二次函数与等腰三角形直角三角形的综合Word版

1、传播优秀word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与方程1.（2011广东）已知抛物线与x轴有交点(1)求c的取值范围；(2)试确定直线ycx+l经过的象限，并说明理由解：（1）抛物线与x轴没有交点 0，即12c0 解得c(2)c 直线y=x1随x的增大而增大，b=1直线y=x1经过第一、二、三象限2.(2011南京)已知函数y=mx26x1（m是常数）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值解：当x=0时，所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）当时，函数的图象与轴只有一

2、个交点；当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以， 综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点.（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：（其中是原点）；（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）点与在二次函数图像上，解得，二次函数解析式为.（2）过作轴于点，由（1）得，则在中，又在中， ，.（3）由与，可得直线的解析式为， 设，则，.当，解得 （舍去），.

3、当，解得 （舍去），.综上所述，存在满足条件的点，它们是与.4.（2011安顺）如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，且a（一1，0）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；判断abc的形状，证明你的结论；点m(m，0)是x轴上的一个动点，当cm+dm的值最小时，求m的值解：（1）b = 解析式y=x2-x-2. 顶点d (, -).（2）当x = 0时y = -2, c（0，-2），oc = 2。b (4,0) oa = 1, ob = 4, ab = 5. abc是直角三角形.（3）作出点c关于x轴的对称点c，则c（0，2），oc=2，连接cd交x轴于点m，根据轴对称性

4、及两点之间线段最短可知，mc + md的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点e.edy轴, ocm=edm,com=dem comdem. ，m =解法二：设直线cd的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2, . . 当y = 0时， ， . .5、（09江津）如图，抛物线与x轴交与a(1,0),b(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与c点，在该抛物线的对称轴上是否存在点q，使得qac的周长最小？若存在，求出q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点p，使pbc的面积最大？，若存在，求出点p的

5、坐标及pbc的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将a(1，0)，b(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知a、b两点关于抛物线的对称轴对称 直线bc与的交点即为q点， 此时aqc周长最小 c的坐标为：(0，3) 直线bc解析式为： q点坐标即为的解 q(1，2)（3）答：存在理由如下：设p点 若有最大值，则就最大，当时，最大值最大 当时，点p坐标为6（2010常德）如图，已知抛物线与轴交于a (4,0) 和b(1,0)两点，与轴交于c点（1）求此抛物线的解析式；（2）设e是线段ab上的动点，作ef/ac交bc于f，连接ce，当cef的面积是bef面积的2倍时，求

6、e点的坐标;xyobca（3）若p为抛物线上a、c两点间的一个动点，过p作轴的平行线，交ac于q，当p点运动到什么位置时，线段pq的值最大，并求此时p点的坐标解：（1）故所求二次函数的解析式为（2）scef=2 sbef, ef/ac, ,befbac, 得e点的坐标为(,0).（3）的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形7.（2011湘潭）如图，直线交轴于a点，交轴于b点，过a、b两点的抛物线交轴于另一点c（3,0）. 求抛物线的解析式; 在抛物线的对称轴上是否存

7、在点q，使abq是等腰三角形？若存在，求出符ocba合条件的q点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，该抛物线的对称轴为x=1设q点坐标为（1，m），则，又.当ab=aq时， ，解得：，q点坐标为（1，）或（1，）；当ab=bq时，解得：，q点坐标为（1，0）或（1，6）；当aq=bq时，解得：，q点坐标为（1，1）抛物线的对称轴上是存在着点q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使abq是等腰三角形8（2010鄂州）如图，在直角坐标系中，a（-1，0），b（0，2），一动点p沿过b点且垂直于ab的射线bm

8、运动，p点的运动速度为每秒1个单位长度，射线bm与x轴交与点c（1）求点c的坐标（2）求过点a、b、c三点的抛物线的解析式（3）若p点开始运动时，q点也同时从c出发，以p点相同的速度沿x轴负方向向点a运动，t秒后，以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形（点p到点c时停止运动，点q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下，当cq=cp时，求直线op与抛物线的交点坐标解：（1）点c的坐标是（4，0）；（2）y= x2+x+2（3）设p、q的运动时间为t秒，则bp=t，cq=t以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若cq=pc，如图所示，则pc= cq=bp=t有2t=

9、bc=，t=若pq=qc，如图所示，过点q作dqbc交cb于点d，则有cd=pd由abcqdc，可得出pd=cd=，解得t=若pq=pc，如图所示，过点p作peac交ac于点e，则ec=qe=pc，t=（-t），解得t=（4）当cq=pc时，由（3）知t=，点p的坐标是（2，1），直线op的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，直线op与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）9、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，abc是直角三角形，acb=90，ac=bc，oa=1，oc=4，抛物线y=x2+bx+c经过a，b两点，抛物线的顶点为

