金融数学完整课件全辑

1、2021-10-151金融数学2021-10-152导论金融数学基础第一章金融市场第二章二叉树、资产组合复制和套利第三章股票与期权的二叉树模型第五章连续时间模型和Black-Scholes公式第六章Black-Scholes模型的解析方法第七章对冲第八章互债券模型和利率期权第十章 货币市场和外汇风险第十一章 国际政治风险分析金融数学2021-10-153导 论在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行跨期的（inte

2、rtemporally）最优配置（allocation）。2021-10-154如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源进行跨期的最优配置？ 荒岛鲁宾逊传奇（Robinson Crusoe） 思路：求一个终身的跨期最优消费投资问题； 工具：随机最优控制（Stochastic optimal control）导 论2021-10-155被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C Merton)曾这样说过： 优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实用。 导 论2021-10-156导论一

3、、金融与金融数学二、金融数学的发展历程三、金融数学的结构框架2021-10-157一、金融与金融数学金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进行跨期（最优）配置。2021-10-159 宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点讨论货币供求均衡货币供求均衡、金融经济关系、通货膨通货膨胀与通货紧缩胀与通货紧缩、金融危机金融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国际金融体系等问题。宏

4、观金融学的核心是货币经济学。一、金融与金融数学2021-10-1510金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。”金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风险转移和控制等。与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微观部分。一、金融与金融数学2021-10-1511完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论

5、到实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。 一、金融与金融数学2021-10-1512金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。一、金融与金融数学数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。金融学：研

6、究运作“金钱”事务的科学。金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。2021-10-1513 金融数学是金融经济学的数学化。金融经济学的主要研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论 及动态投资组合理论。 一、金融与金融数学2021-10-1514金融数学研究的主要内容： 风险管理 效用优化金融数学的主要工具是随机分析和

7、数理统计（特别是非线性时间序列分析）。 一、金融与金融数学2021-10-1515一、金融与金融数学依据研究方法：2021-10-1516规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融原理进行推导。如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。一、金融与金融数学2021-10-1517金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期： 代表人物有阿罗（K . A rro

8、w ）、德布鲁（G . Debreu ）、林特纳（J . Lintner ）、马柯维茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亚尼（F . Modigliani ）等。 二、金融数学的发展历程2021-10-1518 尽管早在1900年，法国人L巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星，因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。马科维茨(HMarkowitz)1952年发表的那

9、篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。稍后，莫迪利亚尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次应用无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu，1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。二、金融数学的发展历程2021-10-1519 这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，1964)、林特纳(Lintn

10、er，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利理论联系起来。二、金融数学的发展历程2021-10-1520第二个时期为1969-1979 年：这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔斯( M . Scholes ）、考克斯（J

11、. Cox ）、罗斯（.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克(S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。 二、金融数学的发展历程2021-10-1521 首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(

12、Brennan，1970)等将马科维茨的静态分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton，1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。 二、金融数学的发展历程2021-10-1522二、金融数学的发展历程 1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的期权定价公式，以及莫顿(Mer

13、ton，1973b)对该定价公式的发展和深化。 在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。 同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法开始使用。2021-10-1523金融数学发展的第三个时期：1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲（D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。 二

14、、金融数学的发展历程2021-10-1524 1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下，显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱克-斯科尔斯模型。 在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克(Di

15、amond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。二、金融数学的发展历程2021-10-1525三、金融数学的结构框架2021-10-1526 第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了

16、资本资产定价模型和期权定价模型。第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇市场、证券市场的应用。三、金融数学的结构框架2021-10-1527补充： 金融数学基础第一节微积分在数理金融中的应用第二节线性代数在数理金融中的应用第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1528第三节随机过程在数理金融中的应用一、随机过程的含义1. 如果对变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数x2(t ), ,因而得到一族函数.2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t

17、),于是就得到一族随机变量X(t),t0（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程.2021-10-1529二、随机过程的定义二、随机过程的定义上的随机过程。在是定义的随机变量族则称依赖于参数与之对应有一个随机变量若对每一个是给定的参数集是概率空间设定义PFTtetXt，etXT，t，TPF,1 . 2 通常指时间）（指标集称为参数集，简记，TTttX, 可能状态称为状态空间值域的所有系统的状态通常表示在时刻tXttX2021-10-1530上的二元函数是定义在随机过程从数学的观点来看注TTtetX，：,上的一个随机变量；是，对固定的PFetXt,),(.1称为样本函数空间；样本函数的全

