极大无关组求法

1、方法方法1 线性相关法线性相关法 若非零向量组若非零向量组a： 1, 2, n线性无关，线性无关，则则a的极大无关组就是的极大无关组就是 1, 2, n 若非零向量组若非零向量组a线性相关，则线性相关，则a中必有极中必有极大无关组大无关组方法方法2 逐个判别法逐个判别法 给定一个非零向量组给定一个非零向量组a： 1, 2, n 1 1 设设 1 0，则则 1线性相关，保留线性相关，保留 1 2 2 加入加入 2，若若 2与与 1线性相关，去掉线性相关，去掉 2；若若 2与与 1线性无关，保留线性无关，保留 1 1 ， 2； 3 3 依次进行下去，最后求出的向量组就是依次进行下去，最后求出的向量

2、组就是所求的极大无关组所求的极大无关组 123:1,2, 12, 3,14,1, 1,ttta , , ,例例： 求求a a的极大无关组的极大无关组解：解：因为因为a1非零，故保留非零，故保留a1 取取a2，因为因为a1与与a2线性无关，故保留线性无关，故保留a1，a2 取取a3，易得易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相线性无关，故线性相关。关。 所以极大无关组为所以极大无关组为a1，a2初等行变换初等行变换保持了保持了列向量间列向量间的的线性无关性线性无关性和线性表出性和线性表出性方法方法3 初等变换法初等变换法 可以证明，若对矩阵可以证明，若对矩阵a a仅施以初等仅施以初等行行变换变换

3、得矩阵得矩阵b b, , 则则b b的列向量组与的列向量组与a a的列向量组间有的列向量组间有相同的线性关系相同的线性关系。（。（行变换对列没有影响行变换对列没有影响）21124240=2361如如，有有 121240124b =2361对对于于，有有221124b=2340618对对于于，有有 32136124b=23614 对对于于，有有即即初等行变换初等行变换保持了保持了列向量间列向量间的的线性无关性和线性无关性和线性表出性线性表出性。123100010,001 再再如如, ,有有线线性性无无关关 1b001010100 则则, ,2100001020 b b，中中的的三三个个列列向向量

4、量均均线线性性无无关关3301010100 b b 同理同理, , 也可以用向量组中各向量也可以用向量组中各向量为行向量为行向量组成矩阵组成矩阵, , 通过做通过做初等列变换初等列变换来求向量组的极大无关组。来求向量组的极大无关组。 (1)(1)以向量组中各向量为以向量组中各向量为列向量列向量; ;(2)(2)对对a a做做将该矩阵将该矩阵化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵, ,则则可可( (向量组的秩为向量组的秩为r r，说明向量组中线性无，说明向量组中线性无关的向量最多有关的向量最多有r r个，任何个，任何r+1r+1个线性相关个线性相关).).(3)(3)即是即是所求向量组的所求向量组的极

5、大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。由此提供了由此提供了求向量组的极大无关组的方法：求向量组的极大无关组的方法：例例 求向量组求向量组 1=(2,1,3,-1)t, 2=(3,-1,2,0)t, 3=(1,3,4,-2)t, 4=(4,-3,1,1)t, 的的秩秩和和一个极大无关组一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。用极大无关组线性表示。123423141-13-3113305-510,324105-51010210-11-2a 解解 以以 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4为

6、列为列构造矩阵构造矩阵a a, , 并实施并实施初等初等行行变换变换化为行阶梯形矩阵求其秩：化为行阶梯形矩阵求其秩： 知知r r( (a a)=2, )=2, 故向量组的极大无关组含故向量组的极大无关组含2 2个向量个向量 而而两个非零行的非零首元分别在第两个非零行的非零首元分别在第1, 21, 2列列, , 故故 1 1, , 2 2为向量组的为向量组的一个极大无关组一个极大无关组 事实上，事实上，1211010000- -，知知r r( ( 1 1, , 2 2)=2, )=2, 故故 1 1, , 2 2 线性无关线性无关求极大无关组方法求极大无关组方法,找阶梯型矩找阶梯型矩阵非零行的非零首元所在的列阵非零行的非零首元所在的列-1133011200000000 为把为把 3, 4用用 1, 2线性表示线性表示, , 把把a变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵 102-101-1200000000 ab 记矩阵记矩阵b=( 1, 2, 3, 4),因为因为初等行变换保持了列向初等行变换保持了列向量间的线性表出性，量间的线性表出性，因此向量因此向量 1, 2, 3, 4与向量与向量 1, 2, 3, 4之间有相同的线性关系之间有相同的线性关系。312412210101212,2000000 而而因此因此 3 3=2=2 1 1- -