对面积的曲面积分

1、编辑编辑ppt1第四节第四节 对面积的对面积的曲面积分曲面积分概念的引入概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法第一类曲面积分第一类曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分Oxyz引例引例: 设光滑曲面形构件有连续面密度设光滑曲面形构件有连续面密度类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, 采用采用可得可得求质求质 “大化小大化小, 近似代替近似代替, 求和求和, 求极限求极限” 的方法的方法,量量 M.其中其中, 表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两

2、点间距离的最大者). 最大值最大值),(iii ),(zyx 一、概念的引入一、概念的引入对面积的曲面积分对面积的曲面积分 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .1. 定义定义iS (上上为为设设点点iiiiS ),(,),(iiiiSf ,),(1iiiniiSf ,0时时 iS 函数函数 f(x, y, z)在在上上任意取定的点任意取定的点,并作和并作和如果当各小块曲面的直径如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在这和式的极限存在,则则的最大值的最大值对面积的曲

3、面积分对面积的曲面积分二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义 第第i 小块曲面的面积小块曲面的面积),作乘积作乘积设曲面设曲面是光滑的是光滑的,同时也表示同时也表示有界有界.把把 任意分成任意分成n小块小块xyOz ),(:yxzz ),(iii ) ,(ii iS xyDxyi)( 在在),(zyxf或或.d),( Szyxf记为记为即即如曲面是如曲面是 曲面面积元素曲面面积元素被积函数被积函数则积分号写成则积分号写成iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),(积分曲面积分曲面iiiniiSf ),(1称称极限为函数极限为函数上上在曲面在曲面 对面积的曲面积分对面积的

4、曲面积分第一类曲面积分第一类曲面积分. .闭曲面闭曲面, ,对面积的曲面积分对面积的曲面积分编辑编辑ppt5则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 1d),( Szyxf Szyxfd),(2. 对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质 2d),(Szyxf3. 对面积的曲面积分的几何意义对面积的曲面积分的几何意义表示空间曲面表示空间曲面的面积的面积. . SAd1时，当1),(zyxf对面积的曲面积分对面积的曲面积分 表示以曲面表示以曲面为顶为顶,它在坐标面的投影为它在坐标面的投影为底的曲顶柱体的体积底的曲顶柱体的体积.编辑编辑ppt6 4.对面积的曲面积分的物理意义

5、对面积的曲面积分的物理意义表示面密度为连续函数表示面密度为连续函数;d),( SzyxM的质量的质量M: 的光滑曲面的光滑曲面),(zyx对面积的曲面积分对面积的曲面积分其质心坐标为其质心坐标为:,d),(1 SzyxxMx,d),(1 SzyxyMy.d),(1 SzyxzMz, yxf Szyxfd),(: 若若曲曲面面则则按照曲面的不同投影方向分为以下三类：按照曲面的不同投影方向分为以下三类：思想是思想是:化为二重积分计算化为二重积分计算. .),(yxzyxzzyxdd122 xyD),(yxzz (1)对面积的曲面积分对面积的曲面积分三、三、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的

6、计算法 ,zxf Szyxfd),(则则 ,zyf Szyxfd),(：若若曲曲面面 则则xzDyzD),(zyxzyxxzydd122 (2)(3),(zyxx : 若曲面若曲面),(zxyy ),(zxyzxyyzxdd122 对面积的曲面积分对面积的曲面积分2 2、确定投影域并写出、确定投影域并写出 并并算出曲面面积元素算出曲面面积元素d dS.S.3、将曲面方程代入、将曲面方程代入被积函数被积函数, ,计算面积的曲面积分的解题步骤：计算面积的曲面积分的解题步骤：1 1、应根据、应根据化为二化为二曲面曲面选好投影面选好投影面. .曲面曲面的显函数形式的显函数形式, ,重积分进行计算重积分

7、进行计算. .对面积的曲面积分对面积的曲面积分xyzO例例解解yz 5投影域投影域:25| ),(22 yxyxDxy5,d)( zySzyx为为平平面面其其中中计计算算 2522 yx被柱面被柱面所截得的部分所截得的部分.: 曲面曲面 Szyxd)(xyDy 52yxdd故故 )(yx xyDyxxdd)5(2 2125 xyDyxdd52二重积分二重积分的对称性的对称性 补充补充设分片光滑的设分片光滑的 Szyxfd),(x的奇函数的奇函数x的偶函数的偶函数.d),(21 Szyxf. 0),(:1 zyxx 其中其中 , 0则则曲面曲面关于关于yOz面对称面对称, ,为为当当),(zyx

8、f为为当当),(zyxf对面积的曲面积分对面积的曲面积分解解 依依对称性对称性知知 成成立立 1 422yxz | xyz.为为偶偶函函数数、关关于于xy ,d|Sxyz计计算算).10(22 zyxz为为抛抛物物面面其其中中 例例面面均均对对称称；面面、关关于于yOzxOz抛物面抛物面有有对面积的曲面积分对面积的曲面积分被积函数被积函数1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面.xyzOyxyxSdd)2()2(1d22 Sxyzd41 xy4极坐标极坐标12222004dcossin14drrrr rxyD )(22yx yxyxdd)2()2(122 Sxyz d| 投影域：投影域：0,

9、0, 1| ),(22 yxyxyxDxy2152002sin2 d14drrr uuud)41(41251 42015125 u对面积的曲面积分对面积的曲面积分积分曲面积分曲面22:(01)zxyz例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表面. ,dSx计算计算, 122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 02 zxz及及平平面面对面积的曲面积分对面积的曲面积分zxyOzxyOzxyO解解 2d Sx 1 2 3 1d Sx Dyxxdd0 Dyxxdd110 0 z2 xz122 yx投影域投影域1:22 yxD对面积的曲面积分对面积的曲面积分例例所围成的空间立体的表面所围成的空间立体的表

10、面. ,dSx计算计算, 122 yx是圆柱面是圆柱面其中其中 02 zxz及及平平面面对称性对称性zxyOzxyO(左右两片投影相同左右两片投影相同)zxyySzxdd1d22 zxxdd112 Sxd1:223 yx 将将投影域投影域选在选在面上面上xOz注注21xy 分成左、右两片分成左、右两片 3d Sx Sxd31 Sxd32 31 2 x2xzDzxxdd112 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 zxxxdd122 01 2 x12 xz Sxd 00对称性对称性xzO11 zxyO计算计算,d)(23Szyxx 其中其中为球面为球面222yxaz 之位于平面之位于平面 曲面曲面的

11、方程的方程在在xOy面上的面上的投影域投影域2222:hayxDxy 解解222yxaz 2222:hayxDxy )0(ahhz 上方的部分上方的部分.对面积的曲面积分对面积的曲面积分zxyO2222:hayxDxy 因曲面因曲面于是于是)(22haa Szd00 222yxa yxyxaadd222 x3是是x的奇函数，的奇函数， x2y是是y的奇函数的奇函数.Szyxxd)(23 222yxaz xyD关于关于yOz面及面及xOz面对称面对称; 对面积的曲面积分对面积的曲面积分xyxyxz22222 在在柱柱体体为为锥锥面面设设 .d, Sz求曲面积分求曲面积分内的部分内的部分解解 积分曲面积分曲面22:yxz 在在xOy面上的面上的投影域投影域xyxDxy2:22 22yxz 由由2222yxyyz d2d S对面积的曲面积分对面积的曲面积分,2222yxxxz zxyO Szd xyD22yx d22cos2022ddrr r2932322316 积分曲面积分曲面,:22yxz d2d SxyxDxy2:22 对面积的曲面积分对面积的曲