18、体，则得到一族样本函数变动实现或轨道的一个样本称为样本函数，对应于上的一个普通函数是定义在对固定的，e，e，TetXe),(,.2处的某一个状态。时刻系统所即在为一个数都固定当t，et，Xet,).32021-10-1531三、随机过程的分类第三节随机过程在数理金融中的应用1按状态空间按状态空间I和时间和时间T是可列集还是连续集分类是可列集还是连续集分类：(1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X(t)是连续型随机变量,则称过程X(t),tT为连续型随机过程.(2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X(t)是是离散型随机变量，则称过程X(t),tT为离散型随机过程。2021-10-1

19、532第三节随机过程在数理金融中的应用(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT, X(t)是连续型随机变量，则称过程X(t),tT为连续型随机序列. (4).离散型随机序列离散型随机序列:T是可列集是可列集, 且且 t T, X(t)为离散型随机变量为离散型随机变量, 则称过程则称过程X(t),t T为离散型随机序列。为离散型随机序列。 通常通常T取为取为T =0,1,2或或T =0, 1，2,此时随机序此时随机序列常记成列常记成Xn,n=0,1,或或 Xn,n 0。 2021-10-1533在时间和状态上都连续连续型随机过程2021-10-1534在时间上连续，状态上离散离散型随机过程2

20、021-10-1535在时间上离散，状态上连续连续型随机序列2021-10-1536在时间上离散，状态上离散离散参数链2021-10-15372按分布特性分类：按分布特性分类： 依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳过程 等等第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1538四、四、 随机过程的统计描述随机过程的统计描述一）、有限维分布函数族一）、有限维分布函数族 对任一固定时刻，随机过程是一随机变对任一固定时刻，随机过程是一随机变量，这时可用研究随机变量的方法研究随机量，这时可用研究随机变量的方法研究随机过程的统计特性，但随机过程是一族随机变过程的

21、统计特性，但随机过程是一族随机变量，因此，对随机过程的描述，需用有限维量，因此，对随机过程的描述，需用有限维分布函数族。分布函数族。有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族2021-10-1539。TttxFT，t称为一维分布函数族，得一族分布函数对所有不同的,;1 ,)()(;)(,2 . 211111的一维分布函数为随机过程的分布函数称对给定时刻是随机过程设定义tXxtXPtxFtXTt，TttX则称偏导的偏导存在对若，xtxF;1 的一维分布密度为随机过程tXxtxFtxf;1。TttxfT，t数族，称为一维概率密度函得一族概率密度函数对所有不同的,;12021

22、-10-1540的联合分布函数。个随机变量所对应的个不同时刻关系，一般需用相互随机过程在不同时刻的的统计特性，为了描述在某一时刻述随机过程一维分布函数族只能描)(,),(),(,)(2121nntXtXtXnTtttntXnnnnnxtXxtXxtXPtttxxxF)(,)(,)(,;,221121211,;,21212121nTttt，tttxxxFF，n，Ttttnnnnn这些分布函数的全体：维分布函数便得一族时取遍参数集当 的有限维分布函数族。称为随机过程tX2021-10-1541当作常数看待。可将参数数字特征时，在求只是含有参数随机变量的数字特征定义及计算类同随机过程的数学特征其tt

23、, TtdxtxxftxxdFtXEtmX;11设X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数为X(t)的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。1、均值函数、均值函数 二）、随机过程的数字特征二）、随机过程的数字特征2021-10-1542 平均又称集平均。通常称这种平均为统计的函数值的均值，的所有样本函数在时刻过程是随机里是一条固定的曲线，这注意曲线上下波动，样本曲线绕的波动中心它表示随机过程是一个平均函数显然ttXtmtmtm，tX，tmXXXX)(tmX)()(ttmXX)()(ttmXX)(tX2021-10-15432 2随机过程的其他数字特征随机过程的其他数

