学高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ2.3 幂函数练习 新人教A版必修1

1、2.3 幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的定义2,4,12幂函数的图象3,6,7,10幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,151.下列幂函数在(-,0)上为减函数的是(c)(a)y=(b)y=x3(c)y=x2(d)y=x解析:y=,y=x3,y=x在(-,0)上都是增函数,故选c.2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)为减函数,则m的值为(c)(a)1或3 (b)1 (c)3 (d)2解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,所以m2-4m+4=1,解得m=3或m=1.由x(0,+)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,解得2<m&l

2、t;4.所以m=3,故选c.3.如图,曲线c1与c2分别是y=xm,y=xn在第一象限的图象,则(b)(a)n<m<0(b)m<n<0(c)n>m>0(d)m>n>0解析:由题图及其单调性可得m<n<0.故选b.4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数m等于(a)(a)-1 (b)2(c)3 (d)-1或2解析:因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,所以解得m=-1.故选a.5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是(b)(a)c<a<b(b)c<b<a(c)a&l

3、t;b<c(d)b<a<c解析:因为-<-,所以a=()>b=().因为函数f(x)=在(0,+)上单调递减,所以b=()>c=(),所以a>b>c.故选b.6.已知幂函数f(x)=x的图象经过点(2,),则f(4)的值等于. 解析:由f(x)=x的图象经过点(2,),得=2,所以=-,则f(4)=2-1=.答案:7.函数y=x+2(x>0)的图象恒过定点. 解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).答案:(1,3)8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为. 解析:由题意设f(x)=xm,

4、由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.所以f(x)=x-2=,故其值域为(0,+).答案:(0,+)9.已知(m2+m(3-m,求实数m的取值范围.解:设函数y=,函数为r上的单调递增函数,得m2+m-m+3,即m2+2m-30,得(m-1)(m+3)0,所以m的取值范围为m-3,1.10.下列结论中,正确的是(c)(a)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)(b)幂函数的图象可以出现在第四象限(c)当幂指数取1,3,时,幂函数y=x是增函数(d)当幂指数=-1时,幂函数y=x在定义域上是减函数解析:当幂指数=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项a不正确;因为所有的幂

5、函数在区间(0,+)上都有定义,且y=x(r), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项b不正确;当=-1时,y=x-1在区间(-,0)和(0,+)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项d不正确.故选c.11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+)上为减函数,则m的取值是(b)(a)m=2 (b)m=-1(c)m=2或m=-1 (d)-3m1解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.又x(0,+)时f(x)为减函数,当m=2时,m2+2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;当m=-1时,m2+2m

6、-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.综上,m=-1.故选b.12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(nz)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n的值为 . 解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.答案:113.已知,幂函数f(x)=(mz)为偶函数,且在(0,+)上是增函数,则f(2)的值为 . 解析:因为幂函数f(x)=(mz)为偶函数,且在(0,+)上是增函数,则指数是偶数且大于0,因为-m2-2m+3=-(m+1)2+44,因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m

7、=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:1614.若不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.解:由x2-logmx<0,得x2<logmx,要使x2<logmx在(0,)内恒成立,只需y=logmx在(0,)内的图象在y=x2的上方,于是0<m<1.在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图,如图所示.因为x=时,y=x2=,所以只要x=时,y=logm=logm.所以,即m.又0<m<1,所以m<1,即实数m的取值范围是,1).15.已知函数f(x)=+1.(1)判断函数f(x)在区间(0,

8、+)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间1,3上的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间(0,+)上是减函数.证明如下:设x1,x2是区间(0,+)上任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+1)-(+1)=,因为x2>x1>0,所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是减函数.(2)由(1)知函数f(x)在区间1,3上是减函数,所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f37