二元一次方程组应用题分类讲解

1、一、行程问题一、行程问题一、行程问题基本数量关系基本数量关系路程路程=时间时间速度速度时间时间=路程路程/速度速度速度速度=路程路程/时间时间同时相向而行同时相向而行路程路程=时间时间速度之和速度之和同时同向而行同时同向而行路程路程=时间时间速度之差速度之差船在顺水中的速度船在顺水中的速度=船在静水中的速度船在静水中的速度+水流的速度水流的速度船在逆水中的速度船在逆水中的速度=船在静水中的速度船在静水中的速度-水流的速度水流的速度ABSV1V2S=T（ + ）V1V2AB同时同地同向在同一跑道进行比赛同时同地同向在同一跑道进行比赛当男生第一次赶上女生时当男生第一次赶上女生时男生跑的路程男生跑的

2、路程-女生跑的路程女生跑的路程=跑道的周长跑道的周长乙乙甲甲St同时异地追及问题同时异地追及问题乙的路程乙的路程- -甲的路程甲的路程= =甲乙之间的距离甲乙之间的距离T ( - )=sV乙乙甲甲V例例1.某站有甲、乙两辆汽车，若甲车某站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发先出发1后乙车出发，则乙车出发后乙车出发，则乙车出发后后5追上甲车；若甲车先开出追上甲车；若甲车先开出30后乙车出发，则乙车出发后乙车出发，则乙车出发4后乙后乙车所走的路程比甲车所走路程多车所走的路程比甲车所走路程多10求两车速度求两车速度例例2.一列快车长一列快车长168米，一列慢车长米，一列慢车长184米，若两车相向而行，快车

3、从与慢车相米，若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需遇时到离开慢车，只需4秒钟，若两车秒钟，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需开慢车，需16秒钟；问快车和慢车的速秒钟；问快车和慢车的速度各是多少？度各是多少？例例3甲、乙两人在周长为甲、乙两人在周长为400的环形跑道上练跑，如果相向的环形跑道上练跑，如果相向出发，每隔出发，每隔2.5min相遇一次；相遇一次；如果同向出发，每隔如果同向出发，每隔10min相遇相遇一次，假定两人速度不变，且甲一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度快乙慢，求甲、乙两人的速度甲、乙两人在周长

4、为甲、乙两人在周长为400的环形跑道上练的环形跑道上练跑，如果相向出发，每跑，如果相向出发，每隔隔2.5min相遇一次相遇一次解：设甲乙两人的速度分解：设甲乙两人的速度分别为别为xm/min、ym/min根据题意，得根据题意，得2.5(x+y)=400AB 解：设甲乙两人的速度分解：设甲乙两人的速度分别为别为xm/min、ym/min根据题意，得根据题意，得2.5(x+y)=400甲、乙两人在周长为甲、乙两人在周长为400的的环形跑道上练跑，如果同向出环形跑道上练跑，如果同向出发，每隔发，每隔10min相遇一次相遇一次甲甲乙乙A10(X-Y)=400解之得解之得X=100Y=60答答:甲乙两人

5、的速度分别甲乙两人的速度分别为为100m/min、60m/minB乙乙甲甲ABC环形跑道追及问题等环形跑道追及问题等同于异地追及问题同于异地追及问题 某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.火车60s内所行路程=桥长+火车长火车40s内所行路程=桥长-火车长水流方向水流方向轮船航向轮船航向船在逆水中的速度船在逆水中的速度= =船在静水中的速度船在静水中的速度- -水流的速度水流的速度水流方向水流方向轮船航向轮船航向船在顺水中的速度船在顺水中的速度= =船在静水中的速度船在静水中的速度+ +

6、水流的速水流的速度度例例4.已知已知A、B两码头之间的距离为两码头之间的距离为240km,一艏船航行于一艏船航行于A、B两码头之间两码头之间,顺流航行需顺流航行需4小时小时 ;逆流航行时需逆流航行时需6小时小时, 求船在静水中的速度及水流的速度求船在静水中的速度及水流的速度.例例5.从甲地到乙地，先下山然后走平路，从甲地到乙地，先下山然后走平路，某人骑自行车从甲地以某人骑自行车从甲地以12km/h的速度下的速度下山，后以山，后以9km/h的速度通过平路，到乙的速度通过平路，到乙地用地用55min；他回来的时候以；他回来的时候以8km/h的的速度通过平路，以速度通过平路，以4km/h的的 速度上