24、字特征( )( )( ),XXmttE X ttT为X( (t) ),tT的均方值函数均方值函数. )()(tXEtX22 为X( (t) ),tT的方差函数方差函数. . )()()(tXDtDtXX 2 为X( (t) ),tT的协方差函数协方差函数. )()()()()(),(),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX 为X( (t) ),tT的均值函数均值函数. 第三节随机过程在数理金融中的应用 Rx(s,t)=EX(s)X(t)为X(t),tT的自相关函数， 简称相关函数相关函数2021-10-1544均值函数表示X(t),tT在各时刻波动的中心；方差函数表示X(t),tT在各时

25、刻关于均值函数的平均偏离程度；Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示X(t),tT在两个不同时刻状态的统计依赖关系。第三节随机过程在数理金融中的应用释义：2021-10-1545六、几类随机过程第三节随机过程在数理金融中的应用（一）平稳过程严平稳随机过程弱平稳随机过程2021-10-1546严平稳随机过程1定义定义：设X(t),tT是随机过程,如果对于任意的常数h和任意正整数n,及任意的n维随机向量(X(t1),X(t2),X(tn)和(X(t1+h),X(t2+h),X(tn+h)具有相同的分布,则称随机过程X(t),tT具有平稳性,并同时称此过程为严平稳过程。 平稳过程的参数集T,一般为(-

26、 ,+),0,+, 0,1,2,0,1,2,以下如无特殊说明，均认为参数集 T=(-,+).当定义在离散参数集上时,也称过程为严平稳时间序列。 第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-15472严平稳过程的数字特征严平稳过程的数字特征定理定理 如果X(t),tT是严平稳过程，且对任意的tT， EX2(t)+（二阶矩过程）,则有(1)EX(t)=常数，tT；(2)EX(s)X(t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1548证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 EX(t)2EX2(t)+, 所以EX(t)存在。 在严平稳

27、过程的定义中，令h=-s,由定义X(s)与X(0)同分布，所以EX(t)= EX(0)为常数。一般记为X. 第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1549(2) 由由Cauchy-Schwarze不等式不等式 EX(s)X(t)2 EX2(s)EX2(t)+ , 所以所以EX(s)X(t)存在。存在。 在严平稳过程的定义中，令在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义由定义(X(s),X(t)与与(X(0),X(t-s)同分布，即有同分布，即有EX(s)X(t)= EX(0)X(t-s) ,即即Rx(t,t+ )=EX(0)X( )=Rx ( ) 所以，所以，Rx (s,t)只依赖于

28、只依赖于t-s,而与而与s,t T的具体取值无关。的具体取值无关。 进而，进而，Cx( )=EX(t)- xX(t+ )- x=Rx ( )- x2只与只与 有关；有关； x2=Cx (0)=Rx (0)- x2 为常数为常数.第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1550(弱弱)平稳过程平稳过程1 定义定义 设X(t),tT是二阶矩过程(EX2(t)+),如果 (1) EX(t)=x(常数)，tT； (2) 对任意的t,t+T, Rx()=EX(t)X(t+)只依赖于。则称X(t),tT为宽平稳过程,简称为平稳过程.第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1551 特别地，

29、当T为离散参数集时，若随机序列Xn(t)满足E(Xn2)+,以及 (1) EXn= X(常数)，nT； (2) R X(m)=EXnXn+m只与m有关。称Xn为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-15522严平稳和宽平稳的关系严平稳和宽平稳的关系 (1)严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过程时,则它一定是宽平稳过程。 (2)宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程,两者是等价的 。第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1553（二）独立增量过程1定义定义 设X(t),t0为一随机过程

30、,对于0st,称随机变量X(t)-X(s)为随机过程在区间s,t上的增量. 若对于任意的正整数n及任意的0t0t1t2tn,n个增量 X(t1)-X(t0)，X(t2)-X(t1)，X(tn)-X(tn-1)相互独立，称X(t),t0为独立增量过程。 第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1554第三节随机过程在数理金融中的应用 若对于任意的实数s, t 和0s+ht+h, X(t+h)X(s+h)与X(t)X(s)具有相同的分布,则称增量具有平稳性,并称相应的独立增量过程为齐次的或时齐的。 2021-10-15552独立增量过程的性质独立增量过程的性质 (1)独立增量过程X(t),

