离散小波变换互联网

1、1. 离散小波变换长期以来，离散小波变换(discrete wavelet transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(fft)和离散小波变换(dwt)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对fft和dwt的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献2。 1.1 离散小波变换dwt1.1.1 离散小波变换dwt及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。设f(x)为一维输入信号，记，

2、这里与分别称为定标函数与子波函数，与为二个正交基函数的集合。记p0f=f，在第级上的一维离散小波变换dwt(discrete wavelet transform)通过正交投影pjf与qjf将pj-1f分解为： 其中：， ，这里，h(n)与g(n)分别为低通与高通权系数，它们由基函数与来确定，p为权系数的长度。为信号的输入数据，n为输入信号的长度，l为所需的级数。由上式可见，每级一维dwt与一维卷积计算很相似。所不同的是：在dwt中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。算法22.3 一维离散小波变换串行算法输入：c0=d0(c00, c10, cn-10

3、) h=(h0, h1, hl-1) g=(g0, g1, gl-1)输出：cij , dij (i=0, 1, n/2j-1, j0)begin(1)j=0, n=n(2)while (n1) do(2.1)for i=0 to n-1 do(2.1.1)cij+1=0, dij+1=0(2.1.2)for k=0 to l-1 do end forend for(2.2)j=j+1, n=n/2 end whileend显然，算法22.3的时间复杂度为o(n*l)。在实际应用中，很多情况下采用紧支集小波（compactly supported wavelets），这时相应的尺度系数和小波系

4、数都是有限长度的，不失一般性设尺度系数只有有限个非零值：h1,hn，n为偶数，同样取小波使其只有有限个非零值：g1,gn。为简单起见，设尺度系数与小波函数都是实数。对有限长度的输入数据序列：(其余点的值都看成0)，它的离散小波变换为:其中j为实际中要求分解的步数，最多不超过log2m，其逆变换为注意到尺度系数和输入系列都是有限长度的序列，上述和实际上都只有有限项。若完全按照上述公式计算，在经过j步分解后，所得到的j+1个序列和的非零项的个数之和一般要大于m，究竟这个项目增加到了多少？下面来分析一下上述计算过程。j=0时计算过程为 不难看出，的非零值范围为：即有个非零值。的非零值范围相同。继续往

5、下分解时，非零项出现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如，若输入序列长度为100，n=4，则有51项非零，有27项非零，有15项非零，有9项非零，有6项非零，有4项非零，有4项非零。这样分解到6步后得到的序列的非零项个数的总和为116，超过了输入序列的长度。在数据压缩等应用中，希望总的长度基本不增加，这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度。可以采用稍微改变计算公式的方法，使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零项数相等，并且可以完全重构。这种方法也相当于把输入序列进行延长（增加非零项），因而称为延拓法。只需考虑一步分解的情形，下面考虑第一步分解(j=

6、1)。将输入序列作延拓，若m为偶数，直接将其按m为周期延拓；若m为奇数，首先令。然后按m+1为周期延拓。作了这种延拓后再按前述公式计算，相应的变换矩阵已不再是h和g，事实上这时的变换矩阵类似于循环矩阵。例如，当m=8，n=4时矩阵h变为：当m=7，n=4时矩阵h变为：从上述的矩阵表示可以看出，两种情况下的矩阵内都有完全相同的行，这说明作了重复计算，因而从矩阵中去掉重复的那一行不会减少任何信息量，也就是说，这时我们可以对矩阵进行截短（即去掉一行），使得所得计算结果仍然可以完全恢复原输入信号。当m=8，n=4时截短后的矩阵为：当m=7，n=4时截短后的矩阵为：这时的矩阵都只有行。分解过程成为：向量

7、c1 和d1都只有个元素。重构过程为：可以完全重构。矩阵h，g有等式h*h+g*g=i一般情况下，按上述方式保留矩阵的行，可以完全恢复原信号。这种方法的优点是最后的序列的非0元素的个数基本上和输入序列的非0元素个数相同，特别是若输入序列长度为2的幂，则完全相同，而且可以完全重构输入信号。其代价是得到的变换系数dj中的一些元素已不再是输入序列的离散小波变换系数，对某些应用可能是不适合的，但在数据压缩等应用领域，这种方法是可行的。begin对所有处理器my_rank(my_rank=0, p-1)同时执行如下的算法:(1)j=0;(2)while (j<r) do(2.1)将数据按块分配给p台处理器(2.2)将处理器i+1中前l-1个数据发送给处理器i(2.3)处理器i负责和的计算(2.4)j=j+1end whileend这里每一步分解后数据和已经是按块存储在p台处理器上，因此算法第一步中的数据分配除了j=0时需要数据传送外，其余各步不需要数据传送（数据已经到位）。因此，按logp模