章傅里叶变换讲解解析PPT课件

1、 傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。3.1 傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.第1页/共202页1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,ttttktkt21*( )( )d1tiitf t ftt 21*( )( )d0tijtf t fttij，三角函数就是一个标准的两

2、两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：3.2 周期信号的傅里叶分析1. 归一化：2. 归一正交化：3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号第2页/共202页周期的终点 1111111,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttktkt12122Ttt 设三角函数的完备函数集为：其中三角函数集也可表示为：11cos(),sin()0,1,2,ntntn3.2.1 傅里叶级数的三角形式基频 周期 周期的起点 第3页/共202页2111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmn

3、ntmtt2211222111cos ()dsin ()d22ttttttTnttntt21211dtttTtt0n 时，有（2）“单位”常数性，即当 满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有 第4页/共202页可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为( )f t0111( )(cossin)nnnf taantbnt22112211112121212( )cos()d , 0( )cos()d1cos ()d( )d ,0ttttnttttf tnttnf tnttttanttf ttntt221211112211( )sin()d2( )sin()dsin ()dtt

4、tntttf tnttbf tnttttntt系数称为傅里叶级数 第5页/共202页011( )cos()2nnnaf tcnt0111 ( )(cossin)2nnnaf tantbnt或211212( )cos()dtntaf tntttt 同上式 傅里叶级数的三角展开式 另一种形式 t 直流分量 n=1n1基波分量 n次谐波分量 第6页/共202页可展开为傅里叶级数的条件：( )f t（2） 在区间内有有限个间断点；( )f t（1） 绝对可积，即：( )f t21( ) dttf tt （3） 在区间内有有限个极值点。( )f tDirechlet条件傅里叶级数存在的充要条件22Opp

5、ositeHypotenusennncabarctannnnba式中， 为n次谐波振幅。 为n次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！ 第7页/共202页1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2 傅里叶级数的复指数形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt 利用欧拉公式:11j()j()11( )ee22nntntnnnnf tcA式中j22e(cosjsin)nnnnnnnAcab 22nnncabarctan()nnnba幅度 相位 复指数 幅度 第8页/共202页22112211111j1122j( )cos()dj( )sin()d22 ( )co

6、s()jsin()d( )edttnnnttttntttAabf tnttf tnttTTf tntnttf ttTT nA的具体求法如下：1j()( )entnnf tF2. 直接从复变正交函数集推导1j()e1,2,ntn中展开，有( )f t在复变正交函数空间将原函数第9页/共202页2121121111j*jjj*( )(e) d1( )ed(e)(e) dtntttntnttntnttf ttFf ttTtje2nnnnAFF式中例00( )()TkttkT求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。0( )Tt已知冲激序列-T0 O T0 2T0 t0( )Tt0()tT( ) t第10

7、页/共202页00j01( )entTntT0010012( )cosTntntTT0( )Tt的三角傅里叶级数为：001aT002000222( )cosdTTnatnt tTT0nb 又解000j200211( )edTntTnFttTT第11页/共202页100( )()( )()Af tAtu tu tTT100000( )()() ()(1) )nnAf tf t nTAt nTu t nTu tnTT求下图中三角波的三角傅里叶级数。1( )f t( )f t则为的周期延拓，即 将( )f tAC( )ft去除直流分量，则仅剩交流分量( )f t00,tT在内的函数记为（1）将周期函

8、数例解A( )f t-T0 O T0 2T0 t第12页/共202页AC00000000001100000( )( ) ()(1) () ()(1)122()(cos)cosnnnnnAftf tu tnTu tnTTAAtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT 0AC0110sin2( )cosdtnnntAAftnTn D/ 2fA01sin( )2nntAAf tn 故第13页/共202页000001d2TAAat tTT0na 000002sindnTAAbtnt tTTn（2）利用直接法求解故 01sin( )2nntAAf tn第14页/共202页111j011( )

9、ecos()sin()NNNntnnnnNnnf tFaantbnt常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现第15页/共202页3.3 周期信号的对称性 1纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函

10、数之和仍然是奇函数）。满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。(/2)( )f tTf t 定义：l 奇谐函数l 偶谐函数满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。(/2)( )f tTf t第16页/共202页2横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。第17页/共202页已知奇谐函数：例解t( )f t

