数学分析第2章(22)

1、数学分析电子教案数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院重庆邮电大学数理学院高等数学教学部高等数学教学部沈世云沈世云极限与连续极限与连续二、二、 x 趋向有限值时函数的极限趋向有限值时函数的极限一一、x趋向无穷大时函数的极限趋向无穷大时函数的极限三、三、 函数极限的性质与运算函数极限的性质与运算四、函数值趋于无穷大的情形四、函数值趋于无穷大的情形.xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 xxysin .sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变

2、化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfA

3、xf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 xxysin 问题问题: :函数函数)(xfy 在在 x的的过程中过程中, 对对应函数值应函数值)(xf无限无限趋近于趋近于确定值确定值 A. ;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .xXx的过程的过程表示表示 . 0sin)(,无限接近

4、于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面的观察通过上面的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.:. 1 定义定义定定义义X .Axf,Xx,X, )(00恒恒有有时时使使当当 Axflimx)(定义定义1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在着正数总存在着正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的一的一切切 , 所对应的函数值所对应的函数值 都满足不等式都满足不等式,那末常数那末常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限时的极限,记作记作 XXx x)(xf Axf)(A)(xfx)(

5、)()( xAxfAxflimx当当或或:x.情形情形 02.Axf,X|x|,X, )(00恒恒有有时时使使当当:x.情形情形01Axfx )(lim.A)x(f,Xx,X, 恒有恒有时时使当使当00Axflimx )(2.另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.几何解释几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAAxflimx )(例例1. 01lim xx证明证明证证xx101 , , 0 ,1 X取取时

6、恒有时恒有则当则当Xx ,01 x. 01lim xx故故例例2 证明证明21121lim xxx证证|12|12321121 xxx x故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时|1|2|12|xxx |12|12321121 xxx|3|123xx 0 21121xx要使要使同时成立同时成立和和只须只须 3|1| xx3, 1max X令令时，便有时，便有则当则当Xx |12|12321121 xxx |3x21121lim xxn.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变

7、量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.xx程度程度接近接近体现体现0 .xxxx的过程的过程表示表示00 0 :. 1 定义定义定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当定义定义2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),总存在正数总存在正数 ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 的一切的一切 ,对应的函数值对应的

8、函数值 都满足不等式都满足不等式,那末常数那末常数 就叫函数就叫函数 当当 时的极限时的极限,记作记作 00 xxx)(xf Axf)(A)(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,就就有有无无穷穷多多个个后后找找

9、到到一一个个显显然然 xOy0 x)(xfy AAA0 x0 x 目的：对任意的0, 要找0，使得0|x-x0| 时，有|f(x)-A|.即 A f(x) A.哈哈, 找到了!证证例例3.lim00 xxxx 证明证明,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 4lim22 xx证明证明证证4)(2 xAxf, 0 任给任给,5 取取,00时时当当 xx4)(2 xAxf有有,成立成立 4lim22 xx,22 xx, 31 x限制限制,2522 xxx 4)(2xAxf要使要使,25 x只需只需例例5.li

10、m00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明例例6. 424lim22 xxx证明证明证证424)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=2处没有定义处没有定义.2 x,)( Axf要使要使,4242 xx就有就有. 211lim21 xxx3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证

11、明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限 .)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000 :000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在

12、验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例7证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 xv定理 如果当如果当xx0时时f(x)的极限存的极限存, , 那么这极限是唯一的那么这极限是唯一的. . 证明， x x f B A 时的极限时的极限 当当 都是都是 设设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 A x f x x 时有时有 当当 则则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 B x f x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时时 则当则当 取取 ，

13、x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一即其极限唯一 的任意性得的任意性得 由由 B A (1)(2)三、三、 函数极限的性质与运算函数极限的性质与运算1.唯一性唯一性2.局部有界性局部有界性若极限若极限 )(lim0 xfxx存在， )(xf0 x则函数在的某一空 心邻域上有界。 证明证明 有有 使得使得 则则 取取 设设 ) ; ( , 0 , 1 , ) ( lim 0 0 x U x A x f x x o o . 1 ) (

