数学课程发展国际视野

1、 数学课程发展国际视野 日本数学课程的改革和发展东北师范大学数学系 李淑文 孙连举日本和我国同属东方文化系统，在数学教育方面有不少相似之处，然而近几十年来日本数学教育的改革更多地学习和借鉴了西方的改革思想和经验，并有机地融入自己传统中，形成了自己的特色和优势，受到了世界各国的重视。1998年12月，日本文部省依据中央教育课程审议会关于各类学校各科教育课程改革的基本精神，公布了新的中小学数学学习指导要领（相当于中国的数学教学大纲），并定于小学和中学从2002年、高中从2003年分别开始实施。新的数学学习指导要领反映了面向21世纪的日本中小学数学教育的基本理念和方向，故意义深远，引人注目。为此，本

2、章将对日本新的小、中、高数学学习指导要领的基本思想和数学课程的目标、内容及教材的特点进行概要介绍与分析，以期对我国数学教育的改革和发展有所启示和借鉴。一、日本基础教育数学课程改革的经纬在战后的几十年中，日本大体上每十年就要对学习指导要领修订一次。以学习指导要领的修订为基准，可把战后日本基础教育数学课程的变迁过程分为以下6个时期。1单元学习时期1947年3月，日本颁布了新的教育基本法和学校教育法。同年4月实施新的学制，小学6年，中学3年，高中3年，并实行9年义务教育。同年5月公布了中、小学数学学习指导要领（试行草案），并发行了所谓“单元学习”为中心的教科书。从1948年开始，日本根据文部省学校教

3、育局颁布的高等学校设置的基准编制了高中数学教科书，教学科目为解析、几何学、解析。1951年文部省颁布了高中数学学习指导要领（试行草案），在高中又添设了一般数学。单元学习时期中、小学数学教科书的教学内容以生活需要为主，并要求学生能自己去解决问题，本质是以儿童为中心的自学活动，其学习活动为一个所谓解决问题的过程。与中、小学数学教科书相对照，高中教科书则为纯粹的数学体系， 解析为代数；解析为函数、微积分与概率统计；几何为初等几何和解析几何；一般数学是利用数学解决现实生活中的问题，可见高中的数学水平是较高的。这是因为教育革新委员会第三次会议对此有所要求，大学方面也要求高中给予较高的数学教育。2系统学习

4、时期1958年日本数学教育已转入系统学习的新时期。这次改革明确提出以下方针：使学生理解数学的概念、原理、法则，并养成应用他们的能力；使数学建立体系，使学生理解建立此体系的想法及其意义；使学生理解数学的用语和符号的正确使用方法，并据此简洁、明确地表现出数量关系，养成处理它们的能力；使学生理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯；使学生了解对事物的数学的观察方法，和思考方法的意义，并据此养成对事物的正确处理能力和态度。系统学习的主要精神，并不是使学生对所学知识在形式上系统的理解，重要的是使学生在心理上进行系统的思考，提高逻辑性的同时，能自己对学习内容作出逻辑的体系，因此，这一时期被

5、称为系统学习时期。如1960年修订的高中数学学习指导要领中不但明确指出要使学生理解数学的基本概念、原理、法则，并养成应用它们的能力，同时还要使学生理解数学体系的建立和建立此体系的思想方法、意义，理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯，其必修课程数学中增加了不等式、空间坐标、数学和论证等内容；在数学B和数学中增加了向量和复数平面等内容。这次改革的主要特点是为了面向学生的就职，开设了应用数学，它是数学、数学的后继课。3数学教育的现代化时期 1964年日本为了了解SMSG的改革情况，请来了E. Moise和D. E. Rickmond两位教授，在东京、京都两地召开了研究会，他们的讲

6、演给日本的数学教育改革起了很大的推动作用。于是、日本于1969年颁布了新的小、中、高数学学习指导要领，其改革的指导思想是：“目前世界各国数学教育现代化还在进行中，与其在形式上增加新的内容，不如仍用过去的教学内容，用现代数学的新观点来阐述教材，改进教学方法，通过这种办法，向数学教育现代化的目标前进。”总目标是：“对事物取其数学侧面，养成进行逻辑思维，综合地、发展地考查和应用数学的能力和态度。”据此精选了对日常生活、进一步学习以及加强数学理解能力有用的题材作为教学内容，在中学导入了集合的用语和符号；用对应定义函数；强调变换，导入拓扑的基本观点；强调概率和统计。在高中增加了集合和逻辑的内容、向量、矩

7、阵、平面几何的公理结构、计算机程序与框图等新内容。日本和欧美一些国家一样，现代化教材实行的结果，出现了意想不到的恶果。4轻松愉快的数学教育时期1978年，日本在反省了数学教育现代化的若干弊端以后，制定了“轻松愉快”的教育方针：建立有特色的学校；发展个性；轻松愉快的学校生活；重视劳动。在此方针的指导下，新颁布了小、中、高数学学习指导要领，在要领中强调：“使学生充分理解数学的基本概念和原理，进一步培养学生的数学意识和思考方法。”在教学内容方面进行了如下的改革：恢复了一些传统内容；删去了一些新内容，如平面几何的公理结构；降低了对某些抽象理论的要求，如降低了对集合与逻辑、代数结构等内容的要求；有些内容

