湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)

1、湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合M=1，2，N=1，2，3，P=x|x=ab，aM，bN，则集合P的元素个数为（）A3B4C5D62（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）（q）3（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）ABCD4（5分）复数m（3+i）（2+i）

2、（mR，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入某个正整数n后，输出的S（31，72），则n的值为（）A5B6C7D86（5分）已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）07（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD8（5分）已知x，yR，且命题p：xy，命题q：xy+sin（xy）0，则p是

3、q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）当实数x，y满足时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD10（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）Aa=0Ba=1Ca=2Da2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11（5分）已知角的终边经过点（4，3），则sin（+）=12（5分）已知4a=，lgx=a，则x=13（5分）若f（x）=，则满

4、足f（x）0的x的取值范围是14（5分）已知，均为单位向量，且满足=0，则（+）（+）的最大值是15（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887人们称该数列an为“斐波那契数列”若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bn中第2014项的值是；数列bn中，第2014个值为1的项的序号是三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应

5、写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围17（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2（）求角C的大小和BD的长；（）求四边形ABCD的面积及外接圆半径18（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（nN+，且1n98）的关系表如下：n123498p1又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a0）（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量

6、应定为多少件？（1.73）19（13分）数列an满足：a1=1，a2=2，an+2=（1+）an+sin2，nN+（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Sn=b1+b2+bn，证明：Sn2（nN+）20（13分）如图，椭圆=1（ab0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，MF1F2的周长为4（+1）设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1k2=1；（）是否存在常数，使得|AB|+|CD

7、|=|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由21（13分）已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+（m+2）x（mR）的两个极值点，若4（）求实数m的取值范围；（）求f（b）f（a）的最大值湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）集合M=1，2，N=1，2，3，P=x|x=ab，aM，bN，则集合P的元素个数为（）A3B4C5D6考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：首先，根据aM，bN，逐一对a，b的取值情形进行讨论，然

8、后，求解x=ab的取值情形解答：解：当a=1，b=1时，x=1；当a=1，b=2时，x=2；当a=1，b=3时，x=3；当a=2，b=1时，x=2；当a=2，b=2时，x=4；当a=2，b=3时，x=6；根据集合的元素满足互异性，得P=1，2，3，4，6共5个元素故选C点评：本题重点考查集合中的元素性质，集合的列举法表示等，属于容易题2（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）ApqBp（q）C（p）（q）D（p）（q）考点：复合命题 专题：简易逻辑分析：命题“至少有一

9、位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少一个发生”解答：解：设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”表示p与q至少一个发生，即p与q至少一个发生，表示为（）p（q）故选：D点评：本题考查用简单命题表示复合命题的非命题，属于基础题3（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义 专题：计算题分析：利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得 解答：解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相

10、同，故选 C点评：本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键4（5分）复数m（3+i）（2+i）（mR，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义，即可得到结论解答：解：m（3+i）（2+i）=3m2+（m1）i，对应的坐标为（3m2，m1），当时，即，此时不等式无解，即复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算即可得到结论，比较基础5（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应

11、的程序若输入某个正整数n后，输出的S（31，72），则n的值为（）A5B6C7D8考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的S（31，72），确定跳出循环的k值，从而确定判断框的条件，可得答案解答：解：由程序框图知：第一次循环S=1+0=1，k=2；第二次循环S=1+2×1=3，k=3；第三次循环S=1+2×3=7，k=4；第四次循环S=1+2×7=15，k=5；第五次循环S=1+2×15=31k=6；第六次循环S=1+2×31=63，k=7；第七次循环S=1+2×63=127，k=8输

12、出的S（31，72），跳出循环的k值为7，判断框的条件为k6故选：B点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法6（5分）已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），则（）Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；解答：解：已知x0是的一个零点，x1（，x0），x2（x0，0），可令h（x）=，g

13、（x）=，如下图：当0xx0，时g（x）h（x），h（x）g（x）=0；当xx0时，g（x）h（x），h（x）g（x）=0；x1（，x0），x2（x0，0），f（x1）0，f（x2）0，故选C；点评：此题主要考查指数函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这是2015届高考的热点问题，是一道基础题；7（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的求值分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出的最小值解答：

14、解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移的单位，所得图象是函数y=sin（2x+2），图象关于y轴对称，可得2=k+，即=，当k=1时，的最小正值是故选：C点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题8（5分）已知x，yR，且命题p：xy，命题q：xy+sin（xy）0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：构造函数f（t）=t+sint，利用导数研究函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：令t=xy，设f（t）=

15、t+sint，则f（t）=1+cost0，于是函数f（t）在R上是单调递增函数，若xy，即xy0时，因为函数f（t）在R上是单调递增函，所以当t0，有f（t）f（0）成立，而f（0）=0+sin0=0，即有当xy0，有xy+sin（xy）0成立，即充分性成立；若xy+sin（xy）0时，即t+sint0，即是f（t）f（0）（因为f（0）=0，由函数f（t）在R上是单调递增函，所以由f（t）f（0）得t0，即是xy0，即必要性成立，综上所述：p是q的充要条件故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，构造函数，利用函数的单调性是解决本题的关键9（5分）当实数x，y满足时，1ax+y4恒

16、成立，则实数a的取值范围是（）ABCD考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，再由1ax+y4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围解答：解：由约束条件作可行域如图，联立 ，解得C（1， ）联立 ，解得B（2，1）在xy1=0中取y=0得A（1，0）要使1ax+y4恒成立，则，解得：1a实数a的取值范围是故选：C点评：本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题10（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=