7、山，速度上山，回到甲地用回到甲地用1.5h，求甲乙两地的距离。，求甲乙两地的距离。例例5.小李骑自行车从小李骑自行车从A到到B，小明骑自行，小明骑自行车从车从B到到A，两人都匀速前进，一直两人，两人都匀速前进，一直两人在上午在上午8时同时出发，到上午时同时出发，到上午10时，两时，两人还相距人还相距36km，到中午，到中午12时又相距时又相距36km，求，求AB两地之间的距离。两地之间的距离。二、工程问题二、工程问题二、工程问题 工作量工作量=工作时间工作时间工作效率工作效率 工作效率工作效率=工作量工作量/工作时间、工作时间、工作时间工作时间=工作量工作量/工作效率工作效率 例例1.1.某工

8、人原计划在限定时间内加工一批零某工人原计划在限定时间内加工一批零件件. .如果每小时加工如果每小时加工1010个零件个零件, ,就可以超额完就可以超额完成成3 3 个个; ;如果每小时加工如果每小时加工1111个零件就可以提前个零件就可以提前1h1h完成完成. .问这批零件有多少个问这批零件有多少个? ?按原计划需多按原计划需多少小时少小时 完成完成? ?解解:设这批零件有设这批零件有x个个,按原计按原计划需划需y小时完成小时完成,根据题意根据题意,得得10y=x+311(y-1)=x解之得X=77Y=8答:这批零件有77个,按计划需8 小时完成例例2 2 .甲乙承包一项任务，共生产机器零件甲

9、乙承包一项任务，共生产机器零件420420个，甲先做个，甲先做2 2天，乙加入合作，再做天，乙加入合作，再做2 2天完天完成；如果乙先做成；如果乙先做2 2天，甲加入合作，那么再做天，甲加入合作，那么再做3 3天完成，求甲乙每天各生产多少个零件？天完成，求甲乙每天各生产多少个零件？3.3.某电子厂，将工人分成甲、乙两队某电子厂，将工人分成甲、乙两队进行生产。一个订单为：加工一批零件，进行生产。一个订单为：加工一批零件，工人早上工人早上7 7：0000上班，甲队单独做到中午上班，甲队单独做到中午1111：0000，却发现进度赶不上，叫上乙队帮忙，却发现进度赶不上，叫上乙队帮忙，从下午，从下午13

10、13：3030一直工作到晚上一直工作到晚上1818：3030。期间，发现甲队比乙队每小时慢期间，发现甲队比乙队每小时慢2020个。这个。这批零件一共批零件一共15001500件终于完成。问甲乙两队件终于完成。问甲乙两队每小时的工作效率是多少？每小时的工作效率是多少？三、商品销售问题一件商品如果按定价打九折出售可以盈利一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利；如果打八折出售可以盈利10元，问元，问此商品的定价是多少？此商品的定价是多少？点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价利润的计的，不要误为是相

11、对于定价或卖出价利润的计算一般有两种方法，一是：利润算一般有两种方法，一是：利润=卖出价卖出价-进价；进价；二是：利润二是：利润=进价利润率（盈利百分数）特进价利润率（盈利百分数）特别注意别注意“利润利润”和和“利润率利润率”是不同的两个概念是不同的两个概念例例1 1 .甲、乙两件服装的成本共甲、乙两件服装的成本共500500元，商店元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按老板为获取利润，决定将甲服装按5050的利的利润定价，乙服装按润定价，乙服装按4040的利润定价。在实际的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按出售时，应顾客要求，两件服装均按9 9折出售，折出售，这样商店共获利这样

12、商店共获利157157元，求甲、乙两件服装的元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？成本各是多少元？例例2 2，小明的妈妈在市场买回，小明的妈妈在市场买回1500g1500g萝卜，萝卜，1000g1000g排骨准备做萝卜排骨汤，排骨准备做萝卜排骨汤，妈妈：妈妈：“今天买两样菜共花了今天买两样菜共花了4545元，上月只元，上月只要花要花3636元元”爸爸：爸爸：“萝卜上涨萝卜上涨50%50%，排骨上涨，排骨上涨20%20%”小明：小明：“我想知道今天的萝卜和排骨我想知道今天的萝卜和排骨 的单价的单价分别是多少？分别是多少？”请你通过方程组求这天萝卜和排骨的单价请你通过方程组求这天萝卜和排骨的单价（

