自考重点线性代数

1、自考重点线性代数全国2011年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：本卷中，At表示方阵A的转置钜阵，A 表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩 阵，|A|表示方阵A的行列式.、单项选择题(本大题共 10小题，每小题2 分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是 符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。10-11 设 A= 3 5 0，则 |AAT|=()0 41 一A. -49B.-7C. 7D.492. 设A为3阶方阵，且A =4，则-2A=()A. -32B.-8C. 8D.323. 设A，B为n阶方阵，且At=-A，Bt

2、=B，则 下列命题正确的是(A. (A+B) t=A+BB. (AB) t=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A, B, X, Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是()2 2 2 2A .若 A2=0,贝V A=0 B. (AB) 2=A2B2C .若 AX=AY,贝V X=Y D.若 A+X=B,贝V X=B-A11315. 设矩阵 A= |0 0 ；1 ：，则秩(A)=()卫 000一A. 1B. 2C. 3D. 4kx 十 z = 06. 若方程组2x ky z=0仅有零解，则k-()kx -2y z = 0A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间 V=

3、 (Xi, X2, X3)|Xi +X3=0的维数是()A. 0B. 1C. 2D. 3f x 2x? _ X3 二，_ 18. 若方程组3x2f -2有无穷多解， X? 'X3 =( 3) '4) ' (* 2)则=()A. 1B. 2C. 3D. 41 0 09设A= !o i o，则下列矩阵中与 A相似的是0 0 2一( )110B.010002一101D.0 2 0001 一100A 0200 0 1 一100C.011002一10 设实二次型 f (X1,X2,X3)-x；，则 f ()A 正定B.不定C .负定D.半正定二、填空题(本大题共10小题，每小题2

4、分， 共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不 填均无分。11. 设 A=(-1,1,2)T, B=(0,2,3)t,则|ABT|=.12.设三阶矩阵人-上1,： 2,：3】，其中:i(i =1,2,3)为A的列向量，且|A|=2，则風 +口2,°2,°1 +口2-°3】二13 .设 A秩(A)=3，贝V a,b,c应满足14 矩阵q = F的逆矩阵是.1<315 .三元方程Xl+X3=1的通解是 .16.已知A相似于a = ：。1 ，则|A-E|=0 0 11仃.矩阵A=|o 1 0的特征值是 .1 0 0一18. 与矩阵A = ； 1相似的对角

5、矩阵是 .10 0 419. 设A相似于“ 0 -1 01，则A4.0 0 1 _23413 44 11 22 322 .设 A=ax+e=a* 1 2 *+x ,20 .二次型 f(X1,X2,X3)=X1X2-X1X3+X2X3 的矩阵是_1X.23 求向量组:11215131-210-13,。2 =2,J =7，Ct 4 =5-1-2-5-3I i-3一一4_-1一的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将 其余的向量表示成该极大无关组的线性组 合./ + 2x2 -2x3 = 024 当，为何值时，齐次方程组2xX2 20有非零3% x2 - x3 = 0解？并求其全部非零解.25.

6、已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征 值，向量：i=(W)T、： 2=(2,2,1)t是 A的对应于 1= 2=1的特征向量，求A的属于3=-1的特征 向量26 .求正交变换 Y=PX ,化二次型f(Xl,X2,X3)=2XlX2+2XlX3-2X2X3 为标准形四、证明题(本大题6分)27 设： 2, ： 3线性无关，证明：1, ： 1 2： 2, ： 1 3： 3也线 性无关.全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵，A 表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。a表示方阵A的行列式，r( A)表示矩阵A 的秩

7、。、单项选择题(本大题共 10小题，每小题2 分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是 符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设3阶方阵A的行列式为2,则三a=()A. -1B. 4C. 1D.1x-2 x1 x-22. 设f(x) = 2x-2 2x-1 2x-2,则方程f(x)=0的根的个数3x -2 3x 2 3x 5为()A.0B.1C.2D.33. 设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换 得到方阵B,若|A*|B ,则必有()A|a= oB. |a + bh oC. |AH 0D. |A-B|H 04. 设A,B是任意的n阶方阵，下

