轨迹方程求法

1、轨迹方程的求解策略一、 直接法直接法也可称为五步法：按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时例1（2013年陕西卷（文）已知动点m(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点n(1,0)的距离的2倍. 求动点m的轨迹c的方程; 解: 设点m(x,y)，以为点m到直线x=4的距离,是到点n(1,0)的距离的2倍,则 . 所以,动点m的轨迹为椭圆,方程为： 二、几何法几何法就是根据某些图形的几何特征或者关系，找到所求动点满足的几何等式，进一步使用五步法得到动点轨迹的方法例2. （2013年陕西卷）已知动圆过定点a(4,0

2、), 且在y轴上截得的弦mn的长为8. () 求动圆圆心的轨迹c的方程; () 已知点b(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹c交于不同的两点p, q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. 解:() a(4,0),设圆心，mn的中点为e，由几何图像知：，,即：，整理得：() 点b(-1,0), . 直线pq方程为: 所以,直线pq过定点(1,0) 三、代入法（相关点法）若动点m（x，y）依赖已知曲线上的动点n而运动，则可将转化后的动点n的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点m的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况例3（2013年上海春招）已知抛物线

3、的焦点为.(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;(2)在轴上是否存在点,使得点关于直线的对称点在抛物线上?如果存在,求所有满足条件的点的坐标;如果不存在,请说明理由.解：(1)设动点的坐标为,点的坐标为,则, 因为的坐标为,所以, 由得：. 即 解得 代入,得到动点的轨迹方程为. (2)设点的坐标为.点关于直线的对称点为, 则 解得 若在上,将的坐标代入,得,即或. 所以存在满足题意的点,其坐标为和. 四、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程比如：圆的定义，椭圆的定义，双曲线的定义等。例4.（2013年新课标1）已知圆,圆，动圆与圆

4、外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.求曲线的方程;解:由已知得圆m的圆心为m(-1,0),半径;圆n的圆心为n(1,0),半径. 设知p的圆心为p(x,y),半径为r. 因为圆p与圆m外切并且与圆n内切,所以 . 由椭圆的定义可知,曲线c是以m,n为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左定点除外),其方程为. 五、参数法若动点p（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.例5设椭圆中心为原点o，一个焦点为f（0

5、，1），长轴和短轴的长度之比为t（a）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为q，点p在该直线上，且，当t变化时，求点p的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 ，所以椭圆方程为(2)设点解方程组得由和得其中t1消去t，得点p轨迹方程为和其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分六、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程例6已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段ab在直线上移动，求直线pa和qb交点m的轨迹方程解：