14、 1 ) ( A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界内有界 在在 即即 x U x f o o 3. 局部局部保号性保号性).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理证明证明 设设A0,对任何对任何0,A- ,rAr取则存在0,使得对一切使得对一切0;xUxo有 ,f xAr 这就证得结论这就证得结论.对于对于A 0的情形可的情形可类似地证明类似地证明.).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论v定理 (函数极限的

15、局部保号性) 如果如果f(x)A(xx0), , 而且而且A 0(或或A 0), , 那么对任何那么对任何正数正数rA (或或 r 0 (或或f(x) -r 0). . 证明) ; ( , 0 , ), 1 , 0 ( , 0 0 x U x r A r A 使得使得 则则 取取 设设 . ) ( r A x f 有有 . 0 的情形类似可证的情形类似可证 对于对于 r 推论 如果在如果在x0的某一去心邻域内的某一去心邻域内f(x) 0(或或f(x) 0), , 而且而且 f(x)A(xx0), , 那么那么A 0(或或A 0). . 3. 局部保号性局部保号性v定理 (函数极限的保不等式性)

16、 证明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则则 内有内有 极限都存在且在极限都存在且在 时时 如果如果 o o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x 设设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x 时有时有 当当 则则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 B x g x x 时有时有 当当 于是有于是有 同时成立同时成立 与与 不等式不等式 时时 则当则当 令令

17、 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 , ) ( ) ( B x g x f A . , 2 B A B A 的任意性知的任意性知 由由 从而从而 4 保不等式保不等式).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设推论推论v定理 如果函数如果函数f(x)、g(x)及及h(x)满足下列条件满足下列条件 (1) g(x) f(x) h(x), , (2)lim g(x) A, , lim h(x) A, , 那么那么lim f(x)存在存在, , 且且lim

18、f(x) A. . 证明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， 时有时有 当当 按假设按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 A x h x x 时有时有 当当 故有故有 同时成立同时成立 时上两不等式与时上两不等式与 则当则当 令令 , ) ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x , ) ( ) ( ) ( A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x f ， A x f x x 即即 由此得由此得 5 迫敛性迫敛性).( )()()(lim ).(600nAxfxxnxxAxfHeinenn

19、nn均有且定理性质说明: 利用性质6，可数列极限来判断函数极限不存在，其方法是：6 .Heine定理定理0 x的不同数列法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于nx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .1sinyx 例例8.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且1limsinlimsin0nnnnx 而，而，141limsinlimsin12nnnnx ，二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在

20、故故xxAxfxx)(lim0Bxgxx)(lim0定理定理 设设 , 则 BAxgxfxx)()(lim0BAxgxfxx)()(lim0BAxgxfBxx)()(lim,001）2）3）7、 函数极限的运算法则函数极限的运算法则定理之定理之3）的证明）的证明 只要证Bxgxx1)(1lim0， 令020B，由 Bxgxx)(lim0，01使得当 100 xx时，有 2)(BBxg， 即 22)()(BBBBxgBxg0, 仍然由 Bxgxx)(lim0，.02，使得当 200 xx时，有 2)(2BBxg. 取 ),min(21，则当 00 xx时，有 22)(2)()(1)(1222BB

21、BxgBBxgBxgBxgBxgxx1)(1lim0即 推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果注：注：1.定理的条件：定理的条件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形还须加上分母的极限不为商的情形还须加上分母的极限不为02.定理简言之即是：和、差、积、商的极限定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商等于极限的和、差、积、商3.定理中极

22、限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立任何一个过程都成立四、四、函数值趋于无穷大的情形函数值趋于无穷大的情形定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所对应的函数所对应的函数值值)(xf都满足不等式都满足不等式 Mxf )(, ,则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).)(lim()(l

23、im0 xfxfxxx或或特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在勿将勿将 xfxx.)(lim,)(lim,)(lim),()(lim,)(lim. 100等的定义能写出 xfxfxfxfxfxxxxxxx .)(1lim),(0)(,)(0, 0)(1lim,)(lim. 8:. 20000

24、00 xfxxxfxfxxxfxfxxxxxxxx则且无零点时当反之则若性质的情形给出几个性质下面仅对 .)()(lim, 0)(0:)(,)(lim. 9000 xgxfCxgxxxgxfxxxx则时当满足而若性质 xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取,| , kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是

