浙江专用高中数学第一章空间几何体1.31.3.2球的体积和表面积学案新人教A版必修2201

1、11.3.21.3.2球的体积和表面积球的体积和表面积目标定位1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.自 主 预 习球的体积公式与表面积公式(1)球的体积公式v43r3(其中r为球的半径)(2)球的表面积公式s4r2即 时 自 测1.判断题(1)球的半径为r，那么它的体积v43r3.()(2)半径为 3 的球的体积是 36.()(3)球的半径为r，那么它的表面积s4r2.()(4)半径为 2的球的表面积等于 2.()提示(4)s球4( 2)28.2.两个球的半径之比为 13，那么两个球的表面积之比为()a.19b.127c.13d.11解析由

2、表面积公式知，两球的表面积之比为r21r2219.答案a3.球的体积是323，则此球的表面积是()a.12b.16c.163d.643解析设球的半径为r，则v43r3323，r2，表面积s4r216.答案b4.两个半径为 1 的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是_.解析设大球的半径为r，则有43r324313，r32，r32.答案3223类型一球的表面积和体积【例 1】 (1)已知球的表面积为 64，求它的体积.(2)已知球的体积为5003，求它的表面积.解(1)设球的半径为r， 则 4r264， 解得r4， 所以球的体积v43r343 (4)32563.(2)设球的半径为r，则43r3

3、5003，解得r5，所以球的表面积s4r2452100.规律方法1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练 1】在封闭的直三棱柱abca1b1c1内有一个体积为v的球，若abbc，ab6，bc8，aa13，则v的最大值是()a4b.92c6d.323解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为 3，v的最大值为92.答案b类型二球的截面问题(互动探究)【例 2】 平面截球o的球面所得圆的半径为 1.球心o到平面的距离为 2，则此球的体积为()a. 6b.4 3c.4 6d.6 3思路探究探究点

4、一用一个平面去截球，截面是什么？提示圆面.探究点二有关球的截面问题的解题策略如何？提示有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决，计算时，需要注意球心与截面圆心之间的距离，截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.解析如图，设截面圆的圆心为o，4m为截面圆上任一点，则oo 2，om1.om （ 2）21 3.即球的半径为 3.v43( 3)34 3.答案b规律方法有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.【训练 2】 已知半径为 5 的球的两个平行截面圆的周长分别为 6和 8，则这两个截面间的距离为_.解析若两个平行截面在球心同侧，如

5、图(1)，则两个截面间的距离为 5232 52421；若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为 5232 52427.答案1 或 7类型三球的组合体与三视图【例 3】 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.解由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方体，上部是半径为 1 的半球，该几何体的表面积为s124126221224.该几何体的体积为：v23124313823.规律方法1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积， 关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.5【训练 3】 已知某一多面体内接于球

6、构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是_.解析由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为 2，若球半径为r，则 2r2 3，r 3.s球表4r24312.答案12课堂小结1.球的表面积、 体积公式是解决问题的重要依据， 在球的轴截面图形中， 球半径、 截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是

7、()a.36，144b.36，36c.144，36d.144，144解析球的半径为 3，表面积s43236，体积v433336.答案b2.若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积增大到原来的()a.2 倍b.4 倍c.8 倍d.16 倍解析设气球原来的半径为r，体积为v，则v43r3，当气球的半径扩大到原来的 2 倍后，其体积变为原来的 238 倍.答案c3. 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()a12b.323c8d4解析由题可知正方体的棱长为 2，其体对角线 23即为球的直径，所以球的表面积为 4r2(2r)212，故选 a.答案a4.在半径为r的球面上有

8、a，b，c三点，且abbcca3，球心到abc所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.6解依题意知，abc是正三角形，abc的外接圆半径r333 3.由r2r22( 3)2，得r2.所以球的表面积s4r216.基 础 过 关1.一个正方体的八个顶点都在半径为 1 的球面上，则正方体的表面积为()a.8b.8 2c.8 3d.4 2解析球的半径为 1，且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为 2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a24，即a243.正方体的表面积为 6a26438.答案a2.把 3 个半径为r的铁球熔成一个底面半径为r的圆柱，则圆柱的高为()a.rb.

9、2rc.3rd.4r解析设圆柱的高为h，则r2h343r3，h4r.答案d3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，r，则球的表面积为()a.4(rr)2b.4r2r2c.4rrd.(rr)2解析法一如图，设球的半径为r1，则在 rtcde中，de2r1，cerr，dcrr.由勾股定理得 4r21(rr)2(rr)2，解得r1rr.故球的表面积为s球4r214rr.法二如图，设球心为o，球的半径为r1，连接oa，ob，则在 rtaob中，of是斜边ab上的高.由相似三角形的性质得of2bfafrr，即r21rr，故r1rr，故球的表面积为s球4rr.答案c74.一个球的表面积是 144 c

10、m2，则它的体积是_.解析设球的半径为r，则 4r2144，r6，v43r34363288(cm3).答案288 cm35.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_.解析由三视图可知，该几何体为一个半径为 1 的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即1243.答案36.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为v球2435231253(cm3)，此体积即等于它们在容器中排开水的体积v52h，所以125352h，所以h53，即若取出这两个小球，则水

11、面将下降53cm.7.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积s4r22rl41221310，该组合体的体积v43r3r2l4313123133.能 力 提 升88.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()a.5003cm3b.8663cm3c.1 3723cm3d.2 0483cm3解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.如图，作出球的一个截面，则mc862(cm)，bm1

12、2ab1284(cm).设球的半径为rcm，则r2om2mb2(r2)242，r5，v球43535003(cm3).答案a9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()a.316b.916c.38d.932解析过球心作球的截面， 如图所示， 设球的半径为r， 截面圆的半径为r， 则有rr2r2232r，则球的表面积为 4r2，截面的面积为32r234r2，所以截面的面积与球的表面积的比为34r24r2316.9答案a10.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的

13、半径是_cm.解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为 6r，容积为r26r6r3，高度为 8 cm 的水的体积为 8r2，3 个球的体积和为 343r34r3，由题意 6r38r24r3，解得r4(cm).答案411.如图所示， 半径为r的半圆内的阴影部分以直径ab所在直线为轴， 旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中bac30)解如图所示，过c作co1ab于o1.在半圆中可得bca90，bac30，ab2r，ac 3r，bcr，co132r，s球4r2，s圆锥ao1 侧32r 3r32r2，s圆锥bo1 侧32rr32r2，10s几何体表s球s圆锥ao1 侧s圆锥bo1 侧112r232r211 32r2.故旋转所得几何体的表面积为11 32r2.探 究 创 新12.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后