2021届上海市杨浦区高三上学期一模(期末)数学试题(解析版)

1、2021届上海市杨浦区高三上学期一模（期末）数学试题一、单选题1. 设CHO,则下列不等式中，恒成立的是（）1 133c CA. >B. ac >bcC ac >beD. < a ha b【答案】B【分析】利用不等式的基本性质可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，.“>心0,所以，> >0,所以，丄丄>0, A选项 ab abb a错误；对于B选项，.PHO,则c2>0>由不等式的基本性质可得ac2>bc2 B选项正确;对于C选项，若evO,由不等式的基本性质可得dCVbe, C选项错误：1 1Q c对于D选项，若CVO,由A

2、选项可知，> >0,由不等式的基本性质可得一>, b aa bD选项错误.故选：D.2. 下列函数中，值域为（0,+s）的是（）2A. v = x2B. y = -C y = 2XD. y = |log7 a*Ix-【答案】c【分析】由题意利用基本初等函数的值域，得岀结论.【详解】解：函数y = x2的值域为0, +8）,故排除人；2函数y =的值域为yi）vo,故排除函数y = 2r的值域为（0,+8）,故C满足条件：函数yTlog/Xl的值域为【0, +00）,故排除D,故选：C.3. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）A. C；-12B. C

3、： 一8C. C；_6D. C：-4【答案】A【分析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共而的情况即可求解.【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C；种，正方体表面四点共面不能构成四而体有6种，正方体的六个对角面四点共而不能构成四而体有6种，所以可得到的四而体的个数为C：-6-6 = C：-12科-故选：A【点睹】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多， 所以正难则反，这是解题的关键.4. 设集合 A = yy = ax>0(其中常数。>0,。工1), B = )，ly =十，xe A(其中常数k 已 Q),则“R<0”是= 的()

4、A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】讨论d的取值范用，求出集合人，进而求出集合3,再根据充分条件、必要条 件即可求解.【详解】当“>1 时，A = yly = d>0 = (l,+oo),若 k<0,则 B = yy = xxeA=(OA),此时 ACB = 0,当 0 Vd< 1 时，A = y y = a x>0 = (0,1),若 k<0,则 B = yy = x *, xe A = (l,+oo),此时 ACB = 0,故“R V0”是“ ACB = 0“的充分条件；当“>1 时，若AC

5、B = 0,B = yly = x', xeA,可得<O»当01 时，A = (0,l),若ApB = 0,B = yly = + , xeA,可得kSO,所以<0”不是“人门3 = 0“的必要条件，所以“R <0”是“ ACB = 0"的充分非必要条件.故选：A二.填空题5.已知全集U =集合4 = (y>,2),则集合=【答案】2，+ s)【分析】直接利用补集的圧义求解即可【详解】解：因为全集U = R,集合A = (-oo,2),所以 jA=2, + s),故答案为：2, + s)【点睛】此题考査集合的补集运算，属于基础题6.设复数z

6、= l-2/仃是虚数单位)，贝Olzl=【答案】yf5【分析】由复数的模的计算公式即可求出.【详解】解：因为复数z = l 2/, 所以 lzl= "+(_2)2 =逅.故答案为：$2x+y = 47若关于3的方程组仁°无解，则实数3【答案】一才2【分析】由题意可得直线2x+y-4 = 0和直线3a-8 = 0平行，再利用两条直线平 行的性质，求岀"的值.2x+y = 4【详解】若关于 y的方程组仁 j无解，3x-ay = &则直线2x+y_4 = 0和直线3x_©_8 = 0平行,4J * 3 a 8如3故有,求得a = -92 1-423故答

7、案为：-28.已知球的半径是2,则球体积为【答案】32兀第17页共16页【分析】根据球的体积公式直接计算得结果.aQ C【详解】由于球的半径为2,故体积为x23= .3 3【点睹】本小题主要考查球的体积公式，考查运算求解能力，属于基础题.9.若直线/ :2x + my + l = 0与厶：y = 3% 1垂直，则实数加=.【答案】6【分析】根据两直线垂直的充要条件，即v, .V项对应系数之积的和等于0,解方程求得加的值.【详解】直线厶：2x +加y + 1 = 0与厶：y = 3x-1垂直，厶可化为3x-y 1 = 0 ,2x3 + ?x( 1) = 0,解得? = 6,故答案为：6.【点睛】