8、在量上有所减少。这次修改的高中数学学习指导要领尽管比前次要求降低了，但微积分、概率统计、向量、矩阵等内容基本保持了原来的程度。修改的主要目的是减轻学生的负担，使教材更便于接受，提高教学效果。5适应多样化的数学教育时期80年代中期的临时教育审议会以后，作为基础教育重要内容的中小学课程改革，比以往任何时候都受到重视。针对日本教育面临的偏重学历、过度的考试竞争、青少年心理健康、学校教育的划一化和僵化等一系列问题，临时教育审议会提出教育应朝着尊重个性的方向改革。根据这一指导思想，日本于1989年对学习指导要领进行了修订，这次修订的着眼点是三个方面：适应高度信息化的社会；适应社会和学生的多样性；适应国际

9、化的时代。在小学低年级更加重视综合性、体验性的学习；在初中增设了“课题学习”；在高中阶段扩大了选修课的范围和比重等。如高中数学课程在适应多样化方面，对于那些将来从事的职业几乎不需要用到数学的学生，则只学习数学；对于要升入大学文科系的学生，则学习数学、数学，同时也可选修数学A、数学B、数学C中的部分内容；对于要升入大学理科系的学生则学习数学、，同时再选修数学A、数学B、数学C中的部分内容。由此可见学生对数学课程有多样选择的可能。6、面向21世纪的数学教育改革1996年8月，日本中央教育审议会发表题为关于面向21世纪的我国教育的咨询报告。报告指出，面对今后日益信息化、国际化和科技迅猛发展的、不断变

10、化的社会，教育要注重对学生基本素质和能力“生存能力”的培养，即要培养学生自己发现问题、自己学习、独立思考、判断、行动的能力，以及更好地解决问题的能力；培养学生具有健康的身心，自律意识，关心、同情他人的情感和品格以及与他人合作的能力。该报告强调，今后日本学校教育的基本任务就是培养学生的“生存能力”，必须使教育由注重灌输知识向注重培养学习能力和独立思考能力转变。因此，要从以下几方面对现有的学校课程进行改革：精简那些容易陷入死记硬背的内容，严格筛选基础和基本的教育内容，削减课时；通过加强课程的弹性化，改善教学方法，创建有特色的学校，推进个性化教育；加强道德教育，培养丰富的人格，应重视志愿服务，自然体

11、验等活动，并开展丰富多彩的健身体育运动；适应国际理解、信息、环境、志愿服务等综合学习和课题学习的需要，设定“综合学习时间”，各学校可根据实际情况开展有特色的教育活动。根据中央教育审议会的报告精神，日本教育课程审议会从1996年8月开始，就课程改革的方针、课程体系的构建、学科教育的内容等一系列重大问题进行了研讨，并分别于1997年11月和1998年6月发表了关于教育课程标准改革的中间报告、最终审议报告，并确定了此次课程改革的目标。课程改革的总目标：培养学生具有丰富的人性和社会性、具有自立于国际社会的日本人的意识；培养学生的学习能力和独立思考的能力；通过开展宽松的教育活动，切实加强基础，充实发展个

12、性的教育；使各个学校能够发挥主动性、创造出有特色的教育。课程改革的具体目标：（1）解决现行课程和学校教育中存在的问题，如学生缺乏学习兴趣、过度的“应试教育”和竞争、评价标准单一、学生的身心健康问题等；（2）要使学生掌握人类永恒（贯穿于各个时代）的价值观，培养其同情心、正义感、奉献精神及对大自然和美的事物的热爱等，掌握最基本和最基础的知识内容；（3）为使学生灵活地适应社会变化，要使教育从以灌输知识为主转变为使学生学会学习、学会独立思考为主的教育，关键在于激发学生的学习动机，帮助其掌握学习方法，发展其个性，重视解决问题能力的培养；（4）以学校五日制的实施（2002年开始）为契机，从终身学习的角度重

13、构学校的教育内容，要使学校教育有助于学生在社会和家庭中的学习，并适合其终身学习和选择的需要；（5）精选教学内容，加强基本能力和基础内容的学习，要从为学生今后的学习和生活打基础的原则出发，严格精选教学内容，转变以知识的量来衡量学生学力的学力观；（6）改善学习指导和评价方法；必须改变从前偏重知识灌输的教学方法，加强学生的独立思考、解决问题和语言表达能力的培养；改进从知识的量上评价学生学业的评价方法，重视对学习过程、学生的优点、可能性和进步状况的评价；（7）根据统一性和灵活性相结合的原则，改善课程管理，发挥地方和学校的积极性，给予地方和学校更大的编制和实施课程的自主权。基于上述课程改革目标，中央教育