17、相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）Aa=0Ba=1Ca=2Da2考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由定义，可先设点B的坐标，再由点A，B的坐标表示出中点的坐标，由中点坐标在曲线M上，建立关于x的方程，研究此方程有几个根，即可得出a的值解答：解：设点B（x，ln（x+1），则点A，B的中点的坐标是（，），由于此点在曲线M：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即两函数y=ln（x+1）与y=的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数y=ln（x+1）与y=的交点个数为1，故符合条件的

18、关联点仅有一个，所以a=1故选：B点评：本题考查函数图象的对称性，方程的根与相应函数交点个数的关系，考查了转化思想，数形结合的思想，解答本题的关键是如何入手，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11（5分）已知角的终边经过点（4，3），则sin（+）=考点：同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：利用任意角的三角函数的定义可求得cos=，再利用诱导公式即可求得答案解答：解：角的终边经过点（4，3），cos=，sin（+）=cos=，故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题12（5分）已知4a

19、=，lgx=a，则x=考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：先对4a=两边取对数，求出a的值，再根据对数的运算性质计算即可，解答：解：4a=，a=log4=lgx=lg，x=故答案为：点评：本题主要考查对数运算性质，属于基础题13（5分）若f（x）=，则满足f（x）0的x的取值范围是（0，1）考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可解答：解：f（x）=，若满足f（x）0，即，y=是增函数，的解集为：（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力14（5分）已知，均为

20、单位向量，且满足=0，则（+）（+）的最大值是2+考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：首先将已知等式展开，得到（+）（+）=2+（2+），再利用向量的数量积转为关于向量夹角的式子，求最值解答：解：，均为单位向量，且满足=0，（+）（+）=2+2+2+=2+（2+）=2+|2+|cos，2+=2+cos，2+，当cos，2+=1时，（+）（+）的最大值是 2+故答案为：2+点评：本题考查了向量的数量积的定义以及运用，当向量的夹角为0°时，数量积最大15（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起

21、，每一个数都等于他前而两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887人们称该数列an为“斐波那契数列”若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bn中第2014项的值是3；数列bn中，第2014个值为1的项的序号是4027考点：数列的概念及简单表示法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论解答：解：1，1，2，3，5，8，13，除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0，即新数列bn是周期

22、为6的周期数列，b2014=b235×6+4=b4=3，在每一个周期内，含有3个1，2014=671×3+1，第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，则671×6+1=4027，故答案为：3；4027点评：本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx2sin2x+a，aR（）求函数f（x）的最小正周期；（）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法

23、专题：三角函数的图像与性质分析：（）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（）令f（x）=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解解答：解：（）f（x）=sin2x+cos2x+a1=2sin（2x+）+a1，T=，函数f（x）的最小正周期为（）令f（x）=0，即2sin（2x+）+a1=0，则a=12sin（2x+），1sin（2x+）1，112sin（2x+）3，若f（x）有零点，则实数a的取值范围是点评：本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题17（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB

24、=1，BC=3，CD=DA=2（）求角C的大小和BD的长；（）求四边形ABCD的面积及外接圆半径考点：余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=cosC，在BCD中，和在ABD中分别应用余弦定理即可求得BD和角C；（）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由四边形ABCD的面积为SABD+SBCD，应用面积公式，即可得到面积，再由正弦定理，得到比值为外接圆的直径，即可得到半径解答：解：（）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=cosC，由题设及余弦定理得，在BCD中，BD2=BC2+CD22BCCDcosC=

25、1312cosC，在ABD中，BD2=AB2+DA22ABDAcosA=5+4cosC，由得，故C=60°，则（）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由（）的结果及题设，可知四边形ABCD的面积= 由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径点评：本题考查余弦定理以及应用，三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直径，考查运算能力，属于中档题18（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（nN+，且1n98）的关系表如下：n123498p1又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a0）（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的

26、一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（1.73）考点：函数模型的选择与应用 专题：应用题分析：（1）由题意可知p=（1n98，nN+）日产量n件中，正品（npn）件，从而可得日盈利额函数；（2）求出日产量函数，利用基本不等式，即可求得结论解答：解：（1）由题意可知p=（1n98，nN+）日产量n件中，正品（npn）件，日盈利额T（n）=a（npn）pn=a（n）（1n98，nN+）（2）=3+n（a0）=103103268.4，当且仅当100n=，即n=1001082.7，而nN+，且，故当n=83时，取得最大值，即T取得最大值点评：本题考查根据实际问题选择函数类

27、型，根据题意列出函数关系式，并考查利用基本不等式求最值，属于中档题19（13分）数列an满足：a1=1，a2=2，an+2=（1+）an+sin2，nN+（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Sn=b1+b2+bn，证明：Sn2（nN+）考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）由已知结合an+2=（1+）an+sin2，nN+，得到当n=2k1（kN+）时，a2k+1a2k1=1当n=2k（kN+）时，a2k+2=2a2k然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得数列an的通项公式；（）把数列an的通项公式代入bn=，利用错位相减法求出Sn=b1+b2+bn，放缩证得Sn2（n

28、N+）解答：（）解：a1=1，a2=2，由题设递推关系式有，一般地，当n=2k1（kN+）时，即a2k+1a2k1=1数列a2k1是首项为1公差为1的等差数列，因此a2k1=k当n=2k（kN+）时，数列a2k是首项为2公比为2的等比数列，因此故数列an的通项公式为；（）证明：由（）知，于是，从而，得=故有Sn2点评：本题考查了等差关系和等比关系的确定，考查了错位相减法去数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题20（13分）如图，椭圆=1（ab0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A

29、2，MF1F2的周长为4（+1）设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1k2=1；（）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由考点：圆锥曲线的综合 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意知，确定椭圆离心率，利用椭圆的定义得到又2a+2c=4（ +1），解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x2），联立直