25、无穷大无界，无界，.11lim1 xx证明证明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy例12.为非负常数 )nmba,0(00mn 当nnnmmmxbxbxbaxaxa 110110lim,00ba,0,mn 当mn 当五、两个常用不等式和重要极限五、两个常用不等式和重要极限.0.2.2sin),(.1. 1时等号成立其中当时有当，有两个常用不等式 xtgxxxxxx .)1

26、(lim, 0,1,2.)11(lim.2, 1sinlim.1. 2100ettxxtexxxttxxx 此时有时则当令中在两个重要极限AC,OAOBx证证 设设单单位位圆圆圆圆心心角角sin, , tan,xBDxABxAC于于是是有有xoBD.ACOAC 作作单单位位圆圆的的切切线线，得得,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 (0)2x 扇形扇形OAB的面积的面积即即1sin2x 12x1tan2x OAB的面积的面积OAC的面积的面积例13。证明：1sinlim0 xxx02x 上上式式对对于于也也成成立立. .,20时时当当 xxxcos11cos0 2si

27、n22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又0sinlim1.xxx 故故,tansinxxx , 1sincos xxx即即1(1)nnxn证 设证 设据二项式定理据二项式定理 32)1(! 3)2)(1()1(! 2)1(11nnnnnnnnnxn(1)(2)(1) 1( )!kn nnnkkn(1)(2)(1) 1 ( )!nn nnnnnn 存在。证明：nxn)11 (lim例1411111211(1)(1)(1)2!13!11nxnnn 1121(1)(1)(1)!nnnnn 111121

28、1(1)(1)(1)2!3!nnn1121(1)(1)(1)!111nnnnn 112(1)(1)(1)(1)!111nnnnn111112!3!nxn111, ,nnnnnxxxxx 比比较较和和的的展展开开式式 除除前前两两项项外外, ,的的每每一一项项都都小小于于的的对对应应项项 且且还还多多了了最最后后一一项项, ,其其值值大大于于0,0,因因此此1 (1,2,)nnxxn nx即即数数列列单单调调增增加加. .,0,nixn在在的的展展开开式式中中 用用 代代换换得得1111111.22.33.4(1)nn 1 lim 1nnen (e2.71828).313 n)111()4131

29、()3121()211(11nn n,II,nxxe所所以以是是单单调调有有界界数数列列 由由准准则则的的极极限限存存在在, ,记记这这个个极极限限为为 , ,即即, 1 nxn设设,)11()11()111(1 nxnnxn则则)11(lim)11(lim)11(lim1nnnnnnnn 而而, e 11111lim(1)lim(1)lim(1)111nnnnnnnn, e x与与n同时趋向同时趋向+ + 11(1),lim(1).nnnnxenn证证 因因单单调调递递增增 且且1 lim(1).xxex由由夹夹逼逼准准则则得得。证明：exxx)11 (lim例15(1),xtxt 令令则则

30、时时于于是是(1)11lim(1)lim(1)1xtxtxt 11lim(1)ttt . e 1,tx 果果令令注注 如如: :(1)lim()1tttt 11lim (1)(1)tttt1lim(1)xxex所所以以1lim(1)xxex综综上上得得101lim(1)lim(1)txxtxet有有10 lim(1)xxxe即即有有1sinlim0 xxx1 lim 1 nnen exxx )11(lim10lim(1)xxxe xxx )11(1lim11lim(1)xxx 解解 原原式式1e 存在。证明：xxx)11 (lim例16例17.)1(lim)1(lim0,2,)21(lim.2

31、1lim221020100 etttxtxxttttxxxx原式时则令解：原式求).0(11. 110, 011, 01110. 110,110, 111001lim0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 故有时当此时时，当时当此时时，解：当求例18.其它几个重要极限其它几个重要极限:100log (1)1(1) limlimlog (1)lnaxaxxxxxa 01(3) limln(:1)xxxaauax 令令0ln(1)(2) lim1xxx 01(4) lim1xxex ln(1)00(1)11(5) limlimxxxxexx ln(1)01ln(1)limln(1)xxexxx 函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(