14、课程审议会确定了如下的小、中、高数学教育课程改革的基本方针：（1）通过小学、中学以及高中的教育，使学生掌握关于数量和图形的基础知识和基本技能，在此基础上，培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础，使学生认识到数理地考察和处理事物现象的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识、数学思想方法的态度；（2）为达到上述目标，要重视数学知识和现实生活中各种事物现象的联系，使学生在宽松的环境中，通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，一边体验学习的乐趣和充实感一边进行学习。并且要重视教学内容的改善。文部省根据上述报告，着手修订课程标准，并于1998年11月颁布了新的学习指导要领，拉开了

15、新一轮课程改革的序幕。下面将围绕日本课程审议会的咨询报告和文部省新颁布的学习指导要领，对日本数学教育课程改革的动向、特征及其意义做些分析。二、日本最新中小学数学学习指导要领1、 小学算术学习指导要领日本文部省教育课程审议会指出新的算数科学习指导要精选教学内容，让孩子们有充分的时间体会学习的乐趣，通过关于数量和图形的操作、体验等算数活动，理解数量和图形的意义，提高思维能力，进一步达到能活用的程度。特别是小学的教育是以后学习的基础，必须反复地学习基础的、基本的知识和技能以保证切实掌握。要培养多角度的观察能力、逻辑推理能力等创造性的基础，数学地观察事物、处理数据，体会它的优越之处，并学会应用到自己的

16、生活中去。为了这个目的，就要思考实际生活中的各种事物及相互联系，在充裕的时间里，自己发现研究课题，通过自己解决问题（包括和同学们一起协作解决问题）的过程，体验学习的乐趣和充实感，逐步学习算数内容。如算数课把生活实际中的数量关系，图形特点引入到学习中，激发孩子们的兴趣，培养解决实际问题的能力，同时生活的实际往往与其他学科，甚至整个社会都有紧密的联系，因此各科“综合教育”的研究也成为热点，并积累了宝贵的经验。在此基础上，日本文部省把“综合学习”正式列为新学习指导要领的独立内容，从3年级开始每年占105110课时。另外，从2002年起日本的小学校实行周5日制学习（现行的是周6日与周5日相间进行）。

17、课时的减少使算数课的内容必然要精选、削减，对于部分小学生理解较困难的内容移到了中学，删除了一些复杂的计算及非主要的基础知识，下面就现行的和新的算数科学习指导要领作一介绍。算术课程的总目标是：“通过与数量、图形有关的算术活动，使学生掌握基础知识和技能，培养学生对日常事物现象的推测和合情合理的思考能力。同时，使学生感受到算术活动的愉快和用数学方法处理的优越性，进一步培养在生活中自觉应用的作风。”算数科课时变动如下：1年级、2年级、3年级、4年级、5年级、6年级现行课时136、175、175、175、175、175，修改后课时114、155、150、150、150、150。日本把小学数学的教学内容归

18、纳为4个领域，即数和计算，量和测定，图形以及数量关系。（一）数和计算：包括两个方面，一是数概念，二是计算。新的学习指导要领要求理解数和计算的意义，丰富对数的大小认识的感性知识，把对计算结果的估计和推测作为指导的重点。重视在具体问题中学生自己决定计算方法的能力。在数概念方面，教学内容有整数、分数、小数和百分率。整数认到16位数，同我国一样也是四位一级，第四级称兆级。小数认到三位小数。分数则分母多数不超过10。在教学内容中重视数的意义及大小的理解，经常通过数轴表示数来说明数的大小以及数与数之间的关系。此外还重视数的性质的教学。对于整数的性质，着重讲偶数、奇数、倍数、公倍数、最小公倍数、约数、公约数

19、、最大公约数等概念，不讲用质因数分解的方法求最小公倍数和最大公约数。在计算方面，十分重视四则运算的意义、运算间的关系以及运算的性质及其应用的教学，对于多种计算方式注意根据其实际需要提出适度的要求。如整数的加、减法3年级只要求到3位数，乘法只要求到2位数或3位数乘1位数及2位数乘2位数，除法到4年级也只要求除数最多2位数，被除数最多3位数为止，多位数的四则运算方法要求学生们能由已学过的知识推想出来，能简单地计算，至于复杂的计算，要求学生们用算盘或计算器处理。小数和分数从4年级开始导入，降低了带分数和复杂分数的计算要求。上面这些处理既可做到培养学生基本的计算能力，也有助于减轻学生的学习负担。（二）

20、量和测定：新指导要领要求理解量的单位的意义，丰富对量的大小的感性认识，把求基本图形的面积、体积作为指导的重点。因此将原5年级的体积、比率、近似测量等移到6年级，柱体、锥体的表面积、体积移到中学的立体和球的部分，删除了梯形、菱形等多边形的面积。日本小学数学中十分重视量的认识，把它看作小学数学的一个重要组成部分。首先是通过操作建立正确的量的概念，其中包括长度、重量、容积、时间、面积、体积、角度、速度等。其次重视进行各种量的实际测量，从对自然物品（如铅笔、杯子等）所进行的测量引出常用的计量单位。同时注意通过各种活动培养学生估计某种量的大小。最后是进行一些有关量的计算，如时间的计算，面积、体积的计算等