8、本题考查两直线垂直的充要条件，考查方程思想和运算求解能力，属于基础题.1().已知sin a =【答案】辻5【分析】利用冋角三角函数基本关系求COS6Z,再利用诱导公式即可求解.【详解】因为sina =5所以-彳可得COS6Z>011. 已知X + -的二项展开式中，所有二项式系数的和为256,则展开式中的常数V X)项为(结果用数值表示)【答案】1120的二项展开式的所有二项式系数的和为2 =256可求得的值,进而可写出该二项展开式的通项，令兀的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可求得结果.【详解】由于x + -j的二项展开式的所有二项式系数的和为2" =256,解得心&a

9、mp;2 ) X + X)的展开式通项为7；. =C：Y2"令82£=0,解得R=4(9、因此，牙+二 的展开式中的常数项为7； =C；24 =70x16 = 1120 X)故答案为：1120.【点睛】结论点睛：在求解有关二项展开式中二项式系数和与各项系数和，可利用以下结论求解：(1) 各二项系数之和：(a + b)n的展开式中各项的二项式系数之和为2"，且二项展开 式中奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，都为2-'；(2) 各项系数和：在二项展开式中令变量均为1，得到二项式的值为二项展开式各项系 数之和.12. /U)是偶函数，当xno时，/(x) =

10、2r-l,贝怀等式/U)>1的解集为【答案】($_12(1,+8)【分析】根据条件可得出，当x>0时,由fM> 1得出x>,然后根据/(X)是偶函数 即可得岀不等式/(X)> 1的解集.【详解】解：当xno时，由/(x)>l,得2" >2,解得X>.因为/(兀)为偶函数，所以/(力>1的解集为(yo, 12(1, + 8)故答案为：(yQ, l)u(l, + s)13. 方程l + log2X = log2(F3)的解为.【答案】x = 3【分析】根据对数的运算及性质可得：F-3 = 2x,结合真数位置大于0即可求解.【详解】由

11、1 + log, x = log, (x2 一3)可得 log2 (2x) = log, (x2 -3),所以x2 3 = 2x，即(x3)(x + l) = 0,解得：x = 3或x =l, 因为x>0Kx2-3>0 ,所以x = 3,所以方程 1+log2x = log2（x2-3）的解为:x = 3故答案为：x = 314. 平面直角坐标系中，满足到许（70）的距离比到竹（1,0）的距离大1的点的轨迹为 曲线八 点丘（2”）（其中儿> 0,皿1<）是曲线厂上的点，原点。到直线出耳的距 离为”，则.【答案】亜2【分析】由双曲线泄义可知厂的轨迹方程，求得渐近线方程，得

12、到直线出件的方程， 再由点到直线的距离公式求解.【详解】设曲线丁上的点为P,由题意，1卩片1-"场1=1<1尸；耳1,则曲线丁为双曲线的右支，焦点坐标为片（一1,0）,巧（1,0）,4双曲线方程为4/-/ = 1（A > 0）.所以渐近线方程为y = ±>/3x,而点巳（",儿）（英中儿0, “gN"）是曲线T上的点， 当"T乜时，直线代竹的斜率趋近于厲，即 则 PJ : y = V3（x-I）,即y/3x-y-y/3 = 0 .【点睛】方法点睹：求动点的轨迹方程常用的方法有：（1）圧义法（根据已知分析得到 动点的轨迹是某一种

13、圆锥曲线再求解）：（2）直接法；（3）相关点代入法.15. 如图所示矩形ABCD中，AB = 2, AD = ,分别将边BC与DC等分成8份， 并将等分点自下而上依次记作垃、乞、厲，自左到右依次记作片、耳、厲， 满足A<AF；<2 （其中i、丿eM, 1GJS7 ）的有序数对（V）共有 【分析】以点A为坐标原点，AB. 4D所在直线分别为兀、V轴建立平而直角坐标系,易得 Erp,-l(/eyVl<z<7），巧彳,1(yel<<7),由<2 可得出i + 4j < 16 ,然后列举出符合条件的有序实数对（门）即可得解.【详解】以点A为坐标原点，AB

