高水平数学教学——到底该教什么

1、高水平数学教学高水平数学教学到底该教什么？到底该教什么？ 李李 祎祎 福建师范大学福建师范大学 一、数学教师应具备的素质一、数学教师应具备的素质 （一）提高数学素养（一）提高数学素养 （二）掌握教育理论（二）掌握教育理论 二、数学教学二、数学教学“教什么教什么” （一）教学生学（一）教学生学“本质本质” （二）教学生学（二）教学生学“过程过程” （三）教学生学（三）教学生学“思想思想” （四）教学生学（四）教学生学“结构结构”一、数学教师应具备的素质一、数学教师应具备的素质 庸师：庸师：如同庸医，不仅不能教好学，反而会把学如同庸医，不仅不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。生

2、越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。 教书匠：教书匠：知识的搬运工，把自己会的东西简单的知识的搬运工，把自己会的东西简单的搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻误学生一生，但也没有太大发展。误学生一生，但也没有太大发展。 经师经师：不仅能教给学生知识和技能，并且能培养：不仅能教给学生知识和技能，并且能培养学生一定的能力，属于较高水平的教师。学生一定的能力，属于较高水平的教师。 人师人师：不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，：不仅给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在思想上、人格上影响学生，使学生在获得更能在思想上、人格上影响学生，使学生在获得知识、

3、培养能力的同时，还产生了智慧，形成了知识、培养能力的同时，还产生了智慧，形成了健康人格。健康人格。 深入深出型深入深出型，自己的知识很丰富、很深奥，交给自己的知识很丰富、很深奥，交给学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。学生的知识也很深奥，学生听得不明所以然。 浅入深出型浅入深出型，自己的知识很贫乏，但却要装得很自己的知识很贫乏，但却要装得很有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。有学问，把本来浅显的问题讲得云山雾罩。 浅入浅出型，浅入浅出型，自己懂得并不多，但能用通俗的语自己懂得并不多，但能用通俗的语言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学言教给学生，虽说学生不会有太多提高，但能学到一些知

4、识。到一些知识。 深入浅出型，深入浅出型，自己的学问很深，但能把晦涩难懂自己的学问很深，但能把晦涩难懂的知识通俗化，学生听得懂、学得会。的知识通俗化，学生听得懂、学得会。 如何做到如何做到“深入浅出深入浅出”呢？呢？ 教师的知识结构：教师的知识结构：本体性知识，条件性知识，实本体性知识，条件性知识，实践性知识，一般文化知识。践性知识，一般文化知识。 数学教师数学教师“两手抓，两手硬两手抓，两手硬”：数学素养与教育数学素养与教育理论素养。理论素养。 数学教学设计的关键：数学教学设计的关键：理解数学与稚化思维。理解数学与稚化思维。 （一）提高数学素养（一）提高数学素养 1.提高数学素养的六个维度提

5、高数学素养的六个维度 （1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解）从微观上对数学知识的准确、深刻理解 （2）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握 （3）对显性知识背后隐性的思想方法的认识）对显性知识背后隐性的思想方法的认识 （4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知）对中小学数学中某些拓展性知识的认知 （5）对数学知识）对数学知识 “来龙去脉来龙去脉”的过程性把握的过程性把握 （6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识）从高观点对中小学数学的居高临下的认识 通过通过“追问追问”提高数学素养：提高数学素养： （1）通过追问形成正确认识）通过追问形成正确认识 指数

6、函数中为什么要规定指数函数中为什么要规定a0？ 频率的极限是概率吗？频率的极限是概率吗？ （2）通过追问获得深层理解）通过追问获得深层理解 为什么为什么0不能做除数？为什么先乘除后加减？不能做除数？为什么先乘除后加减？ （3）通过追问拓展学科知识）通过追问拓展学科知识 一元三次方程有求根公式吗？一元三次方程有求根公式吗？ 有等和数列与等积数列吗？是否存在正切定理？有等和数列与等积数列吗？是否存在正切定理？ （4）通过追问获得较高观点）通过追问获得较高观点 自然数的个数比偶数的个数多吗？自然数的个数比偶数的个数多吗？ 复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？ 2.理解数学的五个视角理解数

7、学的五个视角 袁隆平袁隆平：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说负负相乘得正，就去问老师，老师说你记得就你记得就是是；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。 数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？ 知名华人数学

