振动力学与结构动力学第二章21

1、第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动一、自由振动的解一、自由振动的解0)()(tkytym )sin()(tAty)/(,)/(00220yyarctgyyA自由振动自由振动-由初位移、初速由初位移、初速度引起的度引起的, ,在振动中无动荷载在振动中无动荷载作用的振动。作用的振动。lEI)(ty)(tym 一一. .运动方程及其解运动方程及其解EIl)(ty)(tym )()(11tymty )()(11tymtyk 0)()(2tyty 111121mmk其通解为其通解为tctctysincos)(21由初始条

2、件由初始条件0)0(yy0)0(yy可得可得01yc /02yctytytysincos)(00vAysin0vAycos/0)sin()(vtAty22020yyA00tanyy yt0Av/2T22020yyA00tanyy 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。初始条件的说明：初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一种初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能势能，有初始速度即转入

3、了动能二、单自由度系统的动力特性二、单自由度系统的动力特性周期：周期：园频率：园频率：工程频率：工程频率：2Tmk2fstyggmgmmk1与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系何进行振动的方式都毫无关系A A、v v不是系统的固有属性的数不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关处的状态有关 例例: :图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度刚度 ，梁的

4、质量，梁的质量m m=5000kg=5000kg，不计柱，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。26105 . 4NmEI思考题：刚架如何振动？关键是求侧移劲度。HzfsradmkhEIkk502. 4500010421,/284.28,126321求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率（a a）弹簧串联情况；）弹簧串联情况；（b b）弹簧并联情况。）弹簧并联情况。(a)(a)(,),(,21212121212121212211kkmkkkkkkymgkkkkkmgkmgkmgyyymgykykstststststst思考题：串联后系统

5、频率与单个弹簧系统相比有何变化？(b) (b) 并联情况并联情况mkkkkkkkmgymgykykyyystststststst212121221121,思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？ 例：简支梁例：简支梁ABAB，重量不计。在梁的中点位置放一重为重量不计。在梁的中点位置放一重为W W的物体的物体M M时，其静挠度为时，其静挠度为y ystst。现将物体现将物体M M从高度从高度h h处自由处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。

6、ghyyyyyarctgyyyAygststst2,00002020).14. 05 .49sin(86. 2,14. 0,86. 2,/5 .49,10,4 . 0tyradcmAsradygcmhcmystst).25 .49sin(4 . 0,2,4 . 0, 0tycmyAhst2.2.算例算例例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl3127例二例二. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.

7、.3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1解解: :23lEIEIllm/2EIEIll例三例三. .质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33例三：例三： 提升机系统提升机系统重物重重物重 量量NW51047. 1 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 cmNk/1078. 54重物以重物以 的速度均匀下降的速度均匀下降 min/15mv 求：绳的上端突然被卡住时，求：绳的上端突然被卡住时， （1）重物的振动频率，（）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最

8、大张力 Wv解：解：sradWgk/6 .19振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置住瞬时重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(cmttvtx)sin()cos()(00txtxtx振动解：振动解： W静平衡位置静平衡位置kxWv)( )6 .19sin(28. 1)sin()(cmttvtx振动解：振动解： 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和的动张力之和 ：)(1021.

9、2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 kmvvkkA为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 Wv例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径作为角位移的起点位置0kI Ik /扭振固有频率扭振固有频率02 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩)/(radmN kkI由牛顿第二定律：由牛顿第

10、二定律：由上例可看出，除了选择的坐标不同之外，由上例可看出，除了选择的坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数学描述的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的质量系统是广义的 。0 kxxm mk /0kI Ik /kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单

11、自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹弹性元件性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 0 kxxm mk /0kI Ik /kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位

12、置弹簧原长位置k例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 0I重心重心 C 求：求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 mg0Ia0C解：解：由牛顿定律由牛顿定律 ：0sin0mgaI 因为微振动：因为微振动：sin则有则有 ：00mgaI 0/ Imga固有频率固有频率 ：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定理，可，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：得物质绕质心的转动惯量：

13、 0I20maIIcmg0Ia0C例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 300质量质量 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零求：求： 系统的运动方程系统的运动方程m300k重力加速度取重力加速度取 9.8m/s2解：解：x0以静平衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点建立坐标系建立坐标系振动固有频率：振动固有频率：)/(70 1/1049 /2sradmk振动初始条件：振动初始条件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考虑方向考虑方向00 x 初始速度：初始速度：运动