8、列命题中正确的 是( )A. (A +B)2 = A2 +2AB + B2B. (A B)(A-B )= A2-B2ab5.设A二a3biC. (A_E)(A E )=( A E )(A_E )D. (AB )2 = A2 B2a-|b2a1b3a2b2a2b3 ,其中 a01b0,112131 则矩阵 A 的*3鸟&3匕3 j秩为()A.0B.1C.2D.36. 设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵A* 的秩为()A.0B.2C.3D.47. 设向量a= (1, -2, 3)与沪(2, k, 6)正交, 则数k为()A.-10C.3B.- 4D.10* + X2 + X3 = 48已

9、知线性方程组 ax? X3 =3无解，则数a=()2x1 2ax2 = 4B.0C. 1D.19.设3阶方阵A的特征多项式为ea=（丸+2）+3）2, 则 |A=（）A.-18B.- 6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵a二佝）是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）A.-1， -2，-3C.-1, 2, 3二、填空题（本大题共B.-1, -2, 3D.1, 2, 310小题，每小题2分,共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设行列式D =3 042 225 3-2,其第3行各元素的代数余子式之和为12. 设 A =心八 B = Y J，则 AB=.ia aib b

10、(10 3、13. 设 A 是 4X3 矩阵且 r(A)=2, B= 0 2 0 ,则L103 丿r( AB )=.14. 向量组(1,2),(2,3)(3,4)的秩为15. 设线性无关的向量组 a, a,，a可由向量组31, ,，也线性表示，则r与s的关系为为 +hx2 +x3 =016.设方程组 为X2 X3=0有非零解，且数'：0,则X 屜"；x3 =0仃.设4元线性方程组ax = b的三个解a, a, a,已知：i =(1,2,3,4)T, - ：r =(3,5,7,9)T,r( A )=3.则方程组的通解是.18. 设3阶方阵A的秩为2,且A2 5A= 0,则A的全

11、部特征值为.广-211 '19. 设矩阵A= 0 a 0有一个特征值丸=2,对应的特日13丿征向量为x= 2 ,则数a=.z20. 设实二次型f(X1,X2,X3)*AX,已知A的特征值为-1,1, 2,则该二次型的规范形为.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)列向量，且A= C,2 2,3 3), B=：，2, 3),其中：,：，2, 3 均为 3 维A = 18, B = 2.求 A-B .21.设矩阵广11-r'0rr022X +1°=11-1°3><2b22.解矩阵方程23. 设向量组 ai= (1, 1, 1, 3) T,

12、 a= (-1, -3, 5, 1) T, a= (3, 2, -1, p+2) T, a= (3, 2, -1, p+2) T问p为何值时，该向量组线性相关？ 并在此时求出它的秩和一个极大无关组.2x； x2 -X3 = 124. 设3元线性方程组 “乜x3 =2 ,4x1 5x2 -5x3 二-1(1) 确定当入取何值时，方程组有惟一解、无 解、有无穷多解？(2) 当方程组有无穷多解时，求出该方程组的 通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表 示).25. 已知2阶方阵A的特征值为入=1及© = 方阵(1)求B的特征值;(2)求B的行列式.26. 用配方法化二次型 f (Xi,

13、 X?, X3) = Xi 2x? 2X3 4XiX2 +12 X2 X3 为标准形，并写出所作的可逆线性变换.四、证明题(本题6分)27. 设A是3阶反对称矩阵，证明a = 0.全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩 阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵 A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位 矩阵。、单项选择题(本大题共 10小题，每小题2 分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符 合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。1.设 3 阶方阵 A=( a 1,

14、 a 2, a 3)，其中 a (i=1,2,3) 为A的列向量，若| B |=| ( a计2 a 2，a 2，a 3) 1=6,则 | A |=()A.-12B.-6C.6D.122.计算行列式3 0202 10 5 00 0-20-2 3-23=(A.-180B.-120C.1203. 若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=(A丄2C.44. 设 a 1, a 2,( )A. a 1, a 2, a 3, a 4线性无关 B.a 1, a 2, a 3, a 4线性相关C. a 1可由a 2, a 3, a 4线性表示D. a 1不可由 a 2, a 3, a 4线性表示5.

