242等比数列二

1、思考：思考：我们知道，等差数列我们知道，等差数列an满足下列公式满足下列公式（1）an=am+(n-m)d （m、n、p、q n*） ；（2）若）若m+n=p+q，则，则am+an =ap+aq 那么，等比数列是否也有类似的公式呢？那么，等比数列是否也有类似的公式呢？一、复习一、复习1.定义：定义：2. 通项公式：通项公式： an =a1qn-1 *11(2)(),0nnnnaaq nq nnqaa或3. 等比中项：若等比中项：若a，g，b成等比数列，则成等比数列，则2()或ggabab an2=an-1 an+1 累乘法累乘法性质：性质：1.an=amqn-m 2.若若m、n、p、q n*，

2、m+n=p+q， 则则aman =apaq 若若m、n、pn*，m+n=2p， 则则aman =ap2二、新课二、新课在等比数列在等比数列an中中m nmnaqa 等差数列与等比数列的类比等差数列与等比数列的类比等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义首项、公差首项、公差（公比）取（公比）取值有无限制值有无限制通项通项公式公式主要主要性质性质1(2)nnaq na1(2)nnaad n11nnaaq1(1)naand(1)()nmaanm d(1)n mnmaa q(2)若若m+n=p+q (m,n,p,qn+)则则 am an=ap aq .(2)若若m+n=p+q (m,n,p,qn+)则

3、则 am+an=ap+aq .1,ar dr10,0aq(3)2an=an-1+ an+1 .(3) an2=an-1 an+1 . 3651.9,243,.naaaa 例例 已已知知数数列列为为等等比比数数列列, ,且且求求解：解：由已知，得由已知，得24395121qaqa273q式除以式得解得解得3q81415qaa另解：另解：由已知，得由已知，得279243336 qaa3q81392235qaa基本量基本量法法运用通项变运用通项变形公式形公式三、例题三、例题三、例题三、例题1或或-2四、练习四、练习1.在等比数列在等比数列an中，若中，若2an=an+1+an+2，则公比，则公比q=

4、_. 48210629.,_,_,naaaaaa 在在等等比比数数列列中中 若若则则23910_.aaaa 9381 563132310381510202.,logloglog(). . . .naa aaaaabcd 在在正正项项等等比比数数列列中中 若若则则的的值值是是 c4.已知是等比数列，且已知是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25， 那么那么a3+a5= ( ) a.5 b.10 c.15 d.205.等比数列等比数列an中，中，a4+a6=3，则则a5(a3+2a5+a7)=_a9例例3.如右边框图，请写出所打印数列如右边框图，请写出所打印数列的前的前5项，并建

5、立数列的项，并建立数列的递推公式递推公式，这个数列是等比数列吗？这个数列是等比数列吗？解：解：若将打印出来的数依次记为若将打印出来的数依次记为 a1，a2，a3，则可得，则可得11,a 开始开始n=1输出输出a结束结束a=1n5?n=n+1否否是是12aa 三、例题三、例题211122,aa321124,aa5411216aa431128aa于是，可得递推公式于是，可得递推公式111,(1)1(1)2nnanaan112nnaaan是首项为是首项为1，公比为，公比为 的等比数列的等比数列故其通项公式为故其通项公式为11( )2nna12三、例题三、例题开始开始n=1输出输出a结束结束a=1n5

6、?n=n+1否否是是12aa 例例4.已知已知an，bn是项数相同的等比数列，那么数列是项数相同的等比数列，那么数列 anbn还是等比数列吗？试证明你的观点。还是等比数列吗？试证明你的观点。证明：设证明：设an的公比为的公比为p，bn的公比为的公比为q，则，则 11111111,nnnnnnnna ba pbqaba pbq11111111nnnnnnnnaba pbqpqa ba pbqpq是一个与是一个与n无关的常数无关的常数anbn是以是以pq为公比的等比数列为公比的等比数列思考：思考：那数列那数列 是不是也是等比数列呢？是不是也是等比数列呢？nnab三、例题三、例题1.若若an 是公比

7、为是公比为q的等比数列，的等比数列，c为常数，则下列数为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？列是等比数列吗？若是，公比是什么？2111nnnnnnnnacaacaaaaa（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；lgnnaa（1）；（2）2.若若an是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？比数列吗？四、练习四、练习4.若若lga，lgb，lgc成等差数列，则成等差数列，则a，b，c成成 数列；数列；等比等比3.若若2a，2b，2c成等比数列，则成等比数列，则a，b，c成成 数列；数列；等差等差例例5.已知三个数成等比数列，且