21、。内容包括：长度、宽度、容积、时间、长度单位(m、cm、mm)、容积单位(L、dL、mL)、时间单位(日、时、分、秒)、长度单位(km)、重量单位(g、kg)、面积单位(cm²、m ²、km²)、长方形和正方形的面积、角的大小(度)、 三角形、平行四边形和圆的面积、体积单位(cm³、m³)、长方体和正方体的体积、不同种类的两个量的比率(如长度与速度等)。（三）图形：新的指导要领重视抓住图形的特征，对图形进行分类，把基本图形的作图和构成作为重点指导。移到中学去的内容有：5年级图形的全等，6年级棱柱的展开图、正视图、平面图，棱锥，图形的对称，扩大图

22、、相似图形。删除了正多边形等内容。日本十分重视图形知识的教学，也把它作为小学数学中的一个重要组成部分，认识的概念比较多。在认识基本图形方面有：日常生活中的平面图形和立体图形、三角形、四边形、箱形、长方形、正方形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、圆、球、梯形、平行四边形、菱形、多边形、长方体、正方体、棱柱、圆柱。在认识构成图形的要素方面有：直线、面、直角、边、顶点、角、中心、半径、直径、对角线、圆周、平面、低面、侧面。在分析图形的着眼点方面有：观察、构成、分解、操作等具体活动、位置(一维空间) 、边的相等、直角、角的相等、平行、垂直、圆周率、展开图、示意图等。所有这些，对于发展学生的空间观念

23、有很大帮助，并为初中进一步学习几何知识打下很好的基础。      （四）数量关系：新指导要领重视对资料的分类整理和用图像、表表达基本的数量关系，指导的重点是用表或图像表示数量关系，并能进行比较。用字母表示式子、正比例、反比例的关系式等内容移到了中学，删除了频数分布等内容。在这个领域中包含的内容很广泛，归纳起来可分以下3个方面。（1）式子表达和读解：加、减法式子的表达及读解、乘法式子的表达及读解、数量相等的表达、用“（）”和“口”表示式子、除法式子的表达及读解 使用“（）”的式子、公式的表达、读解及运用等。 （2）函数：尝试着把一个数作

24、为其它数的和、差、数的大小及顺序、尝试着把一个数作为其它数的积、乘法中乘数每增减1是，积的变化、两个数量的依存关系和图象、用简单的式子表示两个数量之间的关系、比和比值等。（3）.统计：用简单的表和图像表示事件并能解释、简单的事物的分类和整理、直方图的画法及解读、调查两个相关事物发生的情况，并讨论遗漏和重复的情形、对资料的分类和整理、条形统计图、圆形统计图、百分率等； 可以看出，在数量关系这个领域中，既包含一部分算术知识，又包含一些代数初步知识，还包含一些统计初步知识。   此外，值得注意的一点是，解应用题（日本称解问题）不作为独立的一部分知识出现，而是结合上述四个

25、领域的知识分散出现。在日本小学数学中还是比较重视课题（问题）解决的教学的，着重培养学生解题时的思考方法。在学习指导要领中没有说明教哪些思考方法，但是结合每部分知识都强调了培养运用知识的能力和思考的方法。具体则由教科书编者加以安排。          从上面的介绍可以看出，日本小学数学教学内容有以下几个特点：（1）知识面较宽，适当控制深度。这样既适应进一步学习的需要，又不给学生造成过重负担。（2）以算术内容为主，适当渗透现代、近代数学思想。这样处理，既适应现代信息社会发展的需要，又保证打好必要的数学基础。（

26、）加强知识意义的理解，适当提出计算要求。日本小学数学十分重视对数、量、形的概念的意义以及数量关系的理解，通过数学知识的学习培养思考问题的方法，能在实际中应用。至于计算能力的培养，则根据现代社会和计算工具的发展，提出适当的要求，如降低笔算要求，加强估算，在适当年级引入计算器的使用，这既符合社会发展的趋势，又有利于学生身心的发展。2、中学数学学习指导要领根据中央教育课程审议会制定的数学教育课程改革的基本方针，考虑到中学阶段是义务教育，数学与现实生活有着密切的联系，它不仅对人们的日常生活，而且对人类文化和社会发展具有很大的作用。因此，中学时期要使学生有充裕的时间，确实理解和掌握作为国家或社会的一员，

27、在社会上生活所必要的关于数量和图形的基础知识和基本技能，并能积极主动地进行自己发现问题和解决问题的学习活动。改善的具体要求是：（1）数与式（代数）：加深对使用字母进行思考的必要性的认识，培养学生积极理解和说明代数式意义的基本能力和态度；（2）图形（几何）：为了使学生能够积极发现问题和解决问题，要重视论据清楚，论证合理的表达能力和逻辑思维能力的培养，特别是图形的证明；（3）数量关系（函数、概率统计）：使学生掌握分析事物变化的手段，思考方法以及对随机现象进行正确判断的基础知识和能力；（4）课题学习：使学生通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，加深学生对数学思想方法的理解，促进学生思维的发展。