8、家、哈佛大学教授知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐丘成桐兴冲冲地兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望：学尖子见面。结果却让他颇为失望： “大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才系，难以培养出什么数学人才。” 数学理解重于形式运算。数学理解重于形式运算。 （1 1）厘清）厘清“是什么是什么” 基本事件是相对的，还是绝对的？基本事件是相对的，还是绝对的？ （2 2

9、）追问）追问“为什么为什么” 有了角度值，为什么还要引入弧度制？有了角度值，为什么还要引入弧度制？ （3 3）建构内容联系）建构内容联系 三角公式内在联系的建构三角公式内在联系的建构 （4 4）挖掘思想方法）挖掘思想方法 “二分法二分法”教学中的逼近思想教学中的逼近思想 （5 5）寻求多元表征）寻求多元表征 直观表征，符号表征直观表征，符号表征 （二）掌握教育理论（二）掌握教育理论 1.建构性数学教学思想建构性数学教学思想 2.理解性数学教学思想理解性数学教学思想 3.过程性数学教学思想过程性数学教学思想 4.启发式数学教学思想启发式数学教学思想 5.问题式数学教学思想问题式数学教学思想 6.

10、情境式数学教学思想情境式数学教学思想 7.主体性数学教学思想主体性数学教学思想 8.生成性数学教学思想生成性数学教学思想 9.有效性数学教学思想有效性数学教学思想 教学的本质教学的本质 教学：教学：就是就是“教学生学教学生学”。 学生：学生：学什么学什么；怎么学。；怎么学。 教师教师：“教什么教什么”是指是指“教学生学什么教学生学什么”和和“教教学生怎么学学生怎么学” 。 研究研究：“怎样教怎样教”是指是指“怎样教学生学什么怎样教学生学什么”和和“怎样教学生怎么学怎样教学生怎么学” 。二、数学教学二、数学教学“教什么教什么” “教什么教什么”始终比始终比“怎么教怎么教”重要。重要。前者关乎教前

11、者关乎教学内容，后者关乎教学形式。教学内容决定教学学内容，后者关乎教学形式。教学内容决定教学形式，教学形式服务于教学内容。形式，教学形式服务于教学内容。先进理念首先先进理念首先关乎教学内容，首先要关注关乎教学内容，首先要关注“教什么教什么”。 但在目前，一提到教师培训、业务研讨，想到的但在目前，一提到教师培训、业务研讨，想到的都是数学教学理念，数学教学的方法与技巧，而都是数学教学理念，数学教学的方法与技巧，而数学学科知识本身则受到冷落。数学学科知识本身则受到冷落。 人们对教学方法研究情有独钟。研究教学导入的人们对教学方法研究情有独钟。研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺艺术

12、，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺术术但却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深但却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻的中小学数学知识。刻的中小学数学知识。 从从“教什么教什么”的视角来看，数学教师的教学水平的视角来看，数学教师的教学水平的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上。的高低，首当其冲地体现在对教学内容的把握上。 低水平的教书匠，只会照本宣科，看到什么就教低水平的教书匠，只会照本宣科，看到什么就教给学生什么，只是知识的搬运工；给学生什么，只是知识的搬运工； 高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材高水平的教师，能透过现象看到本质，在教教材中显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，中

13、显性知识的同时，能挖掘出其后的隐性知识，教到一些别人教不出来的内容教到一些别人教不出来的内容。 这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，这些不易教到的隐性知识是什么呢？概括而言，是是数学的本质、过程、思想和结构数学的本质、过程、思想和结构等四个方面。等四个方面。（一）教学生学（一）教学生学“本质本质” 1.数学概念的本质数学概念的本质 概念是反映事物本质属性的思维产物概念是反映事物本质属性的思维产物. . 数学：空间形式和数量关系数学：空间形式和数量关系. . 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物. . 本质属性：共有性，特有性，整体性。本质属

14、性：共有性，特有性，整体性。 示例示例1：集合的本质：集合的本质 幼儿园小孩子学集合幼儿园小孩子学集合 示例示例2：复数的本质：复数的本质 复数是复数是二元数二元数,实数是一元数实数是一元数.与把一元的实数看与把一元的实数看作作“单纯的数单纯的数”相比相比,二元的复数不仅数量意义二元的复数不仅数量意义,而且还有方向意义而且还有方向意义,它是一种它是一种“有方向的数有方向的数”，“数量加方向数量加方向”是复数的本质属性。是复数的本质属性。 用几何形式表示用几何形式表示：它的意义是一个向量：它的意义是一个向量,其本质特其本质特征是向量的长度和方向征是向量的长度和方向; 用三角形式表示用三角形式表示