14、方程：运动方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k)sin()cos()(00txtxtx 能量法（补充）对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率统的固有频率无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能 V 之和保持不变之和保持不变 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：221xmT势能：势能：

15、mgx （重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒为不可能恒为 0 x 0 kxxm kmg 221kxxkmgx221kx0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k零势能点零势能点222121kxxmVT如果将坐标原点不是取在系统的静平衡如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置位置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能：221xmT 势能：势能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 设新坐标设新坐标 kmgxy0 kyym 221 kx

16、mgx x0mxk零势能点零势能点y静平衡位置静平衡位置弹簧原长弹簧原长考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(tAtxmk /maxmaxxxmaxmaxVTmaxmax对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置k静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk例：如图所示是一个倒置的摆

17、例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 2k求求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率(2) 摆球摆球 时，测得频率时，测得频率 为为 ， 时，测得频率为时，测得频率为 ，问摆球质量为多少千克时恰，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？使系统处于不稳定平衡状态？ m0.9kgfZ1.5Hm1.8kgZ0.75Hlmak/2k/2（1）解法）解法1：广义坐标广义坐标动能动能2222121mlIT势能势能maxmaxUTmaxmax22mlmglka 零势能位置零势能位置1cos1212122mgl

18、akV零势能位置零势能位置1)(21 222mglka2221 kamgl 112sin2222)(21 mglka lmak/2k/2解法解法2：零势能位置零势能位置2动能动能2222121mlIT势能势能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglkaml 22mlmglka 零势能位置零势能位置22sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/2（2）平衡临界位置的确定2 0kamgl利用：m0.9kg，测得频率，测得频率f 为为 Z1.5Hm1.8kg，测得频率，测得频率

19、f 为为 Z0.75H2 24.5gll22 212.6kal，2.8kgm 瑞利法 利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限mkx0 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有

20、频率明显偏高例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能: 221xmTtt 系统最大动能：系统最大动能： 2max2maxmax2121xmxmTt系统最大势能：系统最大势能： 2maxmax21kxVmaxmaxxxtmmk若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 tm2max)(21xmmttm弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限 等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势

21、能写成如下形式： 221xMTe 221xKVe 当当 、 分别取最大值时：分别取最大值时：x x则可得出：则可得出： maxTT maxVV eeMK /Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 动能动能2221mlT 势能势能22mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零势能位置零势能位置1lmak/2k/2第二节第二节 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、一、有阻尼自由振动的解有阻尼自由振动的解

22、特征方程的根：特征方程的根：122, 1r1 1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼)1 ()(, 1002, 1tytyetyrt2 2、超阻尼情况、超阻尼情况mc2, 1或)(000tshyytchyetyDDDt 体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。3 3、负阻尼情况、负阻尼情况 00或或c0c0 阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不阻尼本来是耗散能量的，

23、负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。4 4、低阻尼或小阻尼情况、低阻尼或小阻尼情况 11或或c2mc2m cossin)(000tytyyetydddt21d考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。 结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比比 在在0.050.05左右，拱坝在左右，拱坝在0.0

24、3-0.050.03-0.05，重力坝包括大头坝在，重力坝包括大头坝在0.05-0.10,0.05-0.10,土坝、堆石坝在土坝、堆石坝在0.10-0.200.10-0.20之间。强震时，之间。强震时， 还会还会增加一些，但其值也是不大的。即使取增加一些，但其值也是不大的。即使取0.020.02代入求得的频率与代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。计阻尼的影响。 不同阻尼比对自由振动幅值的影响不同阻尼比对自由振动幅值的影响ty(t)2 . 014 . 1临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过

25、阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：111欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 二、阻尼的量测二、阻尼的量测小阻尼解答经过三角转换可写小阻尼解答经过三角转换可写成成000120020,)()sin()(yyytgyyyAtAetydddt其中可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在在t ti i时

26、刻，时刻，y yi i=Ae=Ae- -t ti i; ;在在t ti i+T+Td d时刻，时刻，y yi+1i+1=Ae=Ae- -(t(ti i+T+Td d),),定义自定义自然对数递减率然对数递减率 y y自由振动衰减曲线自由振动衰减曲线 2222221)()2(122ln,)2(122lnyyddmiiymiiyyddiiymmmmTyyyymTyy从而得阻尼比同样有和个周期的幅值可以量测相隔因素产生的误差，更高的精度和避免偶然为了获得由此可得阻尼比 例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M M产生侧移产生侧移25mm25mm，然后突然放开，刚架产生自