11、o12T 12T2E 2E1cost 11cos()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E1sint 11sin()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E( )f t1()2Tf t t( )f to12T 12T2E 2E1sin2t t( )f to12T 12T2E 2E1cos2t 第18页/共202页3.4 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱3.4.1 频谱的概念频谱图表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值 。nFl 振幅频谱（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率

12、分量的相位 （单位常用度或弧度）。nl 相位频谱（相频特性图）第19页/共202页1,( )220,kTtkTf t其它例，求频谱解（1）单边频谱： 1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT ( )f tT2t2oT1第20页/共202页（2）双边频谱： 11111/2j2/2j2/211/2212sin11 e24edj2sin (), 0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT 包络线 频谱图随参数的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度变化第21页/共202页2Sa()0 2 2 2T nF 2O 141,()()444nTnnFSaSaTT情

13、况1：第一个过零点为n =4 。在 有值（谱线）nF12/4( )f tT2t2oT1第22页/共202页1,()()888nTnnFSaSaTT情况2：( )f tT2t2oT1nF2 o182T 第23页/共202页1,()()161616nTnnFSaSaTT情况3：( )f tT2t2oT1示意图 2T nF1162o第24页/共202页 由大变小，由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即第一过零点频率增大，即 所以所以 称为信号的带宽，称为信号的带宽， 确定了带宽。确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的幅度变小。 由于由于 T 不变，谱线间隔不变，即不变，谱线间隔不变

14、，即 不变。不变。结 论2/T 1/f2/第25页/共202页第一个过零点情况 1：4T2/(2 )T2/时，谱线间隔2）脉冲宽度不变, 周期T变化 ( )f tT2t2oT1示意图 22T nF142041)0(0SaTF第26页/共202页第一个过零点情况 2：8T24T2时，谱线间隔( )f t2t2oT1示意图 TnF4120TnF182o第27页/共202页第一个过零点 情况 3：16T28T2时，谱线间隔T( )f t2t2o1T2T2T示意图 nF8120nF1162 0第28页/共202页 不不变，变，F Fn n 的第一个过零点频率不变，的第一个过零点频率不变，即即 带宽不变

15、。带宽不变。T T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。小。 T T 时时，谱线间隔，谱线间隔 0 0 ，这时：，这时： 周期信号周期信号 非周期信号；离散频谱非周期信号；离散频谱 连续频连续频谱谱1f2结 论第29页/共202页典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下： 1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号3.4.2 常见周期信号的频谱第30页/共202页1. 周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 (1) (1)

16、周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T111( ) ()(),2222TTf tE u tu tt o/2/2E1Tt( )f t1T第31页/共202页110111,()20,0,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT 1j1111111( )()cos()()22entnnEnnEEf tSantSaTT三角指数1101 ( ) ,0,()2nnf tEnEabaSaT是偶函数第32页/共202页1,20 21(,)fnBBB周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为主要能量集中在第一个零点以内

17、，即称为其频带宽度（2 2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱相位谱On2411ETnC1nO1224幅度谱第33页/共202页复数频11ETnFO2122 4实数频谱幅度谱与相位谱合并10cnCO1224第34页/共202页 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：(1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2。2. 2. 周期对称方波信号的傅里叶级数周期对称方波信号的傅里叶级数O2E1/ 4T1/ 4T1Tt( )f t2E1T第35页/共202页00 (), 1,3,5.20,01,

18、 (),0222nnnnnnnnnccaESancEnFFcSac，111j21( )sin()cos()21sin(),1,3.2enntnEnf tntnEnnn 三角指数0 002(), 1,3,5.2nnabnEaESann 偶函数且，奇谐函数第36页/共202页1n周期对称方波信号的幅度频谱中 收敛规律na1O12131415幅度谱1na15O121314相位谱On1131517第37页/共202页3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数bn。如何求bn留作思考！0na t( )f t2EO12T12T2E第38页/共202页1111

19、1111( )sin()sin(2)sin(3)231( 1)sin()nnEf ttttEntn其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。第39页/共202页4. 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解t( )f tEO12T12T0nb 周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求bn留作思考！第40页/共202页此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。111221221411( )cos()cos(3 )cos(5 )292541 sin ()cos( )22nEEf ttttEEnn tn

20、其傅里叶级数表达式为：第41页/共202页5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解0nb 周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求bn留作思考！t( )f tEo12T12T1T1T第42页/共202页此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。1111121144( )cos()cos(2)cos(4)2315212cos()cos() (1)2nEEf ttttEEnn tnT，其傅里叶级数表达式为：第43页/共202页6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为10002( )cos(),f