13、单位：元（单位：元/500g/500g）四、配套问题四、配套问题四、配套问题（一）配套与人员分配问题（一）配套与人员分配问题例例1.1.某车间某车间2222名工人生产螺钉与螺母，每人每名工人生产螺钉与螺母，每人每天平均生产螺钉天平均生产螺钉12001200个或螺母个或螺母20002000个，一个螺个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？工人生产螺母？一个螺钉配两个螺母螺钉数:螺母数=1:2解解:设分配名设分配名x工人生产螺钉工人生产螺钉,y名工人生产螺

14、母名工人生产螺母,则一天则一天生产的螺钉数为生产的螺钉数为1200 x个个,生产的螺母数为生产的螺母数为2000y个个.所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排10人生产螺钉,12人生产螺母根据题意, 得x+y =2221200 x=2000y解得x=10Y =12点评：产品配套是工厂生产中基本原则之点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身利用配套本身所存在的相等关系，其中两所存在的相等关系，其中两种最常

15、见的配套问题的等量关系是：种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一二合一”问题：如果件甲产品问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即倍等于乙产品数的倍，即 ；（2）“三合一三合一”问题：如果甲产品件问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：么各种产品数应满足的相等关系式是： 例例2. 2.某工地需雪派某工地需雪派4848人去挖土和运土人去挖土和运土, ,如果如果每人每天平均挖土每人每天平均挖土5 5方或运土方或运土3 3方方, ,那么应该那么应该怎

16、样安排人员怎样安排人员, ,正好能使挖的土能及时运走正好能使挖的土能及时运走? ?每天挖的土等于每天运的土解:设安排x人挖土 ,y人动土,则一天挖土5x ,一 天动土3y方根据题意,得x+y=485x=3y解得X=18Y=30所以每天安排18人挖土，30 人运土正好能使挖的土及时运走例例3 3. .用白钢铁皮做头，每张铁皮可做盒身用白钢铁皮做头，每张铁皮可做盒身25 25 个，或做盒底个，或做盒底4040个，一个盒身与两个盒个，一个盒身与两个盒 底底配成一套，现有配成一套，现有3636张白铁皮，用多少张做张白铁皮，用多少张做盒盒 身，多少张做盒身，多少张做盒 底，可使盒底，可使盒 身与盒身与盒

17、 底底正好配套？正好配套？解解: :设用设用x x张白铁皮做盒身张白铁皮做盒身, ,用用y y张制盒底张制盒底, ,则共制盒身则共制盒身25x25x个个, ,共制盒底共制盒底40y40y个个. .所以用所以用1616张制盒张制盒 身身,20,20张制盒张制盒 底底正好使盒身与盒底配套正好使盒身与盒底配套根据题意 ,得x+y=36225x=40y解得X=16Y=20例例4 4. .一张方桌由一张方桌由1 1 个桌面、个桌面、4 4条桌腿组成，如果条桌腿组成，如果1 1立立方米木料可以做方桌的桌面方米木料可以做方桌的桌面5050个，或桌腿个，或桌腿300300条，条，现有现有5 5立方米的木料，那

18、么用多少立方米木料做桌立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配成好配成方桌？能配成 多少方桌？多少方桌？解：设用解：设用x x立方米做桌面，立方米做桌面，y y立方米做桌腿，则可以做立方米做桌腿，则可以做桌面桌面50 x50 x个，做桌腿个，做桌腿300y300y条条根据题意根据题意 ，得，得x+y=5450 x=300y所以用所以用3 3立方米做桌面立方米做桌面 ，2 2立方米做桌腿，立方米做桌腿，恰能配成方桌，共可做成恰能配成方桌，共可做成150150张方桌。张方桌。解得解得X=3Y=2例

19、例5.某车间每天能生产甲种零件某车间每天能生产甲种零件300个，或者乙种个，或者乙种零件零件500个，或者丙种零件个，或者丙种零件600个，甲，乙，丙个，甲，乙，丙3种零件分别取种零件分别取1个，才能配一套，要在个，才能配一套，要在63天内生天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应种零件各应生产多少天？生产多少天？五、和差倍分问题例例1.1.甲乙两人的月收入比是甲乙两人的月收入比是4:34:3，月支，月支出比是出比是8:58:5，一月中间两人各储存，一月中间两人各储存500500元，求两人的月收入是多少？元，求两人的月收入是多少？例例2 2：一群学生前往位