8、其积为已知三个数成等比数列，且其积为512，若第一个数，若第一个数与第三个数各减与第三个数各减2，则成等差数列，求这三数。，则成等差数列，求这三数。解：解：设这三数为设这三数为, ,aa aqq512222()()aa aqqaaaqq 8122aqq或所以这三数为所以这三数为4 , 8 , 16或或16，8，4.对称设对称设法法三、例题三、例题)(*npnmpnm、成等差数列时，成等差数列时，pnmaaa,成等比数列成等比数列,且且1、 公比为的公比为的q等比数列中，等比数列中，等比数列的性质：等比数列的性质：2nmpnmpaaaaaa是，的等比中项，即nmnpqmnpqaaaaa2、等比数

9、列中，若则 6102,162,aan2例：在等比数列 a中，a求2 6解法一： ， ，10成等差数列，2610,a a a成等比数列262102610213122aaaaaa262102610213122aaaaaa2210666aaaaa解法二2446aaaaaa2325解：2446aaaaaa22353524463522aaa aaaaaa a22352244635()236aaaaaaa a356aa35例例:在等比数列在等比数列an中中若若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,求求a3+a5.数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关 系系 式式性性 质质中中

10、项项 构造三数构造三数 构造四数构造四数 2b=a+cb2=aca，a+d，a+2da, aq, aq2a-d，a，a+d或或aqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，an=am +(n-m) dan=amqn-mm+n=s+t an+am=as+atm+n=s+t anam=asat例例: 有四个数，其中前三个数成等有四个数，其中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，并比数列，后三个数成等差数列，并且第一个数与第四个数的和是且第一个数与第四个数的和是21，第二个数与第三个数的和是第二个数与第三个数的和是18，求，求这四个数。这四个数。, ,2a aqaqaa

11、解：方法一设前三个数分别为q 则第四个数为22118aqaaqaaq325qq或当q=2时,a=6,四个数为3，6，12，1834575 45 27 9当q= 时,a=,四个数为， ， ，5444442, , a adada方法二设后三个数分别为a-d 则第一个数为2()2118adadaaad27124692aadd 或这四个数为3，6，12，1875 45 27 9或， ， ，4444,a方法三设前一个数为则第四个为21-a第二个数为b 则第三个为18-b 218212(18)abbbab75346454aabb或这四个数为3，6，12，1875 45 27 9或， ， ，4444判断或证

12、明数列判断或证明数列 是否为等比是否为等比数列数列,一般是先求出通项公式一般是先求出通项公式,再判再判断或证明断或证明,判断证明的方法主要有判断证明的方法主要有以下四种以下四种:2112,0nnnnaaana2、13,0nnaac qcqq、 na*111,0,0nnaqnnqaa、 nnnnabab已知,是项数相同的等比数列，求证是等比数列 nnab11证明：设数列的首项a，公比为p；数列的首项b，公比为q；111 111 1()()nnnnnnabab pqpqpqa bab pq（其中 ， 为常数）nnab则是等比数列 nnac a如果是等比数列，c是不等于0的常数,那么数列是等比数列

13、na1证明：设数列的首项a，公比为q1(0)nnc aq cc ana所以是等比数列.nnaa如 果是 正 数 的 等 比 数 列 ， 那 么数 列是 等 比 数 列 。 0nnaa 证明：设数列公比为q且1nnaqa则nc a所以是等比数列. *n1n+1nn例：数列 a满足a =1且a=2a +1 nn求an+1nn+1n解： a=2a +1a+1=2(a +1)1nan+1nna+1=2 令ba +1 2bn+1nn11b=2 则新数列 b为公比q，首项b =a +1=2的等比数列bn-1n-1nn1=bq=2 2=21annn=b -1=2 *n1n+1nn推广：数列 a的首项a 且a=ca +d nn求a(1)nxcac xxn+1n+1na解：=c aa11111daddcxadccacdccn+1nn1=c 则新数列为公比q，首项a -的等比数列五、小结五、小结102()nnaq qqna 为为常常数数，且且，2.判定判定(证明证明)一个数列是不是等比数列的基本方法是一个数列是不是等比数列的基本方法是定义法：定义法：1.若三数成等比数列若三数成等比数列, 且积已知且积已知, 则可设这三数为：则可设这三数为：, ,aa aqq注：注：若要判定若要判定(证明证明)三个非零的数三个非零的数a，b，c