《微积分II》(层次)学期期中练习题

1、微积分II(第一层次)第二学期期中练习题一1/ 4x y -1z + 11. 求直线绕 z 轴旋转一周的曲面的方程2 1 22 2z = xy2. 求曲线22在点(1，-1，2 )处的切线方程x + y =2xF2Z3. 设由F(y -x, z) =0确定z = z(x, y), F C，求.x .y4. 求函数u =x exsin(y-z)在点(1 , 1 , 1)处沿l =(1,2,-2)的方向导数5. 已知u =xy-z2，求u在点M (-9,12,10)梯度grad u(M ).6. 求曲面z仝仝y的切平面，使其通过直线.1 1 237. 证明曲面xyz = a(a 0)上任何一点处的

2、切平面与坐标面所围成的四面体的体积等于个常数.8. 求函数x2xy 2y x 3y 3的极值.- 2 2 -9. 设二为由Z二Xy,z=2所围曲面，求3的内接长方体体积的最大值.10. 求Usin(yx) dxdy, D : x + y = ，x =0, y = 0所围区域x2y2z2x2y2z213.计算三重积分III(1- 22)dxdydz,其中门为椭球体： 1.abcabc14. 求曲环面：x = (b a cos- )cos:, y = (b a cos- )sin ,z=asin-(0：aFb)所界的物体体积15.计算(x2y2z2)dS，其中 C 为螺旋线：x=acost, y=

3、asin t,z =bt(0 _t _ 2 二)的部分16.计算曲线积分.：(y)ex-mydx (y)ex-mdy，式中(y)与(V)为连续函AnB数，AmB为连接点A(X1,yJ和B(X2,y2)的任意逐段光滑曲线，但与线段AB围成的面积为A 的平面区域D = AmB.2/ 4D211. 求i i(x2y2)dxdy, D : x2y2- 2x, x2y2 4x.D12.计算.xd二，其中 D 为第一象限内x2y1与x轴，V轴所围的闭区域.D微积分II(第一层次)第二学期期中练习题一3/ 4微积分II(第一层次)第二学期期中练习题二X Z(1)X :z:z2. 设由F (, )= 0确定z

4、 - z(x, y), F C，求 -y yycy3. 求函数u二xy2z3在点(1 , 2, -1 )处沿I = 2i - j 2k的方向导数2 2 24. 求椭球面x 2 y 3z =21上某点处的切平面二的方程，使平 面二过已知直 线x 6y-3 2z-1L:2 1 -22 2 2xyz5.求椭球面+lr+ =1的切平面(x, y, z兰0)，使其与三个坐标平面所围的立体的abc体积最小，并求最小值.26. 求曲面z -xy =1上到原点最近的点.7. 求II、. x2y2dxdy, D :x2y2乞2y.D8. 设函数f (x)连续，满足f (t) = 2亠11f(、.x2y2)dxd

5、y，这里 D 为x2yt2，求Df(x).21. dl，其中丨的参数方程是：x=3cost,y=3sin t, z =3t (0 _ t _ 2二).2.(exsiny+8y)dx (excosy7x)dy,其中】为由点A(2,0)沿(x-4)2y2=9到点B(6,0)的一段12.计算曲面积分(2X10 分=20 分).2 2 2 2 2 21.X2+y2求以72y为准线，以(2,0,0)为顶点的锥面的直角坐标方程1t t70dxxsin(xy)dy10.计算三重积分II.I.JXy2z2dxdydz，其中 门 是球体x2y2z2z.9.求11.计算曲线积分4/ 41.求Ii._(x y z

6、)dS，其中二为x y - z = 2z (1乞z乞2).微积分II(第一层次)第二学期期中练习题一5/ 4X 1 y z 11.求直线L :在平面二：x_y2z_1=0上的投影直线L0的方程，并求1 1-1绕y轴旋转一周所成曲面的方程 2函数z二f(x, y)由方程x2(yz) -4, x2y2z2= 0 确定，求z在点P(-2,2,1)处的全微分dz.3.设函数z =z(x, y)由方程F(x z, y z) = 0所确定，其中F可微，计算并化简y x.:z.:zx y.x4.求函数z = x2 y3- 2xy - y的极值.2 2 25.已知u =x 2y 3z 3x-2y，求u在点M

7、(1,1,2)的梯度gradu(M).26.求函数u =arctan(x - 2y z )在点A(0,1, 0)处沿空间曲线B(2,0, .2)的切向量的方向导数r2y = x7.试求一平面兀，使它通过空间曲线在y=1处的切线,且与曲面尸3(y-1)2 21: x y =4z相切.8.设常数a 0，平面二通过点M (4a, -5a,3a)，且在三个坐标轴上的截距相等.在平面:9.已知曲面工的方程为x 、y 、z = 2，设!0(x0 ,y0 ,z0)为曲面艺上的一点1.求曲面工在点F0(x0, y0,z)的切平面方程；2.求该切平面在各个坐标轴上的截距之和.(10 分)1H-arcsin y3

8、10.计算二重积分dysin xdx.0Jarcsin y11. 计算二重积分x2y2z2_ 3x = 02x-y-4 = 0位于第一卦限部分求一点P(x0,y,20)，使得函数u(x, y,z)=1x-3y -z2在 P 点处取最小6/ 4D =( x, y) | , 2x x2_ y _ 2,0 _ x _ 213.计算三重积分i.i.i z2dxdydz，其中 V 是椭球体 笃V14.计算l(x2+y2)ds，其中 C 为曲线x二二a (cost t si nt), y二a(si n tt cost),(0乞t辽2二).15.判断曲线积分：y2dx xy2dy是否与路径无关？当 C 为曲线LC x + y x + yx=2cost,y=sint（0乞心2二），并且沿t增加的方向时，计算该曲线积分.（10 分）16.计算曲面积分J