15、：在：在z= r(cos+isin)中中, r表示表示复数向量的长度复数向量的长度,表示复数向量的方向表示复数向量的方向. 用代数形式表示用代数形式表示：本质属性不是很明显：本质属性不是很明显,需要揭示。需要揭示。 示例示例3：函数概念的本质：函数概念的本质 数学概念的本质属性，是指一类特定数学对象在数学概念的本质属性，是指一类特定数学对象在一定范围内一定范围内保持不变的性质，而可变的性质则是保持不变的性质，而可变的性质则是“非本质属性非本质属性”。 设设A A、B B是是非空数集非空数集，如果按照某种确定的，如果按照某种确定的对应关对应关系系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的任意任

16、意一个数一个数x x，在，在B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数f f（x x）和它对应，则称）和它对应，则称f f：ABAB为为从集合从集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数，记作，记作y=fy=f（x x），），xA.xA.其中其中x x叫做自变量，叫做自变量，x x的取值范围的取值范围A A叫做函数叫做函数的定义域；与的定义域；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做函数值，函值叫做函数值，函数值的集合数值的集合ff（x x）|xA|xA叫做函数的值域。显叫做函数的值域。显然，值域是集合然，值域是集合B B的子集的子集。 “非空数集非空数集”是否为函数的本质属性？是否

17、为函数的本质属性？ “单值对应单值对应”是否为函数的本质属性？是否为函数的本质属性？ “变量说变量说”的局限性的局限性： “对应说对应说”的局限性的局限性： “关系说关系说”定义函数定义函数：积集：积集 的子的子集集 人教版函数定义指暇人教版函数定义指暇：B的困惑的困惑 函数究竟是什么？函数究竟是什么？Rxxxy,cossin222,0,1,0,1yx xyxx和( , ),X Yx y xX y Y 2.数学结论的本质数学结论的本质 （1）人为约定的结论）人为约定的结论 数学知识不是数学知识不是“铁板一块铁板一块” 示例示例4：集合的：集合的“三性三性” 确定性，无序性，互异性确定性，无序性

18、，互异性 模糊集，有序集，多重集模糊集，有序集，多重集 示例示例5：指数函数：指数函数y= ax (a0,a1) 为什么要规定为什么要规定a0？ （2）可以证明的结论）可以证明的结论 什么是数学结论什么是数学结论:经常用到经常用到,推证不易推证不易,形式简单形式简单。 示例示例6：等差数列的求和公式：等差数列的求和公式 它有什么作用？它有什么作用？ 为什么它是成立的？为什么它是成立的？ 其他，比如：其他，比如： 等比数列求和公式：等比数列求和公式： (1-q)(1+q+q2+qn-1)=1-qn 绝对值不等式：绝对值不等式： 理解数学结论：功用，内容，证明，联系。理解数学结论：功用，内容，证明

19、，联系。,abababyxb yxb yxb 3.数学方法的本质数学方法的本质 数学中除了一些结论性知识，还有大量的方法性数学中除了一些结论性知识，还有大量的方法性知识，比如运算的方法、度量的方法、变换的方知识，比如运算的方法、度量的方法、变换的方法、论证的方法等。法、论证的方法等。 掌握数学方法的本质，不仅要掌握掌握数学方法的本质，不仅要掌握“怎么做怎么做”，即方法运用的程序与步骤，还要掌握即方法运用的程序与步骤，还要掌握“为什么可为什么可以这样做以这样做”，即数学方法的内涵是什么，不同数，即数学方法的内涵是什么，不同数学方法使用的条件是什么，适用的范围是什么，学方法使用的条件是什么，适用的

20、范围是什么，数学方法与问题特质具有怎样的关联性。数学方法与问题特质具有怎样的关联性。 示例示例7 7：数的加、减运算：数的加、减运算 必需抓住计数单位这一本质。必需抓住计数单位这一本质。 自然数自然数以以“1”为标准，为标准，“1”是自然数的单位，所是自然数的单位，所以任何两个自然数都可以直接相加减。以任何两个自然数都可以直接相加减。 同分母同分母分数分数，因为它们的分数单位相同，所以能，因为它们的分数单位相同，所以能直接相加减；异分母分数，因为它们的单位不同，直接相加减；异分母分数，因为它们的单位不同，所以要把它们化成相同单位才可以相加减。所以要把它们化成相同单位才可以相加减。 小数小数的加