31、t 0在X(0)=0的条件下,X(t)的有限维分布函数可以由增量X(t)-X(s)， 0st的分布确定.第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1556证：令Yk= X(tk )- X(tk-1 ), k=1,2, ,n. t0 0=0. 由条件，增量的分布已知，且具有独立增量，则Y1,Y2, ,Yn的联合分布即可确定，而 X(t1)=Y1， X(t2) =Y1+ Y2， X(tn) =Y1+ Y2 + + Yn，即X(tk) 是Y1 ，Yn的线性函数，Y1,Y2, ,Yn的联合分布确定了X(t)的有限维分布函数。第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1557(2)独立增量过

32、程X(t),t 0在X(0)=0的条件下,X(t)的协 方差函数为 ).,(min(),(tsDtsCXX 第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1558第三节随机过程在数理金融中的应用证明: 记Y( (t ) )=X( (t) )-X( (t) ),当X( (t) )具有独立增量时， Y( (t ) )也具有独立增量；且Y(0)(0)=0,EY( (t ) )=0, DY( (t)= )= EY2( (t ) ).所以，当0st 时，有 2021-10-1559)()(),(tYsYEtsCX )()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()0()(2sYEsYtYEY

33、sYE )(sDX 于是可知对于任意的s,t0,协方差函数可表示为： ).,(min(),(tsDtsCXX 同理，当0ts时，有)(),(tDtsCXX 第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-1560定义：设定义：设X(t),tT是随机过程，若对任意正整是随机过程，若对任意正整数数n及及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是是n维正态随机变量，则称维正态随机变量，则称X(t),tT是正态过程或是正态过程或高斯过程。高斯过程。特点：特点： 在通信中应用广泛；在通信中应用广泛；1.正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，正态过程只要知道其均值函数和协方差函数

34、，即可确定其有限维分布。即可确定其有限维分布。正态过程正态过程2021-10-1561(正态过程的一种特殊情况正态过程的一种特殊情况)1、物理背景、物理背景 18271827年英国植物学家罗伯特年英国植物学家罗伯特. .布朗发现的现象：布朗发现的现象：沉浸在液体或气体中质点不停地作不规则过沉浸在液体或气体中质点不停地作不规则过去去, ,只有在显微镜上才看得清的质点运动只有在显微镜上才看得清的质点运动, ,称称为布朗运动。为布朗运动。维纳过程维纳过程 。XttX力场的不断撞击是由于受到周围介质质点之所以不停地运动。相对于起点的位移时刻表示作布朗运动质点在设00,2021-10-1562 是正态分

35、布是合理的；假定由中心极限定理知相互独立的小位移之和上位移看成许许多多质点在时间区间sXtX，ts),().1 ( 有相同分布；与位移有理由假设对任意而与起点无关布只依赖于此区间的长区间上的位移的概率分且质点在一个态因假设介质处于平衡状hsXhtXsXtX，h，s，t，0).2(2021-10-1563(3).(3).质点的运动完全由不规则分子撞击而引起，质点的运动完全由不规则分子撞击而引起，在不重迭区间上碰撞次数与大小是独立的在不重迭区间上碰撞次数与大小是独立的, ,故在故在不重迭区间上质点的位移是独立的不重迭区间上质点的位移是独立的, ,可理解为有可理解为有均匀的独立增量。这样导致了维纳过

36、程的定义。均匀的独立增量。这样导致了维纳过程的定义。注注: :维纳是首先从数学上研究布朗运动的人之一。维纳是首先从数学上研究布朗运动的人之一。2021-10-1564 0, 0,).3().2(0)0().1 (,222stNsWtWtsW，ttW增量是独立平稳增量过程如果为随机过程、定义：设 。，TttW中的电流热噪声等通信朗运动此类过程常用来描述布运动过程为维纳过程，也称布朗则称,2021-10-15652021-10-15662维纳过程的性质维纳过程的性质 (1). 维纳过程 W(t)，t0为正态过程(每一个有限维分布均为正态分布)。 第三节随机过程在数理金融中的应用2021-10-15