14、. AD所在直线分别为兀、V轴建立如下图所示的平易知点& 21j(/e2Vl</<7),巧彳可得 / + 4J <16,所以符合条件的有序数对（门）有：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,1）、 （3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（5,1）、（5,2）、（6,1）、（6,2）、（7,1）、（7,2）, 共18对.故答案为：18.【点睹】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用泄义；利用向量的坐标运算: 利用数量积的几何意义.具体应用时可根拯已知条件的特征来选择，同时要注意数量积 运算律的应用.16

15、. 已知函数y = f(x)在定义域R上是单调函数，值域为(Y>,0),满足/(_) = _+， 且对于任意 X，)' e R,都有 /(x + y) = -f(x)f(y). y = /(x)的反函数为 y = f' (x),若将y = W)(X中常数R >0)的反函数的图像向上平移1个单位，将得到函数y =广U)的图像，则实数的值为.【答案】3【分析】由题意设fM=-根据/(-1) = -|,解得在求解y = 4fU)的反函数, 向上平移1个单位，可得y =即可求解实数R的值：【详解】解：由题意，设/(x) = y = -«S根据/(-1)=->

16、 解得d = 3，/(x) = y- -3',那么 x = log3 (->*) , (y V 0),无与互换,可得/-,(x) = log3(-x), (x<0),则),=kf(x) = -k - 3*,那么 x = /o&3(二7)，-Kx与y互换，可得円啖(-、,向上平移i个单位，可得-$)+i,KK即陀3(-X)= g(-翠),K故得k = 3,故答案为：3.三、解答题忆 如图所示，在直三棱柱ABC-A/G中，底面是等腰直角三角形，ZACB = 90 ,CA = CB = CC=2.点D 0分别是棱AC, AG的中点.（1）求证：D、B、% q四点共面；（2

17、）求直线与平面DBBD所成角的大小.【答案】（1）证明见解析：（2） arc sin10【分析】（1）由已知证明DDJIBB、可得答案；（2）作C/丄BQ,证明直线Cf丄平面DBBQ , ZCBF即为直线与平面DBBD所成的角，在宜角£BF中可求得答案.【详解】（1）证明：点D。分别是棱AC,的中点，:.DDHCCCCJIBB, :. DDBB D、B、。四点共而.（2）作Cf丄BQ,垂足为FBBl 丄平而 MG , C,F c=平面,.一直线丄宜线Cf GF丄直线BE且BE与BD相交于Bl 二直线GF丄平而DBBQZCBF即为直线BG与平而DBBg所成的角.在直角 C»B

18、 中，C,D, = 1, C0=2,所以B» =书,由面积C» C.B, = D且 C.F可得c、F =迫,在直角 C.BF 中，BC、=2迈,C、F =罕,sinZCF = -510直线BG与平面DBB、D所成的角为arc sin晋.【点睛】对于线而角的求法的步骤作：作(或找)出斜线在平而上的射影，证：证明某 平面角就是斜线与平而所成的角：算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角 形中计算.18. 设常数keRt f(x) = kcos2x + >/3snxcosx, xeR.(1) 若/(X)是奇函数，求实数£的值；(2) 设A = l, A3 C

19、中，内角A,B,C的对边分别为若/(A) = l, ab = 3,求"IBC的面积S【答案】(1) =0： (2)空或婕4 2【分析】(1)由/(0) = 0,知R=o,再对R=0进行检验，即可：(2)结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推岀A = -9再由余3弦左理求岀c的值，最后根据5=l/?csinA,即可得解.2【详解】(1)解：由题意f(0) = k=0检验：/(x) = VTsinxcosA-对任意xgR都有/(-X)= >/3sin(-x)cos(-x)= ->/3sin xcosx= 一 f (x)/(x)是奇函数:.k = 0.(2)解：

20、/(A) = cos2 A + >/3sinAcosA = 1 +cos" + sin2A = sin 2A + | + - = 1,226 J 2整理得sin 2A + j = |,TA是三角形的内角所以2A + - = 6 6/. A = -3由余弦定理cosA = b +Cal ,即丄= 9 + c-72bc2 6c整理得c2-3c + 2 = 0,解得c = l或c = 2c 1 匚 a 3S= be sin A =, u攵24219. 某校运会上无人机飞行表演，在水平距离xw10,24(单位：米)内的飞行轨迹如图 所示，)'表示飞行高度(单位：米)其中当XW1