21、 tEtTt( )f tEo12T12T1T1T则，全波余弦信号为：10( )( )cos()f tf tEt第44页/共202页此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。111102124111( )cos(2)cos(4)cos(6)31535241( 1)cos(2)41nnEEf ttttEEntn其傅里叶级数表达式为：第45页/共202页如果用有限如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n= .实际中，实际中，n=N, N是有限整数。是

22、有限整数。如果如果 N愈接近愈接近 n ，则，则 其均方误差愈小其均方误差愈小若用若用2N1项逼近，则项逼近，则0111( )(cossin)NNnnnStaatbt3.4.3 吉布斯效应第46页/共202页误差函数和均方误差误差函数均方误差( )( )( )NNtf tS t2222201( )( )()2NNnnEtftaab第47页/共202页对称方波对称方波, , 是偶函数且奇谐函数。是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。所以其只有奇次谐波的余弦项。2sin2nEnan21111135( )(coscos3cos5)Ef tttt例-E/2T1/4-T1/4tE/2o第48页

23、/共202页对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1N=1、2 2、3 3时的逼近波形）时的逼近波形）（3）N=3:210.05EE21121(coscos 3),3EStt220.02EE212(cos),ESt311121(coscos331 cos5),5ESttt230.01EE（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81第49页/共202页有限项的有限项的N越大，误差越小例如越大，误差越小例如: N=9911112111(coscos3cos5

24、cos11)3511EStttt-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81第50页/共202页 N越大，越接近方波越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真；波形将会失真； 有吉伯斯现象发生。有吉伯斯现象发生。lim( )NNSf t 结论第51页/共202页以周期矩形脉冲为例：只需修改上面程序(3.

25、2.3节)中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非plot命令。谐波阶数取还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶。 上机练习！( )(),nf tG tnT(1, 5)T60Nf 3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现第52页/共202页112Sa()nnEncaTT 对周期矩形脉冲信号，有t( )f t2212T12T1T1TE1T t( )f t22E3.5 非周期性信号的频谱3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换第53页/共202页1T 112T谱线间隔1T 1120T谱线间隔0 从物理概念考虑：信号的能量

26、存在，其频谱分布的规律就存在。由于1,T 111j2121( )ed0TntTnFf ttT1从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换第54页/共202页信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T 时，信号的频谱分布仍然存在。 结论无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。11jj1( )ee2ntntnnnnf tFC 从数学角度来看：第55页/共202页所以，傅里叶级数展开为：1j1( )()entnf tF n111j21121()( )edTntTF nf ttT111111111j1211012, , 0, 2 ()lim()limlim( )edTntTTTTT

27、F nT F nf tt 两两边边同同乘乘以以取取极极限限: :为频谱密度函数。11111j12122 ()( )limlim( )edTntTTTF nFf tt 定义第56页/共202页周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振幅 为有限值。nF非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的复振幅 为无限小量。()d2F 所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。！第57页/共202页(j )F( )f t2傅里叶逆变换怎样用计算1111jj1jj10(j)( )limelime11lim(j)e(j)ed22ntntnTTnnnttnFnf tF

28、TFnF 第58页/共202页jj ( )jj( )1( )(j )ed211(j ) eed(j ) ed221(j ) cos( )jsin( )d21j(j ) cos( )d(j ) sin( )d221(j ) cos( )d2tttf tFFFFttFtFtFt 第59页/共202页3. 正、逆傅里叶变换正、逆傅里叶变换j( )( )edtFf tt 反变换正变换j1( )( )ed2tf tF !傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换存在的充分条件:( )dftt 用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。第60页/共202页4傅里叶

29、变换的另外几种形式j2(j2)( )edf tFff tt j2j21( )(j2 )ed(2 )2 (j2 )edf tf tf tFffFff j2()( )edftFff tt j2( )()edf tf tF ff 第61页/共202页j(j)( )2( )edtFF f tf tt 1j( )(j)(j)edtf tFFF j1(j)( )( )ed2tFFf tf tt 1j1( )(j)(j)ed2tf tFFF 第62页/共202页 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.单边指数信号 6. 符号函数2. 双边指数信号 7. 冲激函数傅里叶变换对 3. 奇双边指数信号