37、67 nkkkktwtwatwa2111 nnnnnnnkkktwatwatwatwatwatwatwatwu 111232212111 它是独立正态随机变量之和，所以它是正态随机变量，由正态分布的性质知(W(t1)，W(t2)，W(tn)服从n维正态分布，因此W(t)为正态过程。 第三节随机过程在数理金融中的应用证明: 对于任意正整数n和任意时刻t1,t2,tn(0t1t20()( , )( )r T tq t TP t e标的资产不支付收益的证券。如果上式不成立，则会出现什么情况？2021-10-1589第二节远期标的资产为不支付收益证券的t,T上远期在任何时刻st，T的价值()()()(

38、)()()( ; , ) ( , )( , ) ( )( ) ( )( ) ( )( , )r T sr T sr T tr T sr s tr T sf s t Tq s Tq t T eP s eP t eeP sP t eP sq t T e2021-10-1590第二节远期组合复制：假定初始时刻t0,T有两个证券组合组合1:一份多头远期合约（在时刻t的价值f(t;t,T）=0),外加数额为q(t,T)e-r(T-t）的现金。组合2：价值为P(t)的一股标的资产。()( ; , )( , )( ) , r Tsf s t Tq t T eP sst T 2021-10-1591第二节远期

39、例1：假定某股票目前的股价为50元，且未来6个月内不支付红利，若无风险利率为5%,签定一个6个月期的以此种股票为标的资产的远期合约，远期的价格应为多少？例2：一个还有9个月将到期的远期合约，标的资产是一年期的贴现债券，远期合约的交割价格为1000元，若9个月期的无风险年利率为6%，债券的现价为960元，求远期合约多头的价值？2021-10-1592第二节远期0.05 0.5( , )5051.27q t Te1解：2解： 0.06 0.75; , 960 1000 4r T tf s t TP sq t T ee2021-10-1593第二节远期已知现金收益的证券 若远期的标的资产在有效期内的

40、现金收益总额的现值为I(t)，则在无套利的假设下：()( , ) ( )( )r T tq t TP tI t e否则，会出现什么情况？2021-10-1594第二节远期例：一个现价为100元的股票的10个月期的远期合约，若在3个月、6个月、9个月后都会有每股1.5元的利润，若无风险的年利率为8%，求远期价格？2021-10-1595第二节远期解： 10120.020.040.060.081.51.51.54.32,1004.32102.28I teeeq t Te2021-10-1596第二节远期两个组合组合1:一份多头远期合约（在时刻t的价值f(t;t,T）=0),外加数额为q(t,T)e

41、-r(T-t）的现金。组合2：价值为P(t)的一股标的资产和以无风险利率r借得的数额为I(t)的现金。()( ; , )( , )( )( ) , r T sf s t Tq t T eP sI sst T 或()( ; , ) ( , )( , ) , r T sf s t Tq s Tq t T est T 2021-10-1597第二节远期例：一种三年期国债，目前价格为90元。若还有1年到期的这种债券的远期合约的远期价格为91元，在6个月和12个月后，预计将收到6元利息，而第二次付息日正好在远期交割日之前，假定6个月和12个月的无风险利率分别为9%和10%，则求远期合约在时刻s的价值。2

42、021-10-1598第二节远期解： 0.09 0.50.10.16611.17; ,90 11.17913.51I seef s t Te 2021-10-1599第二节远期已知红利率的证券两个组合组合1:一份多头远期合约（在时刻t的价值f(t;t,T）=0),外加数额为q(t,T)e-r(T-t）的现金。组合2：持有e-(T-t)股（价值为 e-(T-t) P(t) ）标的证券。()()( ; , )( , )( ) , r T sT sf s t Tq t T eP s est T 或（假定红利收益率按年利率（连续复利）支付）()()( ; , )( )( , ) , T sr T sf