27、由振动，振动，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5 5周周后测得的侧移为后测得的侧移为7.12mm7.12mm。试求。试求 ：（：（1 1）考虑阻尼时）考虑阻尼时的自振频率；（的自振频率；（2 2）阻尼比和阻尼系数；（）阻尼比和阻尼系数；（3 3）振动）振动1010周后的振幅。周后的振幅。解：由解：由y y0 0=25mm, y=25mm, y0+5TD0+5TD=7.12mm,=7.12mm,有：有：Hzffsradskgmcmddy498. 4)1 (/261.28)1 (/6 .113132,04. 012. 725ln101222mmyeyyeyymneyydddmnmn028. 2

28、,1050,1010201052052，有，取由kN4 .160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk) s (5 .04/2DT) s (4998.012DTT)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW)s/mN(36012mc)s/1 (89.1368005190102 .8252)s/1 (70.11)s (537.0/2T0257.02/mc 三、相轨迹与奇点三、相轨迹与奇点 1、相平面的相轨迹、相平面的相轨迹 状态变量状态变量 相平面相平面 相轨迹相轨迹 相轨迹的几何特征相轨迹的几何特征2 2、相平面的奇点

29、、相平面的奇点奇点：奇点：相平面内平衡点：相平面内平衡点：李雅普洛夫稳定性李雅普洛夫稳定性李雅普洛夫稳定性李雅普洛夫稳定性: : 设系统的状态方程为设系统的状态方程为Axx 式中A为nn方阵。设系统原来的平衡状态为xe=0,在扰动产生了初始状态x0以后，系统状态x(t)将从x0开始按下列规律转移：0)(xetxAt如果对于任意初始状态x0,由它引起的系统运动x(t)满足0lim)(lim0 xetxAttt那么，线性定常系统就是稳定的（李雅普诺夫稳定性定义下的渐近稳定）(a)(b)(c)习题：习题：2-1(a)2-1(a)、（、（b b）、）、(d)(d)、(e)(e)刘延柱编刘延柱编振动力学

30、振动力学P32P32页，页，E1.1E1.1、E1.3E1.3、E1.4E1.4第三节第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动受迫振动一、无阻尼受迫振动一、无阻尼受迫振动 1 1、无阻尼受迫振动方程解、无阻尼受迫振动方程解tFtkytymsin)()( 运动方程的解运动方程的解tmFtmFtytytysin)(sin)(cossin)(222200上式中，前三项都是频率为上式中，前三项都是频率为 的自由振动。但第一、二项是的自由振动。但第一、二项是初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作

31、用而产生的，称为伴生自由振动。第四项伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。2 2、动力系数、动力系数 22222max221( )sinsin()(1)sin1/1 ()stFstFFFy tttmmytyy动力系数变化曲线动力系数变化曲线例例: :图示无重简支梁，在跨中图示无重简支梁，在跨中W20kN的电机，电机偏心所产的电机，电机偏心所产生的离心力生的离心力F(t)，若机器每分钟的转数，若机器每分钟的转数n=500rad/min，梁的，梁的EI=1.00810000kN.m2。在

32、不计阻尼的情况下，试求梁的最大。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。位移和弯矩。解：（解：（1 1）梁的自振频率）梁的自振频率mEIWlyst00265. 010008.radygst/812.60（2 2）系统的动力系数）系统的动力系数866. 3)(11/36.52605001416. 3260222sradn想想看还有没有其他方法求自振频率？想想看还有没有其他方法求自振频率？（3 3）梁跨中截面的最大位移和弯矩）梁跨中截面的最大位移和弯矩mkNFlWlMMMmyyystFststFst.66.584400776. 0maxmax思考题：第二个式子怎么来的

33、？思考题：第二个式子怎么来的？22222( )( ( )()()sin441(1)sin()sinsin444stlWlM tF tyFy mtgFlFlFlttt 思考题：如何求某一截面的思考题：如何求某一截面的Qmax?3231482 . 1,488 . 0sin)(mlEImlEItFtF例例: : 图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力位移。动力位移。解：按叠加原理解：按叠加原理 tmFymtFmtFyytFymtFtFyisin)(11)687

34、5. 0()(6875. 0)()()()()(221112212111211 （1 1）惯性力前为何加负号？）惯性力前为何加负号？（2 2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？（3 3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化？化？例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 5 . 0动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算tAty sin)(st FAy22/11 sinPt1EIEIEIPPl/4解解. . 31124lEIk31124st FPPl