20、于青田县境内：一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽. .休息时他们坐在一起，大家发现了一个有休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的帽是红色的2 2倍。问题：根据这些信息，倍。问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？请你推测这群学生共有多少人？六、年龄问题1 1：甲对乙说：甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时

21、，当我的岁数是你现在的岁数时，你才你才4 4岁岁”乙对甲说：乙对甲说：“当我的岁数是你现在的当我的岁数是你现在的岁数时，你将岁数时，你将6161岁岁”问甲、乙现在各多少岁？问甲、乙现在各多少岁？从问题情境可以知知道甲从问题情境可以知知道甲的年龄大于乙的年龄的年龄大于乙的年龄解：设甲、乙现在的年龄分解：设甲、乙现在的年龄分别是别是x x、y y岁根据题意，得岁根据题意，得y-y-（x- yx- y）=4=4X+X+（x-yx-y）=61=61解得x=42x=42y=23y=23答：甲、乙现在的年龄分别是答：甲、乙现在的年龄分别是4242、2323岁岁甲比乙大的岁数 将来年龄将来年龄现在年龄现在年

22、龄 甲甲乙乙X Xy yx-yx-yX+X+（x-yx-y）61Y-Y-（x-yx-y）42.甲对乙说：甲对乙说：“我现在年龄等于我像你那么我现在年龄等于我像你那么大时，你那时的年龄是我那时的年龄的大时，你那时的年龄是我那时的年龄的一半；等你像我现在这么大时，我们年一半；等你像我现在这么大时，我们年龄之和为龄之和为63。”求甲，乙两人今年各是求甲，乙两人今年各是多少岁？多少岁？七、数字问题一个两位数的十位数字与个位数字的和一个两位数的十位数字与个位数字的和是是7 7，如果这个两位数加上，如果这个两位数加上4545，则恰好成，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位为个位数字与十位数字对调后

23、组成的两位数，求这个两位数。数，求这个两位数。八、方案决策问题1.1.某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为利润为10001000元，经粗加工后销售，每吨利润可达元，经粗加工后销售，每吨利润可达45004500元，元，经精加工后销售，每吨利润涨至经精加工后销售，每吨利润涨至75007500元当地一家农工商元当地一家农工商公司收获这种蔬菜公司收获这种蔬菜140140吨该公司加工厂的生产能力是：吨该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工1616吨；如果进行精加吨；如果进行精加工，每天可

24、加工工，每天可加工6 6吨，但两种加工方式不能同时进行受吨，但两种加工方式不能同时进行受季节等条件限制，公司必须在季节等条件限制，公司必须在1515天之内将这批蔬菜全部销天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕为此，公司研制了三种加工方案：售或加工完毕为此，公司研制了三种加工方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售工的蔬菜在市场上直接销售方案三：部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并方案三：部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用恰好用1515

25、天完成天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？你认为选择哪种方案获利最多？为什么？2 2. .已知用已知用2 2辆辆A A型车和型车和1 1辆辆B B型车一次运货型车一次运货10t10t，1 1辆辆A A型车和型车和2 2辆辆B B型车一次运货型车一次运货11t11t，某物流公，某物流公司现有司现有31t31t货物，计划同时租用货物，计划同时租用A A型车型车a a辆，辆，B B型车型车b b辆，一次运完且每辆车都载你别满货物。辆，一次运完且每辆车都载你别满货物。（1 1）1 1辆辆A A型车和型车和1 1辆辆B B型车都载满货物一次可型车都载满货物一次可以分别运多少吨？以分别运多少吨？（2 2）请你帮物流公司设计租车的方案）请你帮物流公司设计租车的方案（3 3）若）若A A型车租金是型车租金是100100元元/ /次，次， B B型车租金型车租金是是120120元元/ /次，请你设计出最省钱的租车方案，次，请你设计出最省钱的租车方案，并计算出最少的租车费。并计算出最少的租车费。3 3。某超市在。某超市在“五一五一”期间寻顾客实行优惠，规定如期间寻顾客实行优惠，规定如下：下：（2 2）若顾客在该超市一次性购物）若顾客在该超市一次性购物 x x元，当小于元，当小于500500元元但不小于但不小于20