43、 s t TP s eq t T est T 2021-10-15100第二节远期此时，标的资产为已知红利率的证券的远期的价格()()( , )( )rT tq t TP t e空头的价值为多少？2021-10-15101第二节远期例：一个还有6个月到期的远期，标的资产的连续红利收益率为4%，若无风险年利率为10%，远期价格为54元，目前该标的资产的价格为50元，求时刻s该远期多头的价值和远期的价格？2021-10-15102第二节远期解： 0.04 0.50.1 0.50.06 0.5; ,50542.36,5051.52rT sf s t Teeq s TP s ee 2021-10-15

44、103第三节股票及其衍生产品一、股票股份有限公司在筹集资金时向出资人发行的股份凭证。股票代表着其持有者（即股东）对股份公司的所有权。这种所有权是一种综合权利，如参加股东大会、投票表决、参与公司的重大决策、收取股息或分享红利等。同一类别的每一份股票所代表的公司所有权是相等的。每个股东所拥有的公司所有权分额的大小，取决于其持有的股票的数量占公司总股本的比重。股票一般可以通过转让收回其投资，但不能要求公司返还其出资。股东与公司之间的关系不是债权债务关系。股东是公司的所有者，以其出资分额为限对公司负有限责任，承担风险，分享收益。2021-10-15104股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的

45、价值完全由股票的未来价值决定。卖方（writer）：制定并出售合约的个人或公司。买方（holder）：购买合约的个人或公司。标的资产：合约所基于的股票。第三节股票及其衍生产品2021-10-15105二、股票的远期合约Forward Contracts远期合约是指交易双方约定在未来某个特定时间以约定价格买卖约定数量的资产。 第三节股票及其衍生产品2021-10-15106第三节股票及其衍生产品2021-10-15107合约条款：n在确定的日期（到期日），合约的买方必须支付规定数量的现金（即执行价格）给合约的卖方。1.合约的卖方必须在到期日转让相应股票给买方。第三节股票及其衍生产品2021-10

46、-15108第三节股票及其衍生产品到期时的利润或损失到期时的利润或损失：到期日买方的利润或损失：到期时的价格；执行价格TSXTSX2021-10-15109远期合约到期之前的利润或损失的价格公式？ 第三节股票及其衍生产品2021-10-15110复制投资：复制投资：资产组合：一个远期合约：价值 ；现金：资产组合的净现值： 到期日资产组合复制了一股股票：合约价值现金量一股股票第三节股票及其衍生产品f()r T tXe()r T tVfXe2021-10-15111第一套利机会：卖空股票合约价值现金量一股股票第三节股票及其衍生产品2021-10-15112无套利定价公式()r T ttfXeS()

47、r T ttfSXe第三节股票及其衍生产品2021-10-15113例2-1：若有一个股票合约，从现在起40天后到期，如果执行价格是65美元，今天股票价格为64.75美元，今天合约的价格是多少（r=0.055）？ 第三节股票及其衍生产品2021-10-15114二、期权 期权是指在未来一定时期可以买卖的权力，是买方向卖期权是指在未来一定时期可以买卖的权力，是买方向卖方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段方支付一定数量的金额（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价

48、格）向卖方购买（指看涨以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买（指看涨期权）或出售（指看跌期权）一定数量的特定标的物的权期权）或出售（指看跌期权）一定数量的特定标的物的权力，但不负有必须买进或卖出的义务。期权交易事实上就力，但不负有必须买进或卖出的义务。期权交易事实上就是这种权利的交易。买方有执行的权利也有不执行的权利，是这种权利的交易。买方有执行的权利也有不执行的权利，完全可以灵活选择。完全可以灵活选择。第三节股票及其衍生产品2021-10-15115第三节股票及其衍生产品期权的类型期权的类型: 按期权的权利来划分，主要具按期权的权利来划分，主要具有以下三种：看涨期权和看跌期有以下三种：看

49、涨期权和看跌期权以及双向期权。权以及双向期权。2021-10-15116（1） 看涨期权。所谓看涨期权，是指期权的看涨期权。所谓看涨期权，是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关期货合约敲定价格买进某一特定数量的相关期货合约的权利，但不同时负有必须买进的义务。的权利，但不同时负有必须买进的义务。第三节股票及其衍生产品2021-10-15117（2）看跌期权。所谓看跌期权，是指期权）看跌期权。所谓看跌期权，是指期权的买方享有在规定的有效期限内按某一具的买方享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格卖出某一特定数量的相关期