35、ykEI34/1122 3118st FPlAyEIPl/3动弯矩幅值图动弯矩幅值图例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: :./500,10,35,210,108.8,445分转nkNFkNQGPaEmIml解解. . S/13 .62/111Qgmm10722.0311Fyst4 .3/1122 m1045.23styAtFsinQ/2/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111/4m/N10722.0487311EIlkN.m1041FlMstS/13 .5260/2

36、n 振幅振幅动弯矩幅值动弯矩幅值kN.m34stDMM跨中最大弯矩跨中最大弯矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移3max4.98 10 mQyA 动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算 FF1112*tFsin)(ty)(sin)(1112ymtFty )(tym tFsin12=111=1tFtytymsin)(1)(111211 令令tFtytymsin)(1)(*11 tmFtysin)(2*11*2*FmFA111112FF12stFystyP仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅 列幅

37、值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 tAtysin)(31 155222648stFFllFlylEIEI解解: :5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tFtFsin)(同频同步变化同频同步变化tFsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/11223536stFFlAyEIstFy=1112/Fll重要！1122441AmAmAIF485FF485Fl965Fl4829动弯矩幅值图动弯矩幅值图31 155222648stFFllFlylEIEI解解: :5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅

38、值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知tFsinEIl/2l/2)(tyAm2AstFy=11134/11223536stFFlAyEI2/Fll解解: :例例: :求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅 0oMkmFA410321122441AmAmAIF485FF485Fl965Fl4829动弯矩幅值图动弯矩幅值图tFsinlkEIllAF2mA231mAAk32o二、有阻尼受迫振动二、有阻尼受迫振动1 1、解的形式、解的形式)sin(sin)sincos(cossinsin)(cos)(sin)()()(000tAtAetAetyyetyetytFtkytyctymdd

39、dtdtdddtdt 式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。只存下稳态受迫振动。2/1222)2()1()sin()sin()(stddstyAtytAty 2 2、幅频曲线、幅频曲线2221( )(1)(2)d简谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性： 以以 为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 ( )

40、d激振频率相对于系统固有频率很低激振频率相对于系统固有频率很低 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 A 与静位移与静位移 B 相当相当 sinFytk0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 01（1）当）当 1（ ） 幅频曲线幅频曲线结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d（3）在以上两个领域）在以上两个领域 1， 1幅频曲线幅

41、频曲线结论：共振时振幅无穷大结论：共振时振幅无穷大（4）当）当1对应于较小对应于较小 值，值， 迅速增大迅速增大 ( )d当当0( )d 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 =1 附近的区域内附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降，增加阻尼使振幅明显下降 .幅频曲线幅频曲线max2121d0ddd2120123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d（5）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统， 并不出并不出现在现

42、在 =1处，而且稍偏左处，而且稍偏左. maxd幅频曲线幅频曲线（6）当）当2/11d振幅无极值振幅无极值 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d幅频曲线幅频曲线112dsQ记：记：品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ， /2dQ1221带宽带宽Q与与 有关系有关系 ：Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，带越大，带宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 d2Q2/Q122221( )(1)(2)dP33-34有证明 3 3、相频曲线、相频曲线相频特性曲线相频特性曲线 1221tg相位差相位差

43、0位移与激振力在相位上几乎相同位移与激振力在相位上几乎相同 位移与激振力反相位移与激振力反相 （3）当）当1共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2( )d0123090180以以 为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线 ( )d（1）当）当 1（ ） 4 4、系统上各个力的平衡、系统上各个力的平衡由已知的荷载 , 以及求得的位移)sin()(tFtF)sin()sin()sin()(tkFtytAtydstd)cos(2)()(),sin()()(),sin()sin()()(22tFtyctFtFtkytFtFtmkFtymtFdddsddi 有， 当荷载频率远小于系统自

44、振频率时，当荷载频率远小于系统自振频率时，0, 0, 惯性力惯性力F Fi i(t)(t)和阻尼力和阻尼力F Fd d(t)(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；都很小，荷载主要由弹簧力平衡；想想：此时相当于什么情况?n当荷载频率远大于系统自振频率时，当荷载频率远大于系统自振频率时，, , 荷载主要荷载主要由惯性力平衡；由惯性力平衡；当荷载频率接近系统自振频率时，1, 此时阻尼力)sin()2(12)21()(tFCOSFtFd此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振区内（共振区内（0.75-1.25)0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。阻尼