21、减运算中，小数点对齐才能相加减。因的加减运算中，小数点对齐才能相加减。因为只要小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计为只要小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计数单位也就同样能相加减了，而不必考虑小数的数单位也就同样能相加减了，而不必考虑小数的末位是不是一定对齐。末位是不是一定对齐。 示例示例8 8：十字相乘法：十字相乘法 不仅适用于二次三项式：不仅适用于二次三项式： axax2 2+bx+c=(a+bx+c=(a1 1x+cx+c1 1)(a)(a2 2x+cx+c2 2) ) 将任意代数式分成三项之和：将任意代数式分成三项之和：f(x)=A+B+Cf(x)=A+B+C 若若A=ab,C=cd,

22、A=ab,C=cd,且且ad+bc=B,ad+bc=B, 即有下面的十字关系：即有下面的十字关系： 则则f(x)=(a+c)(b+d)f(x)=(a+c)(b+d)abc d 示例示例9 9：判别式法：判别式法 对于题目对于题目 “求求 的所有实数根的所有实数根”的求解，的求解，当有人在求解中用二次方程之判别式应大于或等当有人在求解中用二次方程之判别式应大于或等于于0时，即时，即 时，许多人对此提出时，许多人对此提出“更正更正”。 产生这一错误认识的根本原因，就在于当熟记住产生这一错误认识的根本原因，就在于当熟记住了一元二次方程的求根公式之后，许多人忘记了了一元二次方程的求根公式之后，许多人忘

23、记了判别式其实是判别式其实是“配方法的结果配方法的结果”，想当然地认为，想当然地认为只有对一元二次方程才能使用判别式非负的性质。只有对一元二次方程才能使用判别式非负的性质。 省质检省质检：斜坐标系：斜坐标系22 sin+1=02xxx22sin402x 示例示例10：点到线面距离公式的推导：点到线面距离公式的推导 点到线的距离公式推导点到线的距离公式推导 点到面的距离公式推导点到面的距离公式推导 设设n n是平面是平面 的法向量，在的法向量，在 内取一点内取一点B B，则，则 A A到到 的距离：的距离： 此外：此外：|cos|AB ndABn 22cos,a babaaa b 过程与结果的辩

24、证关系：过程与结果的辩证关系：科学意义，教学意义科学意义，教学意义 过程性是追求的目标：过程性是追求的目标：三个层次三个层次 过程性作为目标的意义：过程性作为目标的意义：本质，方法，能力本质，方法，能力 过程性的完整含义：过程性的完整含义：知识的，思维的，活动的知识的，思维的，活动的 “谁谁”的过程性：的过程性：教师，还是学生？教师，还是学生？ 怎样的该过程性：怎样的该过程性：结果的，还是过程的？结果的，还是过程的？ 过程性观下之审视：过程性观下之审视：预习、作业、备课预习、作业、备课（二）教学生学（二）教学生学“过程过程” 1.过程性中培养数学能力过程性中培养数学能力 示例示例11：函数的单

25、调性：函数的单调性 单调性教学设计大体从三个层次展开：单调性教学设计大体从三个层次展开： 首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；从几何直观角度加以认识； 其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；随自变量的增大而增大（或减小）； 最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。用精确的数学语言刻画函数的变化规律。 教学的困惑教学的困惑：从图像上不难获得图像：从图像上不难获得图像

26、“上升上升”或或“下降下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？究它呢？ 解释和说明：解释和说明：“上升上升”“”“下降下降”是一种日常语言，是一种日常语言，用日常语言描述用日常语言描述“单调增单调增”“”“单调减单调减”这样的数这样的数学性质是学性质是不够准确的不够准确的。 能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？可以的话，又该如何来描述呢？ 这时结合图像的特点，即它是这时结合图像的特点，即它是“函数函数”的图像的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。从而根据函数的意义，

27、自然过渡到第二个层次。 教学的难点教学的难点：如何用符号化的数学语言来描述递增：如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：的特征，这其中有两个难点： 示例示例12：直线的方向向量与平面的法向量：直线的方向向量与平面的法向量 为什么要提出方向向量与法向量的概念？为什么要提出方向向量与法向量的概念？ 如何来刻画直线与平面的方向？如何来刻画直线与平面的方向？ 为什么要用方向向量来刻画直线的方向？为什么要用方向向量来刻画直线的方向？ 为什么要用法向量来刻画平面的方向？为什么要用法向量来刻画平面的方向？ 2.过程性中加强数学理解过程性中加强数学理解 示例示例13：导数：导数 为什么要为什