30、8. 冲激偶的傅里叶变换 4. 矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换5. 钟形脉冲信号 10. 复正弦信号 3.5.2 常见信号的傅里叶变换第63页/共202页1. 单边指数信号的傅里叶变换单边指数信号的傅里叶变换 ( )( ) (0)eatf tu ta单边指数：（复函数）221()1(),j()arctanFaFaa （）其傅里叶变换为：第64页/共202页利用傅里叶变换定义公式jj0(j)(j)00()( )ed (0)eed11ede(j)jtattatatFf ttattaa 第65页/共202页( )( )(0)eatf tu taO1t时域波形221( )FaO1a12a3a

31、单边指数信号的频谱如下：O2( )arctan()a 2频域频谱第66页/共202页( ) (0)ea tf ta偶双边指数：2. 双边指数信号的傅里叶变双边指数信号的傅里叶变换换 22222( )2( )( )0aFaaFa 其傅里叶变换为：（正实函数）第67页/共202页利用傅里叶变换定义公式求解过程jj0jj00(j)(j)022( )( )edeed e edeed11 ee(j )(j )112 , (0)jjatttattattatatFf tttttaaaaaaa 第68页/共202页( ) (0)ea tf taO1t时域波形双边指数信号的频谱如下：频域频谱222( )aFaO

32、2a1a3a相位( )0 第69页/共202页( )(0)e,0e,0atf taattt奇双边指数：22222()2j(), ,02(),02FaFa （纯虚函数）3. 奇双边指数信号的傅里叶变换第70页/共202页频域频谱O202( )02 2O1aa222( )FaaO1t时域波形( )(0)e0e0atf tatatt，频谱如下：第71页/共202页( ) ()()22f tE u tu t矩形脉冲：( )2( ), 20,( )0( ),( )0FE SaFE SaFF 4. 矩形脉冲信号的傅里叶变换实函数第72页/共202页21, 21fBf 时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限

33、分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为( ) ()()22f tEu tu tOt( )2FE Sa（）O226E-第73页/共202页2( )etf tE（ ）钟形脉冲：5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换 （高斯脉冲）22( )eFE（）其傅里叶变换为：（正实函数）22( )( )0eFE （）第74页/共202页22( )eFE（）OE2eE因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频谱为零。2( )etf tE（ ）OtEeE时域波形频域频谱第75页/共202页010e,0sgn( )00lime,010atatattf ttttt，( )=，6. 符号函数的傅里叶变换2()jF；其傅里叶变

34、换为：2( ),02( ),02F （纯虚数函数）第76页/共202页sgn( ) tOt11O( ) 22 符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。O( )F第77页/共202页7. 冲激函数傅里叶变换对直流信号的傅里叶变换是冲激函数)(21F)(2EEF1de)()()(jtttFFt21de)(21)(j1Ft！( )( )f tt第78页/共202页均匀谱或白色谱1O)(Ft)(to1)(tf1Ot)(2O第79页/共202页8. 冲激偶的傅里叶变换 ( )( )f ttj1( )e

35、d2ttjd( )1(j )edd2tttd( )( )jdFFTtt记为d ( )jdFTtt d( )(j )dnnnFTttd( )2(j)( )dnnnnFT t 同理，有第80页/共202页9. 阶跃信号的傅里叶变换 11( )( )sgn( )22f tu tt11( ) sgn( )221 ( )jFFTFTt 2221( )( )F幅频特性 0,0( )/2,0/2,0 相频特性 u(t)Ot1)(FO第81页/共202页10复正弦信号 j( )ectf tj1(1)ed( )2 tIF Tt jjjedededtxttxjed2 ( )ttjj()(e)ed2 ()ccttc

36、FTt tctje2 ()ctc jectc2的傅里叶变换为一位于且强度为的冲激函数。 结论( )F 2Oc第82页/共202页升余弦脉冲信号的傅里叶变换 补充升余弦脉冲信号：( )1 cos(), (0)2Etf tt其傅里叶变换为：22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF（实数）其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了/( )f tOtE/2E222( )FO2EE34第83页/共202页利用傅里叶变换定义公式jjjj0jjj00( )( )ed1cos()ed2edeedeed244Sa()Sa() Sa() 22tttttttEtFf tttEEE

37、tttEEE化简得：求解过程22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF第84页/共202页3.5.3 MATLAB仿真实现MATLAB数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()。（1）傅里叶变换调用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) j(j )( )edvtFvf ttj(j )( )edvtFvf ut)(ff 第85页/共202页（2）傅里叶逆变换调用格式1）f=ifourier(F) 2）f=ifourier(F,u) 3