28、依据上述修订的基本思想，文部省对现行的中学数学教学大纲进行了修订，修订后的中学数学教学大纲从知识和技能、能力、态度和方法等方面提出了中学数学课程的目标要求，包括中学数学课程的总目标和各领域的具体目标。总目标提出了中学数学所要达到的共同目标，各领域的目标则结合知识内容，具体提出通过完成什么样的学习内容来达到目标，也就是完成目标的途径和方法。中学数学课程的总目标：“加深学生对数量图形等基本概念、原理和法则的理解，使学生掌握数学的表达方式以及处理问题的方法，提高学生以数理地考察事物现象的能力，并使学生体会到数学学习活动的乐趣和数学思想方法的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识，数学思想方法等的态

29、度。”新的目标在内容上基本上体现了现行目标的特点，比如，重视基础知识的理解、重视能力、态度和数学的思想方法的培养。并在此基础上又有所发展，增加了“使学生体会到数学学习活动的乐趣”，突出了对情感体验和学习兴趣的重视。“数学活动学习的乐趣”不是指“数学活动”本身有趣，而是通过数学活动体会到的数学学习的乐趣。学习数学不但要记住公式和法则，更重要的是理解数学结论产生、发展的认识过程，通过具体的观察、操作和实验，归纳、抽象出数学结论的活动和运用数学知识、方法解决身边的事物现象的问题解决活动，使学生体验到发现和创造数学的愉快和学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学兴趣和动机，给学生以学习数学的动力。中学数学

30、的教学内容仍是按年级顺序编排，每年级都包括数和式（代数）、图形（几何）和数量关系（函数与概率统计）三部分内容。但依据中央教育课程审议会的课程改革精神，现行数学教学内容的三分之一被削减或转移到高中。削减的内容有1年级的平行移动、旋转移动以及对称移动、立体的截面和投影、满足条件的图形；2年级的数的表示法（2进制、近似值）；3年级的平方根表。转移到高中的内容是1年级的数的集合；2年级的一元一次不等式、三角形的重心、3年级的有理数和无理数的用语、一元二次方程解的公式、圆的部分性质、相似图形的面积和体积的比、球的体积和表面积、资料的整理和标本的调查、各种事物现象和函数。调整后的初中数学教学内容和课时如下

31、表1：表1 新初中数学教学大纲的教学内容和课时学年教学内容 数与式 图形 数量关系课 时新 旧一年级1、 正负数 1、平面图形 1、正反比例函数2、 字母和代数式 2、空间图形3、 一元一次方程105 105二年级1、 整式的运算 1、平行线和角 1、一次函数2、 二元一次方程组 2、全等三角形 2、概率的初步知识3、圆105 140三年级1、平方根 1、相似三角形 1、二次函数2、多项式 2、勾股定理3、一元二次方程105 140从上面的介绍可以看出，日本中学数学课程改革有以下几个特点：（1）进一步精简学习内容，使学生在宽松的学习环境中，切实掌握基础知识和基本技能。在上一轮课程改革时,根据科

32、学技术发展和日本学生的实际情况,日本数学课程改革就较大幅度简化了学习内容。这次改革又进一步精简了一些学习内容，较大幅度降低了代数计算等技能要求。（2）增加了选择性学习。新学习指导要领增加了选修课课时,使课程具有较大的弹性,适合不同学生的需要。提倡选择性学习构成了日本中学数学课程的一大特色。学习指导要领认为,数学课程要安排多种可供学生选择的数学活动。如探究数学的某个内容或者专题、有关数学的实际活动、应用数学的活动、数学史的有关专题等课题学习都可以作为选择学习的内容。学习的程度也应有一定的弹性,在选择性学习中学生可以根据自己的实际情况选择补习、补充、发展、深化等不同程度的学习，使不同发展水平的学生

33、都有收益,有利于学生的个别差异。（3）重视课题学习（问题解决学习）。学习指导要领要求在各个年级的数学教学中，都要恰当地进行课题学习，在课题解决的过程中，要重视操作、观察、实验和调查等活动，从而提高学生独立发现问题，主动解决问题的能力，加深对数学思想方法的理解。课题学习中的课题包括三种：综合性课题、日常生活中的课题、发展性课题。综合性课题是综合运用以前学习的知识、技能和方法能够解决的问题。如图2，求两个三角板重叠部分的面积。 图1两个三角板可以有不同的重叠方式，不同的重叠方式可得到不同的图形，因此重叠部分的面积也不同。为了求重叠部分的面积，必须综合运用以前学过的列方程解应用题、相似、勾股定理等知

34、识。日常生活中的课题是和学生的日常生活密切联系的问题。如求纸的大小问题。先量一量、纸的长和宽，然后将、纸对折得到、纸，量一量、纸的长和宽，再将、纸对折,这样下去会得到以下数据：纸型 大小 纸型 大小 297210 210148 148105 364257 257182 182128从上表中的数据会发现纸、纸、纸等都是相似的长方形，并且它们长与宽的比都是。纸和纸等也有相同的性质。发展性课题是对学过内容的深入探讨。如学过求五角星的5个角的和之后，可让学生利用求五角星5个角的和方法探索六角星、七角星的各角和的求法。在数学课程中设置课题学习的目的是多方面的：学生可以综合地运用各科的知识和技能,养成综合