45、力不可以忽略。稳态响应中四个力的平衡5 5、半功率法确定阻尼比、半功率法确定阻尼比styyy22121max简谐荷载受迫振动的幅频曲简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼线可以用来确定系统的阻尼比比。取曲线上取曲线上a a、b b两点，令纵两点，令纵坐标坐标代入幅频曲线公式，经处理后代入幅频曲线公式，经处理后有有)(21)(211212例例. .图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min, ,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起

46、的离心力为F F=30kN. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。N101563mN/m105 .13146K2.0解：解：33300.022810m1314.510stFFyK)s/1 (79.9110156105 .131436mK( )sinF tFt283.78(1/ s)60N22221/(1/)(2/)2.490.0568(mm)stFAy例：例：汽车的拖车在波形道汽车的拖车在波形道路上行驶路上行驶已知拖车的质量满载已知拖车的质量满载时为时为 m1=1000 kg空载时为空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m阻尼比在满载时为阻尼

47、比在满载时为5 . 01车速为车速为 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示为路面呈正弦波形，可表示为lzaxf2sin求：求： 拖车在满载和空载时的振幅比拖车在满载和空载时的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz解：解：汽车行驶的路程可表示为：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：路面的激励频率：tlvaxf2sinvtz srad /9 .34kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 为常数，因此为常数，因此 与与 成反比成反比m因此得到空载时的阻尼比为：因此得到空载时的阻尼比为：2112mm满载和空载时的频率比：满载和空载时的频率比：101220

48、20.93mk因为有：因为有：l =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz满载满载: m1=1000 kg空载空载: m2=250 kg5 . 01车速车速 : v =100 km/hlzaxf2sin2 vl0 . 1k =350 kN/m1mk87. 1满载时频率比满载时频率比记：满载时振幅记：满载时振幅 B1，空载时振幅，空载时振幅 B2有：有：满载时阻尼比满载时阻尼比空载时阻尼比空载时阻尼比0 . 1211.87空载时频率比空载时频率比20.9321112221111 (2)0.68(1)(2)Ba 22222222221 (2)1.13(1)(2)Ba 因此满载和空载时的振幅比：因

49、此满载和空载时的振幅比：60. 021BB5 . 01l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz 简谐惯性力激励的受迫振动小结简谐惯性力激励的受迫振动小结背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 ( )i tfxtDe坐标：坐标：动力学方程：动力学方程： 0)(1111kxxcxxmf 基座位移规律基座位移规律 ：x1 相对基座位移相对基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析受力分析xfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座

50、位移振幅：基座位移振幅21 111i tm xcxkxmDe21 111i tm xcxkxmDe0i tmxcxkxF e()itdstFxxe0stFFxk2221(1)(2)d122( )1tg 依据：依据：令：令：20mDF1()1itdstFxxe1()0itdFek12() itdmDek12()222 (1)(2)itDe1()1itdDe有：有：21222( )(1)(2)d1122( )1tg 其中：其中：xfkc1xmx02km0i tmxcxkxF e补：振动微分方程解补：振动微分方程解显含时间显含时间 t非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐

51、次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应0i tmxcxkxF e振动微分方程：振动微分方程：设：设：i txxe0( )xHF代入，有：代入，有：21( )Hkmic复频响应函数复频响应函数 振动微分方程：振动微分方程：222i tstFxxxxekm2ckm0stFFxk引入：引入：2222112( )(1)(2)iHk2221( )(1)(2)d122( )1tg 振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差则：则：1idek ：稳态响应的复振幅：稳态响应的复振幅 x静变形静

52、变形0i tmxcxkxF ei txxe22221121( )(1)(2)idiHekk0( )xHF()0itdFxekdAB稳态响应的实振幅稳态响应的实振幅 2221( )(1)(2)d0stFFxk()itAe122( )1tg 21 111i tm xcxkxmDe1()11itdxDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg 0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1( )d1 0 01901801( ) 幅频曲线幅频曲线相频曲线相频曲线若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标fxxx11()1iti tdxDeDe1()11itdxDe( )i tfxtD