50、体的敲定价格卖出某一特定数量的相关期货合约的权利，但不同时负有必须卖出的货合约的权利，但不同时负有必须卖出的义务。义务。第三节股票及其衍生产品2021-10-15118（3）双向期权。所谓双向期权，是指期权）双向期权。所谓双向期权，是指期权的买方既享有在规定的有效期限内按某一的买方既享有在规定的有效期限内按某一具体的敲定价格买进某一特定数量的相关具体的敲定价格买进某一特定数量的相关期货合约的权利，又享有在商定的有效期期货合约的权利，又享有在商定的有效期限内按同一敲定价格卖出某一特定数量的限内按同一敲定价格卖出某一特定数量的相关期货合约的权利。相关期货合约的权利。第三节股票及其衍生产品2021-

51、10-15119期权履约期权履约期权的履约有以下三种情况期权的履约有以下三种情况1、 买卖双方都可以通过对冲的方式实施履约。买卖双方都可以通过对冲的方式实施履约。2、买方也可以将期权转换为期货合约的方式履约（在、买方也可以将期权转换为期货合约的方式履约（在期权合约规定的敲定价格水平获得一个相应的期货部期权合约规定的敲定价格水平获得一个相应的期货部位）。位）。3、任何期权到期不用，自动失效。如果期权是虚值，、任何期权到期不用，自动失效。如果期权是虚值，期权买方就不会行使期权，直到到期任期权失效。这样，期权买方就不会行使期权，直到到期任期权失效。这样，期权买方最多损失所交的权利金。期权买方最多损失

52、所交的权利金。第三节股票及其衍生产品2021-10-15120第三节股票及其衍生产品看涨期权2021-10-15121看涨期权的一些条款：n期权的购买者向出售者支付费用，即期权费；n在到期日，合约的买方以执行价向合约的卖方支付；1.如果合约的卖方收到买方以交易价支付，在到期日他必须交付一股股票给买方。 第三节股票及其衍生产品2021-10-15122到期时的利润或损失： 在期权合约中，要么交易不发生；要么合约的卖方向买方支付股票价格与执行价之间的价差。第三节股票及其衍生产品0 ,maxXST看涨期权的现金流XST2021-10-15123例：欧式看涨期权假设持有通用电气(GE)的看涨期权，将在

53、从今天算起的20天后到期。执行价是88 美元，今天的市场价是84美元，因为支付的费用超过了现在的股票价格，你也许会认为看涨期权一文不值。但从现在起20天后，市场价格变得更高是完全有可能的。假设到期日价格是95.5美元，那么执行期权将盈利：若期权费是4美元，则净利润是3.50美元。投资回报率？。如果通用电气（GE）股票在20天中仅仅上升到87.5美元，则看涨期权将毫无价值，同时投资损失？。第三节股票及其衍生产品2021-10-15124例：美式看涨期权 假设持有IBM股票的美式看涨期权，该期权从现在算起将在15天后到期。假设执行价是105美元，如果IBM今天的市价是107美元，持有者也许会一直等

54、到期权到期，希望从现在起15天之内价格会位于107美元之上。 另一方面，若下星期IBM股票上涨到每股112美元。对于持有的美式看涨期权而言，可以立即执行期权。如果不计算期权成本每股将获得7美元的利润。若每一看涨期权支付4.50美元，则每一看涨期权的净利润将是2.50美元，利润率是?。第三节股票及其衍生产品2021-10-15125第三节股票及其衍生产品看跌期权2021-10-15126看跌期权的一些条款：看跌期权的一些条款：n期权的购买者向出售者支付费用，期权费；期权的购买者向出售者支付费用，期权费；n到期日，合约的买方也许给合约的卖方一股股到期日，合约的买方也许给合约的卖方一股股票，或者等量