28、么要“淡化形式，注重实质淡化形式，注重实质”？ 导数概念的提出是分析问题与解决问题的过程导数概念的提出是分析问题与解决问题的过程 导数的本质是瞬时变化率导数的本质是瞬时变化率 导数概念的提出是辩证法的成功运用导数概念的提出是辩证法的成功运用 理解三层次：理解三层次：其然，所以然，何由以知其所以然其然，所以然，何由以知其所以然xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000 示例示例1414：直线的斜率：直线的斜率 为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，还一定要将其代数化？还一定要将其代数化？ 变量变量(x(x，y)y)与作为不变量的倾斜角

29、，不能直接建与作为不变量的倾斜角，不能直接建立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量(x(x，y)y)与不变量与不变量斜率斜率k k才能建立起关系。才能建立起关系。 斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的作用。作用。 “率率”，是指两个相关数的比值，是指两个相关数的比值，x x变化单位长变化单位长时，看时，看y y变化了多少，实质是对变化了多少，实质是对x x和和y y变化的快慢变化的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比程度

30、的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。值越大。 教学难点：教学难点：建立直线方程的过程，是寻求其不变建立直线方程的过程，是寻求其不变量量k k，建立变量，建立变量(x(x，y)y)与不变量与不变量k k的数量关系的过的数量关系的过程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线是简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。是简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。 为什么要用正切？为什么要用正切？ 首先与首先与“坡度坡度”概念一致。坡面的铅直高度和水概念一致。坡面的铅直高度和

31、水平长度的比。（垂直变化率）平长度的比。（垂直变化率） 其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。都是倾斜角越大，斜率越大。 第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正切值与导数保持了一致性。切值与导数保持了一致性。 数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中概括的基本观点。数学方法是指数学活动中中概括的基本观点。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等

32、。所采用的途径、方式、手段、策略等。 显性的知识显性的知识是写在教材上的一条明线，是写在教材上的一条明线，隐性的隐性的思想思想是潜藏其中的一条暗线。是潜藏其中的一条暗线。 “没有过程就等于没有思想没有过程就等于没有思想”，要让学生在过，要让学生在过程中去逐步体会和理解。程中去逐步体会和理解。（三）教学生学（三）教学生学“思想思想” 米山国藏：米山国藏： 学生所学的数学知识，在进入社会后几乎学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工

33、作，唯有掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。时地发生作用，使他们受益终身。 真正的教育是什么？真正的教育是什么？ 1. 一法多用，体现迁移性一法多用，体现迁移性 示例示例15：各种函数性质的研究：各种函数性质的研究 通过图像研究函数的性质通过图像研究函数的性质数形结合思想数形结合思想； 通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质从特殊到一般的归纳思想从特殊到一般的归纳思想； 区分情况来讨论函数的性质区分情况来讨论函数的性质分类讨论思想分类讨论思想； 通过对比来

34、研究函数性质通过对比来研究函数性质类比的思想方法类比的思想方法； 函数性质应用实例函数性质应用实例数学模型思想方法数学模型思想方法。 例如例如:反比例函数，单调性，指数函数，对数函数反比例函数，单调性，指数函数，对数函数 这些思想方法，不依内容而异，呈现出某种相通这些思想方法，不依内容而异，呈现出某种相通性。它们看不见、摸不着，只有教师在教学中有性。它们看不见、摸不着，只有教师在教学中有意识地使用提示语，才能使数学思想方法显化，意识地使用提示语，才能使数学思想方法显化，从而使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从而使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从无意识默会走向有意识习得。从无意识默

35、会走向有意识习得。 常言道常言道“授人以鱼，不如授人以渔授人以鱼，不如授人以渔”，思想方法，思想方法之所重要，就在于其可迁移性。之所重要，就在于其可迁移性。 2.多法归一，体现相通性多法归一，体现相通性 示例示例16：正弦定理的各种证法：正弦定理的各种证法 证法证法1：作高法：作高法 证法证法2：面积法：面积法 证法证法3：外接圆法：外接圆法 证法证法4：角平分线法：角平分线法 问题的关键并不在于方法的多与寡，而更在于能问题的关键并不在于方法的多与寡，而更在于能否透过不同解法，挖掘与提炼出更一般的思想方否透过不同解法，挖掘与提炼出更一般的思想方法，即不变量思想和化归转化思想。法，即不变量思想和