53、e其中：其中：则有：则有：11()1()iitdeDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg xfkc1xmx0mkxxfc1x12111222(cossin)(1)(2)idei222221 (2)(1)(2)d12(2)tg11()1()iitdxeDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg 2222222222212(1)(2)(1)(2)(1)(2)i22212(1)(2)i222221 (2)(1)(2)ie22ide2222211 (2)(1)(2)ie11()1()iitdxeDe1212iiddee222221 (2)(1)(2)d12(2)tg12()

54、()22ititddxDeDe12代入：代入：211i txDe无阻尼情况：无阻尼情况：21222( )(1)(2)d1122( )1tg xfkc1xmx0mkxxfc1x222221 (2)(1)(2)d12()()22ititddxDeDe幅频曲线幅频曲线01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 2( )d2可看出：可看出：当当 时，时，221d振幅恒为支撑运动振幅振幅恒为支撑运动振幅D当当 时，时，221d振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x 机械阻抗与导纳机械阻抗与导纳*工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特

55、性工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性 机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比 0i tmxcxkxF e0i tF ei txxe0( )xHF21( )Hkmic0( )i txi tF eZxe动力学方程：动力学方程：输入：输入：输出：输出i txxe代入，得：代入，得：复频响应函数复频响应函数根据定义，位移阻抗：根据定义，位移阻抗：2kmicxF0 1( )H2001( )( )i txi tF eFZkmicxexH21( )Hkmic位移阻抗与复频响应函数互为倒数，位移阻抗与复频响应函数互为倒数， 也称为也称为导纳导纳 (

56、 )H输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻速度阻抗抗和和加速度阻抗加速度阻抗 001( )( )i ti txxi tF eF eZZxi xei21( )( )xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗的倒数称为机械阻抗的倒数称为机械导纳机械导纳，相应，相应 、 、 分分别有别有位移导纳位移导纳、速度导纳速度导纳和和加速度导纳加速度导纳( )xZ( )xZ( )xZ2001( )( )i txi tF eFZkmicxexH位移阻抗位移阻抗001( )( )i ti txxi tF eF eZZxi xei21(

57、 )( )xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数），它们都是复数 现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率、相对阻尼系数等参数阻抗可以确定和分析系统的固有频率、相对阻尼系数等参数及其它动力特征及其它动力特征 复频响应函数又可写为：复频响应函数又可写为：21( )Hkmic22211( )(1)(2)Hk模及幅角：模及幅角： 12222arg( )(1)(2)Htg同

58、时反映了系统响应的幅频特性和相频特性同时反映了系统响应的幅频特性和相频特性( )H211(1)(2)ki0dstFxFdk0/dstFFx 222211Re()(1)(2)Hk22212Im()(1)(2)Hk 22111( )(1)(2)Hkmicki记记 实部和虚部为：实部和虚部为：实频特性曲线和虚频特性曲线实频特性曲线和虚频特性曲线 发生共振时发生共振时0)Re(H)Im(H近似取最大值近似取最大值 101010)Re(H0)Im( H粘性阻尼系数的粘性阻尼系数的 Nyquict 图是一个近似的园，并且图是一个近似的园，并且在共振点附近，曲线弧长在共振点附近，曲线弧长随随 的变化率是最大

59、的的变化率是最大的Nyquict图在结构动力分图在结构动力分析上有很多用处析上有很多用处 -6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)0.10.05110.96 21.040.981.020.961.04还可以用频率比还可以用频率比 或相对阻尼系数或相对阻尼系数 作参变量，把作参变量，把 画画在复平面上，这样得到的曲线称为在复平面上，这样得到的曲线称为乃奎斯特图乃奎斯特图（Nyquict plot） ( )H 质量为m的物体挂在弹簧系数为 K的弹簧一端，另一端B沿铅直按 作简谐运动，考虑粘滞阻尼力作用，求物体运动规律。sindt解：取0时物体的平衡位置o为坐标原点，物

60、体的运动微分方程为0,()0,sincisstWFFFWcymyk yymycykykdt右端等价于一个干扰力 参照标准形式，可得物体运动规律：22212222sin(),(1)(2),(1)(2) stdyAtFAkFkdydkkAd由上式可知，当物体较重，且弹簧常数k很小，而悬挂点A振动的频率 很高，导致很大，物体的振幅A0,物体静止。 在精密仪器与其支座之间装以弹簧系数很低的柔软弹簧，当支座振动强烈时，弹簧的一端将随同支座一起振动。若支座的频率比仪器弹簧系统的固有频率高得多，仪器将近乎静止而不致损坏。思考题：试解释一下地震仪工作原理。低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为低固有频率