35、解决问题的能力；培养学生发现问题的意识，自己思考、独立判断的能力以及掌握信息的收集、调查、总结的方法；培养以问题解决、探究活动为主的创造能力；通过课题学习使学生获得对数学的正确看法、养成灵活应用数学的态度。2、 高中数学指导要领日本中央教育审议会在中间总结报告中指出（1997，11，17），现在的学生虽然能比较好地掌握数学的基础知识和基本技能，但是，积极主动地活用数学的思想、方法，解决和判断问题还不够；随着年级的升高，抽象的数学内容不断增加，在数学学习中出现了两极分化的现象，讨厌数学的学生越来越多；又因为数学的内容具有系统性，在某一阶段没有理解的学生，以后的学习就会落后或出现困难，所以，数学教

36、育要重视学习方法，问题解决能力和创造性基础的培养。根据上述思想，新高中学习指导要领的高中数学课程的总目标是：“加深对数学基本概念、原理和法则的理解，提高学生数学地观察和处理事物现象的能力，通过数学活动培养学生创造性的基础的同时，使学生认识到数学思想方法的优越性，进一步培养学生积极运用数学知识和数学思想方法等的态度。”新的目标在内容上基本上体现了现行目标的特点，比如，重视基础知识的理解、能力和态度培养；重视对数学思想方法优越性的认识，并在此基础上又有所发展，增加了“通过数学活动培养学生创造性的基础”，突出强调在数学活动中培养学生创造性的基础。早在1996年，日本中央教育审议会第一次报告就指出，今

37、后的数学教育应从以前的以传授知识为主的教育，转变为以培养自学能力、独立思考能力等创造性的基础为主的教育，并且要重视问题解决学习和数学活动的丰富。创造性的基础不仅包括自学能力、逻辑思维能力、表达力、判断力、想象力、直觉能力，欣赏数学表现和处理的美、领会数学思想方法的优越性等丰富的情感也属于创造性的基础。数学活动一般包括观察、操作、实验等外部的操作性活动和类推、归纳、演绎等内在的思维活动，高中的数学活动主要是指以下思维活动，将身边的事物现象数学化、设定为数学课题的活动；基于已经学过的数学事实、公理和定义等对设定的课题进行数学地考察和处理，将解决课题过程中发现的各种数学性质(法则、定理等)系统化、构

38、建新的数学理论的活动；反省构建新数学理论的思维过程，用新的数学知识解决或说明当初的事物现象，进一步活用新的数学知识考察其他事物现象的活动。高中的数学活动虽然以上述解决问题、发现新知识等思维活动为核心，但也包含观察、操作、实验等外部的操作性活动，其整个数学活动的过程如图2。 图2 高中的数学活动 数学化 数学课题 身边的 数学的 事物 考察·处理 现象 新数学理论 运用·解决 发现·建构 通过上述数学活动，使学生认识到数学与现实生活的联系，数学在人类文化和社会生活中的作用，增强应用数学的意识，学会运用数学解决实际问题的方法。在解决问题、探索知识、建构知识的过程中，使

39、学生认识到数学的价值，享受到创造的乐趣和学习的充实感。其宗旨是提高学生对数学学习的兴趣和关心，培养学生运用数学知识、方法考察和处理事物现象的态度，提高学生问题解决能力和逻辑思维能力，使学生能够积极主动地进行探索，发现问题、解决问题，创造出新的数学知识，将学生的数学学习从被动学习转移到主动的探究学习上来。新的高中数学课程保持了现行高中数学课程的多层次、“必修加选修”的课程模式，并将现行的高中数学课程结构、学分进行了以下的修改。 表2 新的高中数学课程结构及变化 新课程 现行课程科目 学分 性质 科目 学分 性质数学基础 2 选择必修数学 3 选择必修 数学 4 必修 数学 4 选修 数学 3 选

40、修数学 3 选修 数学 3 选修 数学A 4(2) 部分选修 数学A 4(2) 部分选修数学B 4(2) 部分选修 数学B 4(2) 部分选修数学C 4(2) 部分选修 数学C 4(2) 部分选修从2002年起，日本的学校由每周6天授课制改为5天授课制。为了适应这一变化，使学生在宽松愉快的学习中，切实掌握基础知识和基本技能，现行小学（16年级）数学的教学内容将相应地减少30%；初中（79年级）数学的内容也相应地减少36%，新高中数学课程同样对较繁杂的内容进行了精简，例如“复数和复平面”的部分内容被精简。表3 新高等学校数学课程的内容科目内容科目内容数学基础数学和人类的活动社会生活中的数理考察身

