30 种基本事件由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮

11、料，所以事件 B 包含的基本事件有：1,a ， 1,b ， 2,a ， 2,b ， 3,a ， 3,b ， 4,a ， 4,b ， a,1 ， a,2，a,3 ， a,4 ， a, b ， b,1 ， b,2 ， b,3 ， b,4 ， b, a 共 18 种基本事件则 P(B)183 305所以从 6 瓶饮料中随机抽取2 瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为3 5解法 2：记“从 6 瓶饮料中随机抽取2 瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取 2 瓶饮料，抽到的饮料分别记为 x ， y ，则 ( x, y) 是一个基本事件由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等不妨设没过保质期

12、的饮料为 1，2，3，4， 已过保质期的饮料为 a ， b ，则从 6 瓶饮料中随机抽取2 瓶的基本事件有：1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,a ， 1,b ， 2,3 ， 2,4 ， 2,a ， 2,b ， 3,4 ，3,a ， 3,b ， 4,a ， 4,b ， a,b 共 15 种基本事件由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件 B 包含的基本事件有：1,a ， 1,b， 2,a， 2,b， 3,a ， 3,b ， 4,a ， 4,b ， a, b 共 9 种基本事件则 P(B)93 1553 所以从 6 瓶饮料中随机抽取2 瓶，抽到已过保质期的饮

13、料的概率为517（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数f (x)sin xa cos x的图象经过点，0，3所以 f0即sina cos0 即3a0解得 a 333322（2）由（ 1）得，f (x)sin x3cos x21 sin x3 cos x222 sin x coscos x sin32sinx 33所以函数 fx的最小正周期为2因为函数ysin x的单调递增区间为2, 2，kk2k Z2所以当2kxZ时，函数 fx 单调递增，22kk532即 2k

14、x2kZ 时，函数 fx 单调递增6k6所以函数 fx的单调递增区间为2k5Z ,2 kk6618（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明： 连结 B1D1 ， BD ，因为四边形 A1B1C1D1 是正方形，所以 AC1 1B1D1 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， DD1 平面 A1 B1C1D1 ，AC1平面 ABCD ，所以 AC1DD1111111因为 B1D1DD1D1 ， B1D1 ， DD1平面 BB1D1D ，所以 AC1平面BBDD111因为 EF

15、平面 BB1D1 D ，所以 EFAC11（2）解：取 C1C 的中点 H ，连结 BH，则 BHAE 在平面 BBC11C 中，过点 F 作 FGBH ，则FG AE连结 EG，则 A，E，G，F 四点共面因为 CH1 C1C1 a ， HG BF1 C1C1 a ，221 a 33所以 C1G C1C CH HG6D1A1B1EDFABD1A1B1EDFC1CC1GHC故当 C1G1，E，G， F 四点共面ABa 时， A6（3）解：因为四边形 EFBD 是直角梯形，所以几何体 ABFED 为四棱锥 AEFBD BF DEBD1 a1 a2a因为 SEFBD325 2 2，22a1212a

16、 ，点 A 到平面 EFBD 的距离为 hAC22所以 VA EFBD1 SEFBD h15 2 a22 a5 a3 331223653故几何体 ABFED 的体积为a 19（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列an 的首项为 10，公差为 2，所以 an10n 1 2 ，即 an2n 8 所以 bnn an6n n22n 2an n2（2）由（ 1）知 bn2n2n 8n24n 8 n 2 3 2 n 2 2 3 ，因为 52 2 3 6 ，所以当 n5 时， anbn ，当 n5时， bn a

17、n 2n8,n5,所以 cnmax an , bn22n,n5.n当 n 5 时，Sn c1c2 c3cna1a2 a3an1012142n8102n8nn29n 2当 n 5 时，Sn c1 c2c3cna1a2a5b6b7bn529 5622 6722 7822 8n22 n70627282n22678n70 122232n212223242522 6 n n 5270n n 1 2n 155 6 nn561 n31 n25 n45 326n29n,n5,综上可知， Sn1 n31 n25 n45,n5.32620（本小题满分）（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知

18、识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）解：（1）因为f xx36x29x3 ，所以 fx3x212x93 x1 x 3 令 f '(x)0，可得 x1或 x3则 f '(x), f (x) 在 R 上的变化情况为：x,111,333,fx+00+fx增函数1减函数3增函数所以当x1 时，函数fx 有极大值为1，当 x3时，函数fx 有极小值为3 （2）假设函数fx 在 3,上存在“域同区间”s, t3st ，由（ 1）知函数 fx 在3,上单调递增fss,32s6s9s3 s,所以t即ft.t 36t 29t3t.也就

19、是方程x36x29x3x 有两个大于 3 的相异实根设 g (x)x36x28x3x3 ，则 g ( x)3x212x8 令 g x0 ，解得 x12233 ， x2 2233 33当 3 xx2 时， g x0 ，当 xx2 时， g x0 ，所以函数 gx在区间 3, x2上单调递减，在区间x2 ,上单调递增因为 g 36 0 ， g x2g 3 0 ， g 5 120 ，所以函数 g ( x) 在区间 3,上只有一个零点这与方程 x36x29x3x 有两个大于 3 的相异实根相矛盾，所以假设不成立所以函数 f ( x) 在 3,上不存在“域同区间” 21（本小题满分）（本小题主要考查直线

20、的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：设双曲线 E 的半焦距为 c ，c35 ,由题意可得 a5c2a24.解得 a5 （2）证明： 由（ 1）可知，直线 xa25，点 F23,0 设点 P5 ,t, Q x0 , y0 ，333因为 PF2 QF20，所以 35 ,t3x0 ,y00 3所以 ty043x03因为点 Qx0 , y0在双曲线 E 上，所以 x02y021，即 y024x025 y02545所以 kPQkOQy0ty0ty05x25x00x0x0334x0254x03453255x03 x0所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值4 5（3）证法 1：设点 Hx, y，且过点P5,1的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同3两点 Mx1 , y1， Nx2 , y2，由（ 2）知 y124 x125