55、的一股股票的市场价格。票，或者等量的一股股票的市场价格。1.如果合约卖方从买方收到股票或其价格，在到如果合约卖方从买方收到股票或其价格，在到期日他必须按行权价支付给买方。期日他必须按行权价支付给买方。第三节股票及其衍生产品2021-10-15127到期时的利润或损失：到期时的利润或损失：看跌期权只会发生下面两种情形中的一种，看跌期权只会发生下面两种情形中的一种，要么没有交易发生，要么合约卖方向买方支付执要么没有交易发生，要么合约卖方向买方支付执行价和股价差额，合约被清算。行价和股价差额，合约被清算。 第三节股票及其衍生产品TTSXSX0 ,max看跌期权的现金流2021-10-15128例：保

56、护性的看跌期权默克公司每股股价为50美元，某人认为在未来数月股价将波动很大，希望尽快出售该股票。于是开始一个投资计划，购买大约3个月到期的看跌期权，执行价格设在45美元，每一看跌期权要支付2.80美元的期权费。通过看跌期权出售的股票可以使得每股至少获得45美元。只要他持有这些股票的看跌期权，就有出售这些股票的最低价格保证。如果股票价格始终高于45美元的最低点，看跌期权变得毫无价值。而为每个看跌期权支付的2.80美元的费用可以认为是“保险”费用。第三节股票及其衍生产品2021-10-15129n第一，期权的时间价值。第一，期权的时间价值。即使在到期日以前的任何时间，欧式期权均有价值，因为它提供了

57、将来执行权利的可能性。例如，以GM公司股票为标的物的一种期权，其执行价格为40美元，到期日为三个月。假设GM公股票现在的价格为37美元。显然，在接下来的三个月中，该股票的价格有可能上涨而超过40美元，从而有执行该期权而获得利润的可能。哪些因素影响期权的价格？哪些因素影响期权的价格？2021-10-15130第二，执行价格执行价格n一种看涨期权，其执行价格越小，股票价格超过的可能性就越大，这种看涨期权也就越有价值。对于看跌期权，结果正好相反。第三，标的股票价格的方差第三，标的股票价格的方差n在投资的过程中，投资者偏好以方差较大的股票为标的物的期权。方差越大，股票价格超过执行价格的概率越大，这种期

58、权对投资者也就越有价值。2021-10-15131因为只有当股票的价格大于执行价格时，我们才能从期权合约中获得收益。股票价格分布的方差越大，股票价格超过执行价格的概率也就越大，我们获得收益的概率也就越大。所以，我们偏好以方差较大的股票为标的物的期权。期权的价值与标的资产的价值之间的重大差别：如果持有标的资产，我们获得收益的可能性由标的资产价格的整个概率分布决定。作为风险厌恶者，我们不喜欢高风险。如果我们持有期权，我们获得收益的可能性由标的资产价格的尾部概率分布决定。期权的这种性质使得大的方差更具有吸引力。2021-10-15132第四，无风险利率第四，无风险利率n在所有的因素里，这个因素是最不

59、直观的。一般说来，无风险利率越大，执行价格的现值也就越小，这样的期权也就越有价值。而且，当市场处于均衡状态时，无风险利率越大，股票的回报率也应该越高。从而，在到期日，股票的价格也应该越高，这时，期权的价格也应该越高。第五，标的资产的价格第五，标的资产的价格2021-10-15133在确定欧式看涨期权的价格时，有五种因素是重要的：标的资产的价格，期权的执行价格，标的资产价格的方差，到期日（实际应该是剩下的到期时间），以及无风险利率。把欧式看涨期权的价格写成如下的函数形式：fttrtTKSfc,22021-10-15134补充：补充：权证权证 1. 1. 权证的定义和分类权证的定义和分类 n权证（

60、权证（warrants）是指标的证券发行人或其以外的第三人）是指标的证券发行人或其以外的第三人发行的，约定持有人在规定期间内或特定到期日，有权按发行的，约定持有人在规定期间内或特定到期日，有权按约定价格向发行人购买或出售标的证券，或以现金结算方约定价格向发行人购买或出售标的证券，或以现金结算方式收取结算差价的有价证券。式收取结算差价的有价证券。 n权证本质上是一份有关普通股的期权。权证本质上是一份有关普通股的期权。 2021-10-151352.2.权证的分类权证的分类 n（1）按买卖方向可分为认购权证和认沽权证 。 n（2）按权利行使期限可分为美式行权、欧式行权和百慕大混合式行权 n （3）