10、d（1）求b，c的值；（2）点e是直角三角形abc斜边ab上一动点（点a、b除外），过点e作x轴的垂线交抛物线于点f，当线段ef的长度最大时，求点e的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点e、b、f、d为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点p，使efp是以ef为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点p的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由已知得：a（1，0），b（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点a（1，0），b（4，5），解得：b=2，c=3；（2）如图：直线ab经过点a（1，0），b（4，5），直线ab的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点e（t，t+1），

11、则f（t，t22t3），ef=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，当t=32时，ef的最大值为254，点e的坐标为（32，52）；（3）如图：顺次连接点e、b、f、d得四边形ebfd可求出点f的坐标（32，），点d的坐标为（1，4）s四边形ebfd=sbef+sdef=12×254×（432）+12×254×（321）=758；如图：）过点e作aef交抛物线于点p，设点p（m，m22m3）则有：m22m2=52，解得：m1=，m2=，p1（，52），p2（，52），）过点f作bef交抛物线于p3，设p3（n，n22n3）则有：n22n2=15

12、4，解得：n1=12，n2=32（与点f重合，舍去），p3（12，154），综上所述：所有点p的坐标：p1（，52），p2（，52），p3（12，154）能使efp组成以ef为直角边的直角三角形二、能力提升1（09深圳）如图，在直角坐标系中，点a的坐标为（2，0），连结oa，将线段oa绕原点o顺时针旋转120°，得到线段ob.（1）求点b的坐标；（2）求经过a、o、b三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点c，使boc的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点p是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么pab是否有最大面积？若

13、有，求出此时p点的坐标及pab的最大面积；若没有，请说明理由.解： b（1，）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点b（1, ），得，因此如图，抛物线的对称轴是直线x=1，当点c位于对称轴与线段ab的交点时，boc的周长最小.cbaoyx设直线ab为y=kx+b.所以，因此直线ab为，当x=1时，因此点c的坐标为（1，）.dbaoyxp如图，过p作y轴的平行线交ab于d. 当x=时，pab的面积的最大值为，此时.2、（2011菏泽）如图，抛物线y=12x2+bx2与x轴交于a，b两点，与y轴交于c点，且a（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点d的坐标；（2）判断abc的形状，证明你的结论

14、；（3）点m（m，0）是x轴上的一个动点，当mc+md的值最小时，求m的值解：（1）把点a（1，0）的坐标代入抛物线的解析式y=12x2+bx2，整理后解得，所以抛物线的解析式为（2分）顶点d；（3分）（2）ab=5ac2=oa2+oc2=5，bc2=oc2+ob2=20，ac2+bc2=ab2，abc是直角三角形（6分）（3）作出点c关于x轴的对称点c，则c（0，2），oc=2连接cd交x轴于点m，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，mc+md的值最小设抛物线的对称轴交x轴于点e，comdemomem=oc'ed，m=2441（10分）点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、

15、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，做好辅助点，找对相似三角形3.（2010孝感）如图（1），矩形abcd的一边bc在直角坐标系中x轴上，折叠边ad,使点d落在x轴上点f处，折痕为ae，已知ab=8，ad=10，并设点b坐标为（m,0），其中m0.（1）求点e、f的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接oa，若oaf是等腰三角形，求m的值； （3）如图（2），设抛物线y=a(xm6)2+h经过a、e两点，其顶点为m，连接am，若oam=90°，求a、h、m的值. 解：（1）四边形abcd是矩形，ad=bc=10，ab=cd=8，d=dcb=

16、abc=90°.由折叠对称性：af=ad=10，fe=de.在rtabf中，bf=.fc=4.在rtecf中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.ce=8-x=3.b（m，0）,e(m+10,3),f（m+6,0）.（2）分三种情形讨论：若ao=af，abof，ob=bf=6.m=6.若of=af，则m+6=10，解得m=4.若ao=of，在rtaob中，ao2=ob2+ab2=m2+64，（m+6）2= m2+64，解得m=.综合得m=6或4或.（3）由（1）知a(m,8)，e(m+10,3).依题意，得，解得m（m+6，1）.设对称轴交ad于g. g（m+6,8），ag=6，gm=8（1）=9.oab+bam=90°，bam+mag=90°， oab=mag.又abo=mga=90°， aobamg.，即. m=12.4（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系oxy中，已知点a(，0)，点c(0，3)，点b是x轴上一点(位于点a的右侧)，以ab为直径的圆恰好经过点c（1）求acb的度数；（2）已知抛物线yax2bx3经过a、b两点，求抛