15、 若A为6阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0的基 础解系中解向量的个数为2,则r(A)=(A.2C.46. 设A、B为同阶方阵，A.A与B相似C.A与B等价7. 设A为3阶方阵，A+2E |=()D.180B.2D.8都是3维向量，则必有B.3D.5且 r(A)=r(B),则(B.| A |=| B |D.A与B合同其特征值分别为2,1,0则|A.0B.2A.A与B等价C.| A |=| B |9若向量a = (1,t=()A. -2C.2B.A与B合同D.A与B有相同特征值=A设11=B2 O-C.3D.248.若A、B相似，则下列说法错误的是（） -2,1 )与卩=(2, 3, t)正交，则

16、B. 0D.410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0,则（）A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分， 共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不 填均无分。AB=.12. 设A为3阶方阵，且| A |=3,则| 3A-1|=.13三元方程 Xl+X2+X3=1 的通解是14. 设a = (-1, 2, 2),则与a反方向的单位向量是.15. 设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W=x| Ax=0的维数是.16. 设A为3阶方阵，特征值分别为-2,舟，1,则 | 5A-1 |=.仃若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且 r

17、(B)=3，贝H r(AB)=.*2-1 0 '18. 实对称矩阵-1 0 1所对应的二次型 f (X1, X2,3 _20.设a = 2 ，贝V A= a a T的非零特征值是3丿 1丿X3)=.n19. 设3元非齐次线性方程组 Ax=b有解a 1= 2，a 2= 2且 r(A)=2，贝V Ax=b的 通解是,3丿三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共0 10 00 02 00 254分)0 2 021.计算5阶行列式D= 0 0 20 0 0Q 00 -1e °23.求非齐次线性方程组Xi +x2 -3x3 -x4 =13xi -x2 -3x3 +4x4 =4 的通解

18、.Xi "5X2 -9x3 -8X4 =022.设矩阵X满足方程求X.24. 求向量组 a 1= (1,2, -1,4), a 2=(9,100,10,4), a 3= (-2, -4,2, -8)的秩和一个极大无关组.2-1 2、25. 已知A= 5 a 3的一个特征向量E = ( 1,1 , -1)日b 2丿T，求a, b及E所对应的特征值，并写出对应 于这个特征值的全部特征向量.2 1 1 226.设 A= 1 -2 1 a ,试确定 a 使 r(A)=2.11 -22 j四、证明题(本大题共1小题，6分)27若a 1, a 2, a 3是Ax=b(b 0)的线性无关解， 证明

19、a 2- a 1, a 3- a 1是对应齐次线性方程组 Ax=0的线性无关解.全国2009年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184说明：在本卷中，At表示矩阵A的转置矩阵， A表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩 阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩 阵A的铁。一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分, 共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是 符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。0 -1 11. 3阶行列式乩=1 0 -1中元素32!的代数余了式-1 1 0A、=()A-2B. -1a11 a12a?1 +a1 a

20、?2 +a20 1 '2.设矩阵A=,B=,p 1 =01a 22 丿ana12J 0丿C1D2io,则必有()i1PiP2A=BB.P2PiA=BAPi P2=B3.设n阶可逆矩阵B-1=()A. A-1C-1A、B、B.AP2Pi=BC满足ABC=E，贝yC. ACCA4.设3阶矩阵A=,则a2的秩为（B. 15 设：1，： 2，： 3，： 4 是个4维向量组，若已知：4可以表为：12,： 3的线性组合，且表示法惟一，则 向量组：1,： 2,： 3,： 4的秩为（）B. 2D. 4：1，：2,：3,：4线性相关，则向量组中6. 设向量组（ ）A 必有一个向量可以表为其余向量的线性组

21、 合B. 必有两个向量可以表为其余向量的线性组 合C. 必有三个向量可以表为其余向量的线性组 合D .每一个向量都可以表为其余向量的线性组 合7. 设:'12 3是齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程 组基础解系的是（A 1，：21 %B>1 *，>2 亠-：3, ： 3 gD >12 -<-3, >3 -<-1'2 08若2阶矩阵A相似于矩阵B=单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（-10B.1-4-1 09 设实对称矩阵A= 0 -4 2，贝U 3元二次型F 2匕f（Xi,X2,X3）=XTAx 的规范