36、化归转化思想。 多法归一归出的多法归一归出的“一一”不变量思想与化归转不变量思想与化归转化思想，就是数学中经常用到的重要数学思想，化思想，就是数学中经常用到的重要数学思想，前者在建立等量关系时用到，而后者是矛盾转化前者在建立等量关系时用到，而后者是矛盾转化的基本方法。的基本方法。基础知识基础知识基本技能基本技能基本活动经验基本活动经验基本思想基本思想数学活动数学活动 哲学的视角：哲学的视角：形式与内容；运动与静止；偶然与形式与内容；运动与静止；偶然与必然必然 ；现象与本质现象与本质 ；原因与结果原因与结果 ；整体与局部；整体与局部；有限与无限；等。有限与无限；等。 思维的视角：思维的视角：观察

37、与实验；类比与猜想；归纳与观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎演绎 ；分析与综合分析与综合 ；抽象与概括抽象与概括 ；特殊与一般特殊与一般 ；比较与分类比较与分类 ；等。；等。 数学的视角：数学的视角： 1、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法演方法 ；公理化方法；公理化方法 ；坐标方法；等。；坐标方法；等。 2、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。面；解题技巧层面。 高考考试说明：高考考试说明：函数与方程思想；数形结合思想；函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特

38、殊与一般分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。思想；有限与无限思想；必然与或然思想。数学抽象的思想数学抽象的思想派生出的有：派生出的有： 分类的思想；分类的思想； 集合的思想；集合的思想； 数形结合的思想；数形结合的思想； 变中有不变的思想；变中有不变的思想； 符号表示的思想；符号表示的思想； 对称的思想；对称的思想； 对应的思想；对应的思想； 有限与无限的思想等。有限与无限的思想等。数学推理的思想数学推理的思想派生出的有：派生出的有： 归纳的思想；归纳的思想； 演绎的思想；演绎的思想； 公理化思想；公理化思想； 转换与化归的思想；转换与化归的思想；

39、联想与类比的思想；联想与类比的思想； 逐步逼近的思想；逐步逼近的思想； 代换的思想；代换的思想； 特殊与一般的思想等。特殊与一般的思想等。数学模型的思想数学模型的思想派生出的有：派生出的有： 简化的思想；简化的思想； 量化的思想；量化的思想； 函数的思想；函数的思想； 方程的思想；方程的思想； 优化的思想；优化的思想； 随机的思想；随机的思想； 抽样统计的思想等。抽样统计的思想等。 对内容进行设计时，不能对内容进行设计时，不能“就事论事就事论事”，仅考虑，仅考虑到这一到这一“点点”知识，这样可能会知识，这样可能会“见木不见林见木不见林”。 在对教材进行分析时，要树立在对教材进行分析时，要树立“

40、整体观整体观”，要从，要从教学系统的教学系统的“宏观视野宏观视野”的显现状况与课堂运行的显现状况与课堂运行的的“微型框架微型框架”两方面进行结构化设计。两方面进行结构化设计。 学习理论的现代研究表明，组织良好的知识是围学习理论的现代研究表明，组织良好的知识是围绕绕核心概念或核心概念或“大观点大观点”组织的。组织的。（四）教学生学（四）教学生学“结构结构” 布鲁纳认为，布鲁纳认为，学习的实质是一个人把同类事物联学习的实质是一个人把同类事物联系起来系起来，并把它们组织成赋予它们意义的结构。，并把它们组织成赋予它们意义的结构。学习就是学习就是认知结构的组织和重新组织认知结构的组织和重新组织。 知识的

41、学习就是在学生的头脑中形成各学科的知知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知识结构。这种知识结构是由学科知识中的识结构。这种知识结构是由学科知识中的基本概基本概念、基本思想或基本原理组成的念、基本思想或基本原理组成的。 布鲁纳：学习知识就是布鲁纳：学习知识就是学习事物是怎样相互关联学习事物是怎样相互关联的的。“不论我们选教什么学科，务必使学生理解不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构各门学科的基本结构”。 1.宏观结构与微观结构宏观结构与微观结构 宏观结构宏观结构 示例示例17：几何结构与代数结构：几何结构与代数结构 直观几何：直观几何：对平面图形、立体图形的认识；对平面图形