38、）f=ifourier(F,v,u) 在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。 ！书中例题可上机练习第86页/共202页j1j( )( )( ) ( )( )ed1( ) ( )( )ed2Fttf tFFF f tf ttf tFF tF时间函数 频谱某种运算 变化 变 化 运算关系建立对应借助基本性质 3.6 傅里叶变换的性质1. 傅

39、里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系。 ！第87页/共202页2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）若 ，则( )( )Ff tF( )2 ()FF tfj() ( )( )( ) ( )( )ed12( )ed2 ()21()( ) ( )2 ()2FtjtFF tffF F tF ttF ttfffF tf 即证明证毕第88页/共202页如冲激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：！( )f t( )2 ( )F tf1( )()2F tf若 为偶函数，则 或 即f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。F()OOOOF(t)tt2 ( ) ( ) t（1）

40、冲激函数第89页/共202页（2）直流函数( )f t/2t1O/2( )F2 2 O()2Sa( )F2c2c1O( )f t2 ct2cO()22cctSa2 c第90页/共202页attf e)(FTj1)(aF?j1)(1taFTF对称性a fFe2)(2)(1t 换成f 换成F1换成t第91页/共202页21:1Ft求222ea taa2211e21112ee12tt例解第92页/共202页 3. 3. 线性（叠加性、均匀性）线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱各个单独信号的频谱之和相加信号频谱各个单独信号的频谱之和1 122j1 122jj1122( ) ( )( )( )( )(

41、 )ed( )ed( )edtttFF f tF a f ta f ta f ta f ttaf ttaf tt111 12211221 122112211111221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )a f ta f ta FFa FFF a f ta f ta F f ta F f tFa Fa Fa FFa FF证明推论第93页/共202页( ) ()() ()()22f tu tu tu tu t ()(/ 2)2()FSaSa 求 f(t) 的傅里叶变换例( )f t/212t/2解第94页/共202页4. 奇偶虚实性无论 f (t) 是实

42、函数还是复函数，下面四式均成立:*( )()FT ftF*()( )FT ftF ( )( )FT f tF ()()FT ftF时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺更广泛地讲，函数f(t)是t的复数；令12( )( )j( )ftftft虚部实部第95页/共202页()()j()FjRXj12j(j)( )( )edecosjsinttFf tftttt整理上式得出：12()( ) cos( ) sindRfttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 第96页/共202页 jecosjsin. 3ttt j1( )( j)ed. 12tftF( j)( j)j()

43、. 2FRX把式（2）、（3）代入式（1）整理得：11( )() co s() sin ()d2 ftRtXt 21( )() sin() cosd2 ftRtXt 第97页/共202页()( )cosd ,Rf tt t( )( )sindXf tt t 性质1 实数函数 设f(t)是t的实函数,则 的实部与虚部将分别等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，则有 ( )F特殊情况讨论：从上式可以得出结论: *()( ) , ()( )( )( )j ( ), ()( )j ( )()( )RRXXFRXFRXFF第98页/共202页)()()()(*FtfFTFtfFT实信号的频谱具有很

44、重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.特点( )( )cosdj( )sindFf tt tf tt t( )()RR*()( )FF( )()XX偶函数奇函数第99页/共202页性质2 虚函数设f(t)是纯虚函数21( )j ( ),( )0f tf tf t则22()( ) sind()( ) cosdRftt tXftt t*()( )FF反之也正确.因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数。( )R( )X第100页/共202页j( )( )ed( )cosdj( )sindtFf ttf tt tf tt t0()( )cosd2( )cosd ()0Rf tt tf tt tX性

45、质3 实偶函数实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数结论反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。推论( )()f tft设f(t)是t的实偶函数，则第101页/共202页( )e()tf tt 例222()F()0 解tOf(t)F()tO第102页/共202页性质4 奇实函数 设f(-t)=-f(t) ，则：(j )0R0()( )sind2( )sindXf tt tf tt t 01( )()sindf tXt 反之，若一实函数f(t)付里叶积分是一纯虚函数，则f(t)必是奇函数。实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数结论推论()( ) cosd0Rf tt t()(