22、形为（）B.2-Z32ZiD Zi2 z；10 若3阶实对称矩阵A= （ aj）是正定矩阵， 则A的正惯性指数为（）A 0B. 1C2D31、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共 20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、2ai23ai34a226a2363329a33=6 ,不填均无分aii11已知3阶行列式23213a3iaiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a3312 设3阶行列式D3的第2列元素分别为1,2,3,对应的代数余子式分别为-3, 2, 1,则D3=.<1 2)13设 A=，则V1 0丿2A2-2A+ E=.14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的(-2)

23、倍q 2加到第1列得到矩阵B.若B= ，则13 4丿A=. o 0 r15.设 3 阶矩阵 A=0 2 2, 则I333A-1=.16.设向量组 % =（ a,1,1）严2 =（ 1,-2,1）, «3=（1,1,-2）线性相关，则数a=.仃.已知X1=(1,0,-1)T, X2=(3,4,5)t是3元非齐次线性 方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线 性方程组Ax=0有一个非零解向量 y.18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1, 2,它们 对应的特征向量分别为=(1, 1)T,°2=(1, k)T，则数 k=19. 已知3阶矩阵A的特征值为0, -2, 3,且矩阵B与A相

24、似，则|B+E|=.20. 二次型 f(Xl,X2,X3)=(Xl-X2)2+(X2-X3)2 的 矩 阵A=.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共 54分)1 x 321.已知3阶行列式|aj| = x 2 0中元素如的代数余子514式Al2=8，求元素321的代数余子式A21的值.(-1 1、22.已知矩阵A =L °-1 1'B= ,矩阵X满足<° 2丿AX+B=X，求 X.23. 求 向量组 1 =(1,1,1,3)T，2 =(-1,-3,5,1)T，3=(3,2,-1,4)T，:4 =(-2,-6,10,2)T 的一个极大无 关组，并将向量组中

25、的其余向量用该极大无 关组线性表出.faxi +x2 +x3 =024. 设3兀齐次线性方程组X1 +ax2 +X3 =0，x<i +x2 +ax3 =0(1) 确定当a为何值时，方程组有非零解；(2) 当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.2 025. 设矩阵B= 3 i 3 ,# 0 5丿（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理 由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和 可逆矩阵P，使P-1BP=26. 设3元二次型 f （Xi ,X2 ,X3）=xj +2x； +X2 2XiX2 2X2X3 , 求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.四、证明题（本题6分）27.已知A

26、是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证 明A的特征值只能是0或-2.全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，At表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；秩（A） 表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列 式；E表示单位矩阵。、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2 分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合 题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。1. 设A为三阶方阵且A=_2,则3AtA=（）A.-108B.-12C. 12D.10843xi -心一X3 二 02. 如果方程组4X2 -X3 =

27、0有非零解，则k=（）4x2 +kx3 =0A.-2B.-1C.1D.23. 设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ）A.AB=BAB. a b ' = a 1 b 1C A B |BD A B T =AT BT4. 设A为四阶矩阵，且A= 2,则（）A.2C.8B. 4D. 125.设冋由向量 ai = (1, 0, 0) a 2 = (0, 0, 1) 线性表示，则下列向量中:只能是A. (2, 1, 1)B. (-3, 0, 2)C. (1, 1, 0)D. (0,-1,0)6.向量组a 1 , a 2 ,，a s的秩不为S(S 2)的充分必要条件是()A. a 1 , a

28、 2 ,，as全是非零向量B a 1 , a 2,，a s全是零向量C a 1 , a 2,，a s中至少有一个向量可由其它向量线性表出D. a 1 , a 2,，as中至少有一个零向量7. 设A为mn矩阵，方程AX=0仅有零解的充分 必要条件是(A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性 相关C. A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性 相关8. 设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是() A.a=b8秩(A)=秩(B)C.存在可逆阵 P，使 P-1AP=B D. E-A= E-B"1 0 019.与矩阵A= o i o相似的是(A0 2 00 0 1刁0 0刁0 0C 1 1 0P 0 20 0 2"1 1 0B. 0 1 0V 0 2 一-1 o 1 D.0 2 00 0 1IO设有次型 f (X1'X2X3)X0 N r 113. 设 A= 0 1 01，贝V A-1=.0 2 2 一14. 设A为3