42、、立体图形的认识； 度量几何：度量几何：求长度、角度、面积、体积等问题；求长度、角度、面积、体积等问题； 演绎几何：演绎几何：垂直、平行、全等、相似垂直、平行、全等、相似 运动几何：运动几何：如平移、旋转和对称等；如平移、旋转和对称等； 坐标几何。坐标几何。 代数：代数：数式运算和方程求解。数式运算和方程求解。 三种数：三种数：有理数，无理数，复数；有理数，无理数，复数； 三种式：三种式：整式，分式，根式；整式，分式，根式； 六种运算：六种运算：加，减，乘，除，乘方，开方；加，减，乘，除，乘方，开方； 四类方程：四类方程：整式方程，分式方程，根式方程，方整式方程，分式方程，根式方程，方程组。程

43、组。 进一步发展：进一步发展：未知数更多的方程，次数更高的方未知数更多的方程，次数更高的方程。程。 从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未知数），到函数（符号代表变数）（函数实质是知数），到函数（符号代表变数）（函数实质是几何的代数化）几何的代数化） 微观结构微观结构 示例示例18：线面平行的判定定理与性质定理：线面平行的判定定理与性质定理 线面平行判定定理：线面平行判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。该直线与此平面平行。 线面平行性质定理：线面平行性质定理： 一条直线

44、与一个平面平行，则过这条直线的任一一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与此平面的交线与该直线平行。 更好践行更好践行“用教材教，而不是教教材用教材教，而不是教教材”的理念。的理念。 2.知识结构与方法结构知识结构与方法结构 示例示例19：知识结构：知识结构圆与方程圆与方程 结构结构理解理解联系联系: 新知识结点与其他结点的新知识结点与其他结点的连线越多连线越多，该结点的，该结点的入入口就越多口就越多，经由这些通道进入该结点的机会也就，经由这些通道进入该结点的机会也就增多；增多； 本质性的联系越多本质性的联系越多，准确性越强，这些联系就越，准确性越强，这

45、些联系就越紧密和牢固，这样，紧密和牢固，这样，经由其他结点激活该节点的经由其他结点激活该节点的可能性越大，可能性越大，回忆必然越方便越迅速。回忆必然越方便越迅速。 示例示例20：方法结构：方法结构度量方法度量方法 线段线段长长多边形周长多边形周长圆周长（多边形周长的极限圆周长（多边形周长的极限值）值）弧长；弧长； 两直线的两直线的夹角夹角线与面的夹角线与面的夹角面与面的夹角面与面的夹角 单位正方形单位正方形面积面积长方形与正方形面积长方形与正方形面积其他多边其他多边形面积形面积圆面积（多边形面积的极限值）圆面积（多边形面积的极限值）多面体多面体表面积；表面积； 单位正方体单位正方体体积体积长方

46、体与正方体体积长方体与正方体体积圆柱体积圆柱体积圆锥体积。圆锥体积。 逻辑结构：逻辑结构：定义几何量定义几何量确定度量单位确定度量单位简化算法。简化算法。 3.纵向联系形成结构纵向联系形成结构 示例示例21：对称性：对称性 小学数学：小学数学：二年级上二年级上“美丽的对称图形美丽的对称图形”（认识（认识并画出：画一画）；五年级并画出：画一画）；五年级“图形的变换图形的变换轴轴对称对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）一量，数一数） 初中数学：初中数学：初二上初二上“轴对称轴对称”（坐标系中研究轴（坐标系中研究轴对称的特征和性质）对称的特征和

47、性质） 高中数学：高中数学：函数的对称性函数的对称性奇偶性；方程曲线奇偶性；方程曲线的对称性的对称性于 的中心（）直于 的曲于 的于直 的（）直于直 的曲于直 的点关 点 对称对称问题 点对称问题线关 点 对称线关 点 对称对称问题点关线 对称轴对称问题 线对称问题线关线 对称线关线 对称函数图像的对称性：函数图像的对称性：方程曲线的对称性：方程曲线的对称性： 4.横向联系形成结构横向联系形成结构 示例示例22：单调性、斜率与导数：单调性、斜率与导数 (1)(1)单调性：单调性： (2)(2)斜率斜率 直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简单的变化。即直线在某个区间单的变化。即直线在某个区间 上的平均上的平均变化率变化