41、边的统计数学A平面图形集合和推理排列、组合和概率数学1方程式和不等式二次函数图形和测量数学B数列向量统计和计算机数值计算和计算机数学2代数式和证明、高次方程图形和方程各种各样的函数微积分的思想数学C行列式和它的应用代数式和二次曲线概率分布统计处理数学3极限微分法积分法此次高中数学课程改革中最引人注目的新举措是新设置了选择必修课数学基础。数学基础并不是学习其他学科的基础，其目的是使学生理解数学与人类的关系以及数学在文化和社会生活中的作用，提高学生对数学的兴趣和关心，使学生认识到数学的认识方法和思考方法的优越性，进而养成灵活应用数学的态度，给学生以学习数学的动力和信心。数学基础的内容包括以下三部分

42、:数学和人类社会如和中小学数学内容有关的数学史知识，古埃及、罗马和中国的数制、二进制与电子计算机的发展、勾股定理的发现等数学史话题。旨在使学生理解数量和图形的有关概念在人类活动中的发展过程，提高学生对数学的兴趣和关心。社会生活中的数学考察例如，一卷胶带的内径是5厘米，外径是10厘米，胶带纸厚度是0·01厘米，这卷胶带纸有多长？这个问题可以从不同的角度求解，学习指导要领从横截面的角度给出了下面的解法： 这卷胶带的横截面是一个圆环，其面积为 ，胶带纸的厚度为10厘米，所以 O B A胶带的长度为：236m此题还可从微积分的角度思考。在这一部分中还有如何利用数列、指数函数考虑储蓄、贷款、电

43、话费等问题，这些都是人们现实生活中经常遇到的问题，通过对这些问题的数理考察，使学生了解数学的有用性，丰富学生数学的认识方法和思考方法。周围的统计在高度信息化的今天，具有统计方面的知识和素养是非常重要的，因此必须使学生能够根据目的收集资料，用表和图整理他们的同时，理解用代表值把握资料倾向的统计思想，并能够灵活应用它。如1公斤大米有多少粒米？调查某一公司职工工资时，平均数、中位数以及众数哪个更具有代表性？可以看出，日本高等学校数学教育改革具有如下特点：（1）重视学生的多样化。如下图所示，改革后的高中数学课程根据学生的能力、兴趣以及将来就业和升学的需要、考虑到数学学习的系统性和学生选择的多样性，使学

44、生选择的自由度更大、灵活性更强。在必修课数学基础和数学I中，可任选其一，增加了必修课的选择性；数学A、数学B和数学C的每门课程的内容是4学分，学生可以根据自己的兴趣和关心，选择2学分的内容学习。此外，课程选择的顺序和方式也变得灵活多样，数学A可以和数学基础或数学l并行选修、也可在数学基础或数学1之后选修。数学和数学B是数学I的后继课程，数学C是数学l以及数学A的后继课程。（2）重视提高学生对数学学习的兴趣和关心。数学基础的设置，可以使学生通过数学概念、定理产生和发展的过程、数学对人类文化社会生活的作用、现实生活中的数学问题等课题，来提高学生对数学学习的兴趣和关心，使学生对自然界和社会生活中的数

45、学现象具有好奇心和探索心，给学生以学习数学的动力。并让学生能够从数学的角度考察和解决身边的事物现象，培养学生运用数学知识和方法的态度，提高问题解决能力。（3）重视通过数学活动培养学生的创造性。新学习指导要领强调了通过发现问题、解决问题的数学活动等，来培养学生的数学能力和创造性。例如，通过将身边的事物现象转化为数学课题，并在解决课题的过程中发现定理、法则，培养学生的思考能力和探索能力。这次改革，虽然总的静态的知识量有所减少，但对学生通过数学活动，理解，掌握和发现数学知识和方法，培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础的要求大大增加。三、日本中小学数学教材日本的中小学数学教材经历了

46、“一纲一本”到“一纲多本”的过程，其分界点是1950年。现在，日本的教材由国家审定、民间教科书出版公司出版发行，供各学校选用。现有6个出版公司出版发行了6种小学算术和中学数学教材，这些书都通过了国家审定。作为中等教育后期的高中，为了适应学生的分化，已由13个出版公司出版发行了多种高中数学教材。日本中小学数学教学内容的编排不完全由学习指导要领规定。学习指导要领中只对各年级要教的内容做了规定，至于每个学年之内的内容如何安排则由教科书编者灵活处理。各种数学教科书虽然都是根据统一的学习指导要领编写的，但是在每个年级内容的编排上，教材的处理上，以及编写的风格上不完全相同。我们这里主要以下列教材为基础，介

47、绍一下日本教材的特点及其精彩片段。根据新的学习指导要领，由日本数学教育学会会长、东京理科大学教授泽田利夫领衔主编、教育出版株式会社2001年出版的算术、中学数学。由于新的高中数学教材2003年3月才能出版，我们只能以现行的由大板大学名誉教授永尾泛为主编、数研出版株式会社出版的高中数学教科书。（一）教材在内容编排上的特点1、各领域的内容齐头并进，相互融合日本教材从小学一年级起，数、量、图形和数量关系齐头并进。例如，小学一年级在数和计算领域，认识100以内的数，教学20以内的加减法和100以内的简易的不进位加法和不退位减法；在量和测定的领域，通过物体长度、容器大小的比较，初步了解长度、容积的概念，