46、)sindXf tt t 第103页/共202页(0)2( )(0)2 222()Fe(0)( )e(0)atattf tt222 j()F例解tOf(t)O|F()|OF()O()/2-/2第104页/共202页同理可以推出：若 是虚函数且还是偶函数，则 的傅里叶变换为虚偶函数。性质5：性质6：若 是虚函数且还是奇函数，则 的傅里叶变换为实奇函数。( )f t( )f t( )f t( )f t读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明第105页/共202页eoeeoo00eo00 ( )( )( ) ( )(), f ( )()()2( )cosd , ()2( )sind11( )()cos

47、d, ( )()sindf tftftftRtXRftt tXftt tftRtftXt eojeo()( )( )ed( ) cosdj( )sindtFftfttftt tftt t如果将 按照奇偶来划分( )f t第106页/共202页( )Re ( )jIm ( )FFF而eo ( )Re ( ), ( )jIm ( )f tFf tF12()( )cos( )sindRf ttfttt21()( ) sin( ) cosdXfttfttt 11( )()cos()sind2f tRtXt21( )()sin() cosd2ftRtXt第107页/共202页 由此可看出，此时由此可看出

48、，此时F()是虚函数且是是虚函数且是的奇函数。的奇函数。对于对于f(t)为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。 上述讨论的结果如下上述讨论的结果如下: :f(t)F( () )实实一般一般实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇偶偶实部偶实部偶奇奇虚部奇虚部奇虚虚偶偶虚部偶虚部偶奇奇实部奇实部奇第108页/共202页5. 尺度变换特性时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数a ，其关系为1( )()()()ftFfa tFaa-j ()()edtF f atf att令x=at，则dx=adt ，代入上式可得则证明时域压

49、缩则频域展宽；展宽时域则频域压缩。结论j11()( )ed( j)xaFTf atfxxFaaa第109页/共202页时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)缩tO缩f(2t)/4缩/4tO缩11(/2)2F/24 4 展展O)2(2F2展展O第110页/共202页尺度变换变换后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hzf(t)f(t/2

50、)f(2t)例第111页/共202页j1( )( )ed2( )d(0)tf tFF fff定义若高度为 的矩形与 的面积相等，则称矩形宽度为等效频带宽度 。 (0)F( )F f等效频带宽度若高度为 的矩形与 的面积相等，则称矩形宽度为等效脉冲宽度 。 (0)f( )f t等效脉冲宽度j()( )ed( )d(0)tFf ttf ttF第112页/共202页(0 )(0 )(0 )(0 )ffFFBf1fB信号的等效脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比。 结论第113页/共202页(2) 脉宽频宽常数(1) 函数 f(at) 表示函数 f(t) 在时间刻度上压缩a倍，同样 表示函数在频率刻度上

51、扩展a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然(/ )Fa上述反比特性的物理意义：第114页/共202页6. 时移特性若 则( )()F TftF0j0()()etFTf ttF证明000j()jjj( )( )ede( )ede( )x tttxFT f xf xxf xxF0 xtt 令则0j0()e( )tFTf ttF第115页/共202页同理可推得：带有尺度变换的时移特性j00()()ed(0)tFTf attf attta0j01()()etaFTf attFaa000j()0jjj1 ()( )ed11e( )ede()x tattxaaaFT f attf

52、 xxaf xxFaaa0 xatt令0()/txtaa 0时加绝对值第116页/共202页单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号：其频谱为0()f t0( )()2FE Sa000( )( )()()f tftftTftTjj00()()(1ee)()(12 cos)()(12 cos)2TTFFFTESaT求三脉冲信号的频谱例解第117页/共202页 频移特性与时移特性对称（这里频移特性与时移特性对称（这里0为实常为实常量）量） 7. 频移特性( )( )FT f tF0j0 ( )e()tFT f tF0j0 ( )e()tFT f tF000jjjj()0 ( )e( )eed( )ed

53、()ttttFT f tf ttf ttF 证明第118页/共202页0001( ) cos()()2fttFF000j( ) sin()()2fttFF( )()f tF1()()()cos2f tTf tTFT若则同理可得第119页/共202页矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t 相乘后信号的频谱函数。(j )()4FASa000)0011 ( )cosj()j()22(1222F f ttFFASaASa 利用频移特性可得宽度为 的矩形脉冲信号对应的频谱函数为例解第120页/共202页0A2/ tt2/ t -)(tfoF()F()o0 02/ tAt2/ t -t tfcos)(