21、0,20时，轨迹为开口向上的抛物线的 一段(端点为M、Q)f当xw20,24时，轨迹为线段QN ,经测量，起点M(10,24), 终点 N(24,24),最低点 P(14,8).(2)在A(0,24)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角0的最小 值(精确到0.1°)【答案】y屮“一+&"10,20；最小为94.4。.-5x+144,xe (20,24【分析】(1) xw10,20时，设解析式为y = 6/(x-14)2+8,代入可求，从而求出0(20,44),求出直线的斜率即可求解.（2）根拯题意，连接A、N ,仰角为俯角为0,求岀a、0的最小值即可

22、求解.【详解】解：(1) xw10,20时设：y = “(x14)'+8, A/(10,24)代入可得24 = "(10-14+8 解得a = , :.y = (x-4)X( i on =28- x + <28-12>/5x丿俯角0最小为arctan(-12岳+ 28卜49.4。 V最小为94.4。 20. 设亀 人分别是椭圆门 二+y2=i(a>i)的左右顶点，点为椭圆的上顶点.CT+8xg20,24时，.0(20,44), AT(24,24),44-24所以心n= -5，.y = -5x + 144°20-24.v = J(-H)2+8,xe1

23、0,20-5x + 144,xw(20,24(2)如图，设仰角为Q ,俯角为0.0(20,44),(0,24)仰角&最小为45。， 又xe10,20, tan0 = X24-(x2-28x + 204)（2）设a = 2,竹是椭圆的右焦点，点。是椭圆第二象限部分上一点，若线段心2 的中点M在轴上，求出。的面积.（3）设。=3,点P是宜线.v = 6±的动点，点C和D是椭圆上异于左右顶点的两点, 且C, D分别在直线和PA?上，求证：宜线CD恒过一定点.【答案】（1）+ / = 1；（2） 1_迟：（3）证明见解析.5-4【分析】（1）计算得期= （“），© = （-

24、匕1），代入期.心=“解方程即可得故可得椭圆T的方程：（2）设另一焦点为耳,则耳Q丄x轴,计算出点0坐标，计算阳“+S钟 即可；2（3）设点P的坐标为（6, m）,直线PA1： y = -（x + 3）,与椭圆方程+ /=1联立,99"由韦达立理讣算得出C< 一3屛 + 27 6m< 9 + m2 9 + m2，同理可得D-2m1 + m2)乞两种情况表示岀直线CD方程，从而确左岀左点.【详解】（1）州（一為0），4（么0）, 5（0.1）币=（匕1），心=（一仏1），期心 =一/+1 = -4，解得a2 =52即椭圆T的方程为+y2=l.5-（2）椭圆的方程为y+r =

25、1,由题意巧（1,0）,设另一焦点为£（i,o）,设0（®,九），由线段鬥0的中点在y轴上，得斤0丄X轴，所以S= S厶叭“ + S 厶 BQM = 2代入椭圆方程得廿亨, 2 = 1咅：(3)证明：由题意£(一3,0),%(3,0),设点P的坐标为(6,m),直线 "評+ 3),与椭圆方程令+宀】联立 i肖去）'得：（9 + 加'）x2 + 6m2x + 9m2-81=0由韦达定理得“薯存同理D一2加1 + m2 >、”EHi 27 3广 3广3 a 7,当xc=ad>即=；即2-=3时,9 +nrnr +13直线CD的方程为x=-；2当X。f时，直线CD：-2m _ 4m 3m2 一 3'1 + m2 3（3 -m2）1 + m2 y化简得"為卜訴恒过点G°综上所述，直线CD恒过点【点睛】关键点睹：解决第(3)的关键是能够运用韦达左理表示出CQ点的坐标，从 而表示出直线CD,并能通过运算整理成关于加的方程，从而确左出立点，考査学生 的运算求解能力，有一左的难度.21. 设数列"”与仇满足："”的各项均为正数，b”=cosa“，”eN(1