48、初步认识钟面上的时刻（整时数和几时半）；在图形领域，初步认识长方体、正方体、圆柱、正方形、长方形、三角形和圆；在数量关系领域，虽然教学大纲从三年级才做安排，但是实际上在一、二年级也含有数量关系的因素，例如用加、减法算式表示数量关系，加法的交换法则等。中学教材分为三册，每册都包含数与式、图形、数量关系三部分内容，并且各个不同领域的知识相互融合。如在学“一元二次方程的解法”时，教科书出的题目有:用方程的知识求长方形土地的面积问题，使学生学会了方程在几何中的运用。高中数学教材中数学知识、算法知识以及计算机程序相互融合，使学生能用现代化技术解决数学学习中的问题。这种各领域内容齐头并进，相互融合的方式，

49、有利于学生知识和技能的全面发展。 2、各部分知识适当划分阶段，由易到难分散安排小学教材在计算领域不仅整数划分几个阶段，而且分数、小数也适当划分几个阶段排在三至六年级，逐步加深。在图形的认识和求积方面，从低年级到高年级逐步加以安排。一年级直观认识的认识身边的立体图形；二年级出现三角形和四边形；三年级出现正方形、长方形球和直角三角形的初步概念；四年级进一步认识等腰三角形、等边三角形、圆和球，结合长方体的认识使学生了解空间的直线与平面的平行与垂直；五年级认识梯形、菱形和多边形六年级认识圆柱、圆锥，并计算长方体、正方体的体积。中学教材也一样，在数量关系领域，一年级学习正比例函数和反比例函数；二年级学习

50、一次函数；三年级学习二次函数（y=ax²）。这样分散安排、由易到难比较符合学生学习的认知特点，有助于逐步提高和巩固所学的知识。（二）教材编写特点1重视数学史的知识日本的数学教材非常重视数学史的记载、描述和论述。这些关于数学史的记载和论述紧扣所教的数学内容，如通过数学史话引入所学的内容、解决一些数学史上的问题。它能使学生了解这些知识和思想方法形成的历史，提高学生对数学学习的兴趣和关心。例如，在中学二年级新教材第四章“平行和全等”的章首，就有下面一段数学史话： “如右图，B点到船的距离是多少米？ 在海上测量距离很困难。可是，距现在2600年前，古希腊数学家泰勒斯把海上的距离转换为陆地上的

51、距离，求出了B点到船的距离。”右边是教科书上配的图形。 A B C在中学一年级新教材的数学小知识栏目中有“方程的历史”，并在史话后面提出了问题。课文：九章算术是中国最古老的数学书籍，一般认为是距现在1900年前的数学书籍。这本书正如书名所示，全书由9章构成。这本书的第八章是方程。古代，中国人解方程时，用叫“算筹”的工具，其解法与我们现在的解方程方法完全不同。开始研究象现在这样方程的，是距现在1700年前的希腊数学家丢番图。在他的墓志中有这样一段话：“丢番图一生的1/6为童年，1/12为青年，1/7为单身汉，结婚5年后，生了个儿子，儿子在他最终年龄的一半时，比他的父亲早4年死去。”问：求丢番图的

52、年龄。在中学二年级新教材的数学小知识栏目有“鹤龟算的历史”课文：古代中国的数学书孙子算经（大约成书于34世纪）中，记载了以下问题：“将野鸡和兔子装进同一笼子里，有35个头，94条腿。问：野鸡有多少只，兔子有多少只？”在日本，这个问题最初出现在江户时代的数学书因归算歌（1640年）中。后来出版的数学书算法点窜指南录（1815年）把野鸡和兔子换成鹤和龟，于是，上述问题就被称为“鹤龟算”。“鹤龟算”这类问题用本章学过的“方程组解应用题”的知识，很容易就能解决，请你试一试。在中学三年级新教材的数学小知识栏目有“自然数的和”课文：18世纪德国数学家高斯刚入小学不久，就很快解答了老师提出的问题“求1+2+

53、3+4+5+6+7+8+9+10的和。”使老师非常吃惊。据说高斯是用下面方法求解该问题的。1 +2+ 3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10+） 10+9+ 8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 11+11+11+11+11+11+11+11+11+11 10问：（1）求1+2+3+98+99+100的和（2）从1开始连续n个自然数的和，可用式子n（n+1）/2求。请问当和是66时，是从1开始连续几个自然数的和？另外，新高中数学课程改革中设置了选择必修课数学基础。数学基础中的一部分内容就是“数学和人类社会”，讲一些和中小学数学内容有关的数学史的知识。由此不难看出日本数学教材对数学史的重视。2重视通过学生观察、操作、实验等具体的活动抽象概括出数学知识新学习指导要领最后关于教学内容的处理上特别强调要丰富学生的数学活动，让学生通过观察、操作、实验等具体的活动抽象概括出数学知识，发现新