54、0第121页/共202页8. 微分特性微分特性 （1）时域（2）频域，则 ( )( )FT f tF若d ( )j( )df tFTFtd( )(j )( )dnnnf tFTFt( )( )FTf tF d ( )j( )dFTFtf t d( j )( )( )dnFTnntf tF 若 ，则证明（略）第122页/共202页122( )( )( )( )/ j( )( )/(j ) ( )( )/(j )nnf tFftFftFftF 9. 积分特性 ( )( )FT f tF若（1）时域积分则( )( )d (0) ( )jtFFTfF , 则(0)0F若第123页/共202页(2) 频

55、域积分 ( )( )FT f tF若则( ) (0) ( )( )djf tftFt第124页/共202页10 . 卷积定理卷积定理（1）时域卷积定理）时域卷积定理 设有两个时间函数设有两个时间函数f1(t)和和f2(t)，它们分别，它们分别对应的频谱函数为对应的频谱函数为F1()和和F2()：11( )( )FT f tF若22,( )( )FT f tF则1212( )*( )( )( )FT f tf tFF可简记为11221212( )( )( )( )( )( )( )( )LLLf tFf tFf tf tFF第125页/共202页j1212j2121( )( )( )( )ed(

56、 )( )ed( )( )ttF f tf tfFtFftFF证明j1212j12( )( )( )()d ed( )()ed dttF f tf tff ttff ttjj22()ed( )etf ttF式中第126页/共202页（2）频域卷积定理11( )( )FT f tF若22,( )( )FT f tF则12121( )( )( )( )2FT f tf tFF112212121212( )( )( )( )1( )( )( )( )2( )( )( )()dLLLf tFf tFf tf tFFFFFF可简记为第127页/共202页1. 用频移特性3.7 周期信号的傅里叶变换 3.

57、7.1 正、余弦信号的傅里叶变换1j001( ).e()tF f tF1j1e2 ()tF 1j1e2 ()tF 0( )1f t 令 00( )( )2 ( )FFT f t 由频移特性 1j001( ).e()tFT f tF第128页/共202页11jj1111cos(ee) ()()2ttFTtFT 11jj1111sin(ee)j ()()2jttFTtFT 11)(Fo11j ( )Fo余弦信号频谱 正弦信号频谱第129页/共202页2. 用极限方法有限长余弦 看成矩形 乘以 。对 求极限即可得到无限长余弦信号。t1cos)(tG)(0tf)(0tf11jj01( )( )cos(

58、 )(ee)/2ttf tG ttG t0011111( )( ) ()()2 Sa() Sa() 2222FFT f tGG)(limcos01tft21211)(2)(2limcosSaSatF第130页/共202页( )lim()Sa 111cos ()()FTt )(0tf/2t/21-1/21)(0F11( )F1第131页/共202页1j1e2()t 3.7.2 一般周期信号的傅里叶变换1j( )entnnf tF周期信号111/2j/211( )edTntnTFf ttT式中11jj1( )ee2()ntnnntnnnnFFTFFFTFn 第132页/共202页1( )()Tnt

59、tnT1( )2()TnnFTtFn 111111111/2/2jj1/2/211/2j/21111( )ed()ed11( )edTTntntnTTTnTntTFtttnTtTTttTT11112( )()()nnFnnT 求单位冲激序列 的傅里叶变换 例)(tT解第133页/共202页FSFTnF1211/T11O)(ttO(1)(0FO1)(tT1Tt11211O( )F第134页/共202页小结周期信号傅里叶变换的特点： (1) 周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信号则只能求傅里叶变换；(2) 非周期信号的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；(3) 周期信号的频谱 是离散谱，

60、其幅值是无穷大（含谱密度概念），它的大小用冲激表示；(4) 是 的包络的 倍；(5) 是单个复谐波成份的复振幅，而 是单位带宽内所有复谐波成分的合的复振幅值； （6） 的单位是伏特或安培，而 的单位则是(伏特/赫，安培/赫)；(7) 代表的是信号的功率分配, 而 代表了信号的能量分布。 0( )F( )F11/nFnF0( )F( )F( )F0( )F( )F( )F第135页/共202页3.8 抽样定理取样目的及所遇到的问题：数字信号处理系统简单框图模模拟拟信信号号输输入入模模拟拟信信号号输输出出 /A D转转换换器器 数数字字信信号号处处理理器器 /D A转转换换器器取取样样量量化化第1